2023届高考数学一轮复习作业抛物线新人教B版

抛物线
一、选择题
1．(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则
p ＝( )
A ．1
B ．2
C ．2 2
D ．4
B [抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，
它到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝p
2＋1
2
＝
2⇒p ＝2．故选B ．]
2．(2021·陕西咸阳高三模拟)点M 到点F (－4,0) 的距离比它到直线l ：x －6＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( )
A ．y 2
＝16x B ．y 2
＝－16x C ．y 2＝24x
D ．y 2
＝－24x
B [因为点M 到点F (－4,0)的距离比它到直线l ：x －6＝0的距离少2， 所以将直线l ：x －6＝0左移2个单位，得到直线x －4＝0，即x ＝4， 可得点M 到直线x ＝4的距离等于它到点(－4,0)的距离，
根据抛物线的定义，可得点M 的轨迹是以点(－4,0)为焦点，以直线x ＝4为准线的抛物线，设抛物线方程为y 2
＝－2px (p >0)，可得p
2
＝4，得2p ＝16， 所以抛物线的方程为y 2
＝－16x ，即为M 点的轨迹方程．]
3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )
A ．经过点O
B ．经过点P
C ．平行于直线OP
D ．垂直于直线OP
B [如图所示：
因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ，Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，|PQ |＝|PF |，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P ．故选B ．]
4．(2021·安徽合肥一中高三期末)如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝32x
B ．y 2
＝3x C ．y 2
＝92
x
D ．y 2＝9x
B [如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，
设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ，
∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，求得p ＝3
2，
所以抛物线的方程为y 2
＝3x ．]
5．过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 且斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点(x A ＞x B )，则
|AF ||BF |＝( )
A ．32
B ．3
4
C ．3
D ．2 D [设直线方程为y ＝22(x －1)，与y 2
＝4x 联立得2x 2
－5x ＋2＝0，所以(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2．因为x A ＞x B ，所以x A ＝2，x B ＝1
2
，
所以|AF ||BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A ＋p 2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x B ＋p 2＝2＋1
1
2＋1＝2．]
6．已知点P 是抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点，且点P 到点A (0，－2)的距离与到y 轴的距离之和的最小值为23－22，则p ＝( )
A ．2 2
B ．4
C ．3 2
D ．4 2
D [如图所示，由题得准线方程为x ＝－p
2
，
点P 到点A (0，－2)的距离与到y 轴的距离之和为|PA |＋|PF |－
p
2≥|AF |－p
2
，
(当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等号) |AF |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2－02
＋0＋22
＝
4＋p 2
4
，所以
4＋p 24－p
2
＝
23－22，
解之得p ＝42．] 二、填空题
7．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F (2,0)，则抛物线C 的方程是 ；若
M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝ ．
y 2＝8x 6 [抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方
程是y 2
＝8x ．由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则点N 的坐标为(0，±42)，所以|FN |＝22
＋42
2
＝6．]
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽 米．
26 [建立平面直角坐标系如图所示，
设抛物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)． 由题意可知抛物线过点(2，－2)， 故4＝4p ，∴p ＝1， ∴x 2
＝－2y ．
故当y ＝－3时，x 2
＝6， 即x ＝6．
所以当水位降1米后，水面宽26米．]
9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ．若|FQ |＝6，则C 的准线方程为 ．
x ＝－32
[法一：由题易得|OF |＝p
2
，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠
PQF ，所以
|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p
2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－3
2
． 法二：由题易得|OF |＝p
2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2
＝p
2×6，解得p ＝3或p
＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－3
2
．]
三、解答题
10．如图，抛物线的顶点在原点，圆(x －2)2
＋y 2
＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB |＋|CD |的值．
[解](1)设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)， ∵圆(x －2)2
＋y 2
＝22
的圆心恰是抛物线的焦点， ∴p ＝4．
∴抛物线的方程为y 2
＝8x ．
(2)依题意直线AB 的方程为y ＝2x －4，
设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －4，
y 2
＝8x ，
得x 2
－6x ＋4＝0，
∴x 1＋x 2＝6，|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10． |AB |＋|CD |＝|AD |－|CB |＝10－4＝6．
