高一数学下学期期末考试试卷 理(含解析)(2021年整理)

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汽车区高一年级2016~2017学年度下学期期末考试
数学（理)试题
一、选择题:(共14题，每题5分，共70分，每题只有一个正确答案）
1。

已知等差数列的前项和为，若，则 ( )
A. 18 B。

36 C. 54 D. 72
【答案】D
【解析】试题分析:，。

考点：等差数列的基本概念。

2. 直线，直线，若//，则等于( ）
A。

－3 B。

2 C. －3或2 D。

3或－2
【答案】A
【解析】由题意，得,解得,故选A。

点睛:当已知直线的一般式判定两直线的位置关系时,往往先将一般式化成斜截式再进行判定,但要考虑的系数是否为0，可能需要讨论，熟记一些结论，可避免讨论，如：已知直线，直线,若,则;若，则
.
3. 在等比数列中，则
A。

B. C。

D.
【答案】A
【解析】由等比数列的性质有 ,代入已知值，求得 .
4。

能保证直线与平面平行的条件是 ( ）
A. 直线与平面内的一条直线平行 B。

直线与平面内的某条直线不相交
C. 直线与平面内的无数条直线平行 D。

直线与平面内的所有直线不相交
【答案】D
【解析】试题分析:根据线面平行的定义可知,一条直线要与一个平面平行，则须满足：这条直线与这个平面没有公共点,选项A、B、C中均没有明确直线与平面没有交点,而D选项，根据直线与平面内的所有直线不相交，说明这条直线不在平面内，且与平面无公共点,所以这条直线与这个平面一定是平行关系，故选D.
考点：线面平行的判定。

5。

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）
A. π B。

π C. π D。

π
【答案】C
【解析】由题意知，四面体的外接球的球心到4个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且为AC的中点，而 ,所以外接球的半径 ,故外接球的体积
，选C。

6. 一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）
A. B。

C。

D.
【答案】B
【解析】
由已知三视图,作出直观图如上图所示，四棱锥A—BCDE，AE⊥底面BCDE，底面BCDE为边长为1的正方形，AE=1，可将此四棱锥补成一个棱长为1的正方体，则此正方体的外接球为该四棱锥的外接球，直径为AC，且 ,半径 ,所以该几何体的外接球的表面积为，选B。

点睛:本题主要考查由已知三视图求该几何体的表面积，属于中档题，解答本题的关键是根据数据所对应的几何量求得相应几何量的数据.
7。

在△ABC中,若a、b、c成等比数例，且c=2a,则cosB等于（）
A。

B. C. D。

【答案】B
【解析】试题分析：由b2＝ac且c＝2a得
考点:余弦定理
8. 正方体中，与平面所成角的余弦值为（）
A. B。

C. D。

【答案】A
【解析】试题分析:如下图，分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正
方体边长为1，则，所以
，设平面的法向量为,则,取则，所以．设与平面所成的角为,则
,所以,故应选．
考点：1、直线与平面所成的角；2、空间向量法求立体几何问题．
9。

若，则下列不等式成立的是(）
A。

B. C。

D.
【答案】D
【解析】试题分析：A中当为负数时不成立;B中结合的单调性可知结论不成立;C中当为负数时不成立；D中结合函数的单调性可知不等式成立
考点:函数单调性比较大小
10. 若实数满足，则的取值范围为（）
A。

B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:由不等式可知可行域为直线围成的三角形，顶点为，看作点连线的斜率，结合图形可知斜率的范围为
考点：线性规划问题
11。

设直线l的方程为：（）,则直线l的倾斜角α的范围是
A. B. C。

D.
【答案】C
【解析】试题分析：直线的倾斜角的正切,是直线的斜率。

所以，而，所以，
或,注意到，所以直线l的倾斜角α的范围是，选C.
考点：本题主要考查直线方程，直线的倾斜角，直线的斜率,三角函数的性质。

点评：小综合题，通过求直线的倾斜角范围，综合考查了直线方程,直线的倾斜角，直线的斜率，三角函数的性质。

解答中要注意直线倾斜角自身的范围是。

12。

中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前年商鞅督造一种标准量器—-商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位：寸)，若取，其几何体体积为（立方寸），则图中的为( ）
A. B. C。

D.
【答案】D
【解析】圆面积为；长方形面积,所以有，，解得，故选D.
13. 在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别为为锐角，，则
为（）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形 D。

等腰直角三角形
【答案】D
【解析】试题分析：由已知得,所以，且，由为锐角,故,由正弦定理得，则，，展开得，
，故,所以，所以是等腰直角三角形
考点：正弦定理和三角恒等变形。

14. 某工作的三视图如图所示,现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）
A. B。

C. D。

【答案】A
【解析】由题可得,问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示,则有
所以长方体体积为，当且仅当，即时，等号成立，故利用率为，故选A。

