【人教A版】2019学年高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(二十八) 4.2.3

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课时提升作业(二十八)
直线与圆的方程的应用
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.圆x2+y2-4x+2y+c=0,与直线3x-4y=0相交于A,B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则c的值为( )
A.8
B.2
C.-3
D.3
【解析】选C.由题意得C<5,圆心P(2,-1),r=,圆心到直线的距离
d==2,由于∠APB=90°,所以r=d=2,从而=2,c=-3.
【补偿训练】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是
( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0
D.2x-y-5=0
【解析】选A.已知圆心为O(1,0),根据题意:
又k AB·k OP=-1,所以k AB=1,故直线AB的方程是x-y-3=0.
2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2=,那么的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值为,所以=.
3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内
的地区为危险区域,城市B在A的正东40千米处,B城市处在危险区域的时间为
( ) A.0.5小时 B.1小时
C.3.6小时
D.4.5小时
【解析】选B.受影响的区域长度=2=20千米,故影响时间是1小时.
4.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为
( ) A.0 B.1
C.2
D.无法确定
【解析】选A.因为+<r
2,圆心到直线x
y=r2的距离d=>r,故直线与
0x+y0
圆相离.
【延伸探究】若将本题改为“点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?
【解析】选C.因为+>r2,圆心到直线x
0x+y0y=r2的距离d =< r,故直线与圆相交,所以公共点的个数为两个.
5.已知集合M={(x,y)|y=,y≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠ ,则实数b的取值范围是( )
A.[-3,3]
B.[-3,3]
C.(-3,3]
D.[-3,3)
【解题指南】解得本题的关键是注意到y=,即x2+y2=9(y>0),图形是半
圆.
【解析】选C.由于M∩N≠ ,说明直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)相交,画图探索可知-3<b≤3.
【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用
直线与圆的一部分有交点时,如果采用代数法去研究,则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题,求解过程相对复杂,而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解,先找出边界,然后结合直线或圆的变化特征求解,相对来说就简单多了.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有
条.
【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32.
答案:32
【补偿训练】过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.
【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2,
由可得
答案:(,)
7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.
【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2. 答案:-2
【补偿训练】(2015·保定高一检测)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么
的最小值为( )
A. B. C.2 D.2
【解析】选A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.
8.已知x+y+1=0,那么的最小值是.
【解析】表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.
【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系. 【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.
则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为
y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得
x=,y=.
所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k
PC=-,因为k AP·k PC=3×
=-1,
所以,AP⊥CP.
10.如图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
【解析】建立如图所示直角坐标系,使圆心在y轴上,只要求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.
设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程组
解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度约为3.86m.
【补偿训练】设有半径为3公里的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇?
【解析】如图所示,
以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系,又设A向东走到D 转向到C恰好与B相遇,设CD方程为+=1(a>3,b>3),设B的速度为v,则A的
速度为3v,依题意有解得,所以B向北走3.75公里时相遇.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A.2
B.2
C.4
D.4
【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以
S△ABC=×4×=2.
【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.10
B.20
C.30
D.40
【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.
2.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )
A.6s
B.6s或16s
C.16s
D.8s或16s
【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线l:y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.若点P(x,y)满足x2+y2=25,则x+y的最大值是.
【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,
即-5≤x+y≤5,所以x+y的最大值是5.
答案:5
【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用
利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y联想直线的截距.
4.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为.
【解析】曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在
△MPC中,CM⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,
即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.
答案:4
【补偿训练】圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+3=0的最远的距离为. 【解析】圆心C(2,-3)到直线的距离d==4>2,所以直线与圆相离.过圆心C作直线x-y+3=0的垂线,垂足设为H,则圆上的点A到直线的距离最远为4+2.
答案:4+2
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.
【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,
由得N.
再由得
(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,
所以x1+x2=得M.
所以|AM|·|AN|=·
=·=6为定值.
方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,
由得N,
又直线CM与n垂直,
由得M.
所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|
==6,为定值.
6.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N 两点.
(1)求k的取值范围.
(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数. 【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.
【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)
由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.
所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2),
又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.
由=+,得
=+,
即=+=.
由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,
所以m2=.
因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知0<m2<3,
即m∈(-,0)∪(0,).
根据题意,点Q在圆C内,则n>0,
所以n==.
于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).
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