11．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解](1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p
2＝3，解得p ＝2．∴抛物线E 的方程为y 2
＝4x ．
(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，
∴m 2
＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，
F (1,0)，
∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 由⎩⎨
⎧
y ＝22x －1，y 2＝4x ，
得2x 2
－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2．
又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－22
3，
∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF ． ∴GF 为∠AGB 的平分线．
1．已知P 是抛物线y 2
＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2
＋(y －1)2
＝1上的一个动点，
N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．2＋1
A [由抛物线方程y 2
＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2
＋(y －1)2
＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3．]
2．已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，
B ，且满足AF →＝2FB →
，E 为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( )
A ．114
B ．94
C ．52
D ．54
B [由题意得抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
∵AF →＝2FB →
，∴|AF |＝2|BF |，∴x 1＋1＝2(x 2＋1)， ∴x 1＝2x 2＋1，
∵|y 1|＝2|y 2|，∴y 2
1＝4y 2
2， ∴x 1＝4x 2，∴x 1＝2，x 2＝1
2
．
∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为12[(x 1＋1)＋(x 2＋1)]＝9
4．故选B ．]
3．已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2
＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C ．
(1)求证：直线BC 的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围． [解](1)证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2
，∴m ＝±4， 又m ＞0，∴m ＝4． 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝
x 1＋44＋
x 2＋44＝
x 1＋x 2＋8
4
＝0，
∴x 1＋x 2＝－8．
∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 2
1
4x 2－x 1＝x 1＋x 24
＝－2，
∴直线BC 的斜率为定值－2．
(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则
k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝1
2
，∴x 0＝1．
∴M (1，－2＋b )． 又点M 在抛物线内部， ∴－2＋b ＞14，即b ＞94
．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋b ，
x 2
＝4y ，
得x 2
＋8x －4b ＝0，
∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b ． ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4| ＝5·
x 3＋x 4
2
－4x 3x 4
＝5×64＋16b ． 又b ＞9
4
，∴|BC |＞105．
∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )
A ．71
12＋26 B ．9＋10 C ．83
12＋26 D ．9＋26
D [∵MA ∥x 轴，
∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1， 由题意可知AB 经过抛物线y 2
＝4x 的焦点F (1,0)， ∴直线AB 的方程为y ＝－4
3
(x －1)．
联立方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝4x ，y ＝－4
3x －1，解得B (4，－4)，
∴|AM |＝3－14＝114，|AB |＝14＋4＋2＝25
4，
|MB |＝
－1
2
＋52
＝26．
∴△ABM 的周长为9＋26．故选D ．]
2．已知抛物线Γ：y 2
＝4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且FA →＋FB
→
＋FC →
＝0，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； (2)设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； (3)已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2． [解](1)抛物线Г：y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)， 由FA →＋FB →＋FC →
＝0， 得1＝
x A ＋x B ＋x C
3
，0＝
y A ＋y B ＋y C
3
，
故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，
所以这样的“核心三角形”不存在．
(2)设直线AB 的方程为y ＝4x ＋t ，与y 2
＝4x 联立，可得y 2
－y ＋t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，
y 1＋y 2＝1，x 1＋x 2＝14(y 1＋y 2－2t )＝14－12
t ，
由(x 1＋x 2＋x 3，y 1＋y 2＋y 3)＝(3,0)， 可得x 3＝12t ＋11
4，y 3＝－1，
代入方程y 2
＝4x ，可得11＋2t ＝1， 解得t ＝－5，
所以直线AB 的方程为4x －y －5＝0．
(3)证明：设直线BC 的方程为x ＝ny ＋m ，与y 2
＝4x 联立，可得y 2
－4ny －4m ＝0， 因为直线BC 与抛物线相交，
故判别式Δ＝16(n 2
＋m )＞0，y 1＋y 2＝4n ， 所以x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)＋2m ＝4n 2
＋2m ， 可得点A 的坐标为(－4n 2
－2m ＋3，－4n )， 又因为A 在抛物线上，
故16n 2＝－16n 2－8m ＋12，可得m ＝－4n 2
＋32，
因为m ＞－n 2，所以n 2
＜12
，
故A 的横坐标为－4n 2
－2m ＋3＝－4n 2
＋8n 2
＝4n 2
＜2．。