考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体
二、填空题：（共4题,每题5分，共20分）
15. 两平行直线的距离是_______．
【答案】
【解析】由平行线间的距离公式可知.
16。

已知直线，则该直线过定点_______．
【答案】（—2,1）
【解析】略
17。

如图所示，正四棱锥的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于_______．
【答案】
【解析】试题分析：连接相交于点，则点为的中点，因为是的中点，所以是的中位线，则，则与所成的角即为异面直线与所成的角，
设四棱锥的棱长为,则，
则．
考点：异面直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体中的异面直线所成的角的求解,属于中试题，对于异面直线所成角的求解关键在于把异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角,然后放置在一个三角形中，利用解三角形的正、余弦定理求解,其中异面直线所成角的范围是解答此类问题的一个易错点．本题的解答中连接交于，连接,通过，得到即为异面直线与所成角是解答本题的关键．
18. 如图,在中，，点在线段上，且，，则
________．
【答案】
【解析】试题分析：因为，所以，
则,故答案为。

考点：1、余弦的二倍角公式;2、余弦定理的应用。

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及、余弦的二倍角公式,属于难题。

在解与三角形、三角函数有关的问题时往往需要综合运用两角和与差三角函数公式、正弦定理、余弦定理，运用余弦定理一定要熟记两种形式:(1)；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件,以便在解题中直接应用.
三、解答题:（共5题，每题12分，共60分)
19。

解下列关于的不等式:
①；②．
【答案】（1）且．（2)见解析
【解析】试题分析：①分情况讨论，去掉绝对值，再解不等式，得出解集；②对原不等式等价变换得，再对实数分情况讨论，得出解集.
试题解析：①解：且．
②解:原不等式化为:
①当时，其解集为：；
②当时,其解集为：;
③当时，其解集为：或；
④当时，其解集为：或；
⑤当时,其解集为：．
点睛:本题主要考查了一元二次不等式的解，两个小题中都要分类讨论，属于中档题，在分类讨论时，注意做到不重不漏。

20。

已知分别为三个内角的对边，。

（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）。

【解析】试题分析：（1)由正弦定理化简已知等式,利用三角和内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得;(2）由余弦定理可得，利用均值不等式可得,，套用面积公式即可求解.
试题解析：（1）
……2分
…4分
即，又，
即……6分
（2），……8分
，即
又由题意知。

（当时等式成立)……10分
……12分
考点：正余弦定理，面积公式.
21. 已知直线经过点A，求：
（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(2)直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．
【答案】（1）y=3x，x+y=4（2）
【解析】试题分析:(1）当直线过原点时，方程为 y=3x,当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，3）代入直线的方程可得k值,即得所求的直线方程；（2）设直线方程为：，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程
试题解析：（1）若直线的截距为,则直线方程为;
若直线的截距不为零，则可设直线方程为：,由题设有
，所以直线方程为:,
综上，所求直线的方程为.
(2)设直线方程为：，，而面积，
又由得，
等号当且仅当成立，即当时，面积最小为12
所求直线方程为
考点：直线方程
22. 如图，四边形与均为菱形，，且．
(1）求证:平面；
（2)求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由线面垂直的判定定理得到结论;（2）通过证明线线平行,得到线面平行；(3)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量,易知面,所以面的法向量为,再求出它们的夹角的余弦值.
试题解析:（1）证明：设与相交于点,连接,因为四边形为菱形，所以，且为中点，又，所以,
因为,所以平面．
（2）证明：因为四边形与均为菱形，
所以，，所以平面平面，
又平面,所以平面．
（3）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形，
因为为中点，所以,故平面．
由，，两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系．
设，因为四边形为菱形，,则，所以，,
所以，，，，．
所以，．
设平面的法向量，则有所以
取，得．
易知平面的法向量为．
由二面角是锐角,得，
所以二面角的余弦值为．
考点：1.线面垂直的判定定理；2.线面平行的判定；3。

求二面角.
23。

已知数列的前项和（为正整数）
（1）令 ,求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，，试比较与的大小，并予以证明
【答案】(1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）已知，一般利用进行化简条件,当时，，，又
数列是首项和公差均为1的等差数列，于是.(2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法为“错位相减法”，即得。

数列中比较大小，一般用作差，即，而比较的大小,有两个思路,一是数学归纳法，二是二项展开式定理。

试题解析：（1)在中，令n=1，可得，即1
当时,, 2
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列 4
于是。

6
(2)由（1)得，所以
由①—②得
9
2
于是确定的大小关系等价于比较的大小
猜想：当证明如下:
证法1:（1)当n=3时，由猜想显然成立．
（2)假设时猜想成立．即
则时，
所以当时猜想也成立
综合(1)（2)可知 ,对一切的正整数,都有
证法2:当时
综上所述,当,当时14
考点：等差数列定义，错位相减法求和,数学归纳法证明不等式。