九年级数学下册 第26章 二次函数 26.3 实践与探索(第2课时)课件

＜3，∴－35＜a＜－25，④正确．
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内容(nèiróng)总结
第26章 二次函数。分 层 作 业。第1课时 二次函数与一元(yī yuán)二次方程、一元(yī yuán)二次不等式的关系。0＜x＜2。D。x＜－1或x＞4
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判别情况：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有两个交点，那么对应的 一元二次方程__有__两__个__不__相__等__(_x_iā_n_g_dě_n_g_)的__实__数；如根果只有一个交点，那么对应的一 元二次方程___有__两__个__相__等_(_x_iā_n_g_d_ěn_g_)_的_实__数；如根果没有交点，那么对应的一元二次方 程____没__有__实_数__根_____，因而抛物线与 x 轴的交点情况可由对应的一元二次方程的 判别式予以判别．
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解：(1)D(－2，3)．
(2)设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c.
根据题意得9a＋a－b＋3b＋c＝c＝0，0，解得ba＝＝－－21，，
c＝3，
c＝3，
所以二次函数的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
(3)如图，一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x＜－2 或 x＞1.
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当堂测评
1．抛物线 y＝－3x2－x＋4 与坐标轴的交点个数是( A ) A．3 B．2 C．1 D．0 2．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是( C ) A．x＞－3 B．x＜1 C．－3＜x＜1 D．x＜－3 或 x＞112/10源自2021第九页，共二十三页。
【点悟】二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决 定；抛物线与 x 轴的交点个数决定了 b2－4ac 的符号．
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4．[2018·黔东南州]已知：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象上部分点的横坐标 x 与纵 坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是_(3_，__0_)__.
x … －1 0 1 2 … y … 0 343…
【解析】由表可知，抛物线的上的点(0，3)，(2，3)是对称点，对称轴是直线 x ＝1，所以(－1，0)、(3，0)是抛物线与 x 轴的交点．
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知识管理
1．二次函数图象与 x 轴的交点和一元二次方程根的情况之间的关系 交点情况：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况： __有__两__个__(l_iǎ_n_ɡ_ɡ_è)_交、点__有__一_个__(_y_ī ɡ_è_)_交_点、_没__有__交_点______．当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y＝0 时自变量 x 的值，即一元二 次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
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类型之二 二次函数图象与系数的关系 [2018·广安]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，对称轴为直
线 x＝1，则下列结论正确的有_①__②__③___．(填序号) ①abc<0； ②方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3； ③2a＋b＝0； ④当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
0)，则关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
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【解析】∵二次函数的解析式是 y＝x2－3x＋m(m 为常数)，∴该抛物线的对称
轴是 x＝32.又∵二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1， 0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(2，0)， ∴关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根分别是 x1＝1，x2＝2.
＋8a>4ac，故 C 结论正确；由 y＝－2ba＜1，所以－b＞2a，即 2a＋b＜0，故 D 结论错误．
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7．[2018·达州]如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－1， 0)，与 y 轴的交点 B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线 x＝2.
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5．[2017·咸宁]如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交于 A(－1，p)、 B(4，q)两点，则关于 x 的不等式 mx＋n>ax2＋bx＋c 的解集是__x_＜__－__1_或_x_＞__4____．
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类型之三 二次函数的图象与不等式 如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A(－3，0)和 B(1，0)两点，交 y 轴
于点 C(0，3)，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D.
(1)请直接写出点 D 的坐标； (2)求二次函数的表达式； (3)根据图象直接写出使一次函数值 大于二次函数值的 x 的取值范围．
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★情景问题引入★
某火车站在地面上欲建造一个圆形喷水池，如图，点 O 表示喷水池的水面 中心，OA 表示喷水柱子，水流从点 A 喷出，按照图中所示的平面直角坐标系， 每一股水流在空中的路线都可以用 y＝－12x2＋32x＋78来描述，那么水池的半径最 少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
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分层作业
1．若 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的另一个解为( B )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
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2．若二次函数 y＝x2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直 线，则关于 x 的方程 x2＋bx＝5 的解为( D )
6．[2018·威海]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是
( D)
A．abc＜0
B．a＋c＜b
C．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞0
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【解析】由函数图象的开口向下，判断 a＜0；由函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，判断 c＞0；由对称轴在 y 轴的右侧，判断 b>0，所以 abc＜0，A 结论正确；当 x＝－1 时，函数值为负，故 a－b＋c＜0，所以 a＋c＜b，B 结论 正确；由图可知顶点的纵坐标大于 2，即4ac4－a b2>2，a<0，∴4ac－b2<8a，∴b2
第26章 二次函数(hánshù)
3. 实践(shíjiàn)与探索
第1课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
学习指南
知识管理
归类探究
当堂测评
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分层作业
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学习指南
★教学目标★ 1．理解二次函数的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间 的关系； 2．准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实 数根．
下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点 M(12，y1)、N(52，y2)是函数
图象上的两点，则 y1＜y2；④－35＜a＜－25. 其中正确结论有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵－2ba＞0，∴b＞0.∵抛物线交 y 轴
2．抛物线与不等式的关系 关 系：利用函数图象求不等式的解集时，先观察图象，找出抛物线与 x 轴的交点，再根据交点坐标写出不等式的解集
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归类探究
类型之一 二次函数图象与 x 轴的交点和方程解的关系 已知二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，
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【解析】∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，∴a＜0.∵二次函数图
象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，∴c＞0.∵x＝－2ba＞0，∴b＞0，∴abc＜0， 故①正确；由二次函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为 3，对称轴为 x＝1， 知另一个交点的横坐标为－1，∴方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1＝－1，x2＝ 3，故②正确；∵对称轴为 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，∴③正确；∵二次函数图 象的开口向下，对称轴为 x＝1，∴当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞ 1 时，y 随 x 的增大而减小，故④错误．
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 3．[2017·兰州]若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上的点 P(4，0)，Q 两点关于它的对 称轴 x＝1 对称，则点 Q 的坐标为__(_－__2_，_0_)___．
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3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则： (1)这个二次函数的解析式为__y＝__x_2_－_2_x____； (2)当 x＝___－__1_或__3____时，y＝3； (3)根据图象回答： 当_x_＜__0_或__x_＞_2_____时，y＞0； 当__0_＜__x＜__2_______时，y＜0.
于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；当 x＝3 时， y＝9a＋3b＋c＞0，②正
确；∵对称轴为直线 x＝2，点 M(12，y1)与对称轴的距离大于点 N(52，y2)与对称
轴的距离，∴y1＜y2，③正确；∵抛物线与 x 轴的交点坐标分别为 A(－1，0)， (5，0)，∴该二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)(x－5)＝a(x2－4x－5)＝ax2－4ax－ 5a.∵抛物线与 y 轴的交点 B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，∴2＜－5a