3.1 第三讲 协方差传播律

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1、几个名词
误差 测量误差 (观测误差) 真误差 名 词 方差 中误差 平均误差 偶然误差 随机误差 系统误差 粗差 精度 精确度 准确度
衡量精度的指标
或然误差
极限误差
相对误差 绝对误差
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2、一个事实 3、基本假设 4、统计规律
不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。
在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统 误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值， 即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概 率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。
1 ˆ L1 L2 L3 180 ; L Li (i 1,2,3)协方差 3

2 1 1 ˆ L1 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 2 L 1 L 60 L 2 1 2 3 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L 3 1 2 3 3 3 3
0 0 1
I
2
3. 方差-协方差阵
设有观测值向量 X 和
n ,1
X Y ，它们的数学期望分别为 n ,1
r ,1
X 和 Y 。令： Z ;则 Z 的方差阵为： DZZ r ,1 Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
DZZ K DXX K T
t ,t t ,n n ,n n ,t
协方差传播律
三、多个观测值线性函数的协方差阵
设另有Ｘ的r个线性函数：
Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2 n X n f 20 Yr f r1 X 1 f r 2 X 2 f rn X n f r 0
三、多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测值向量
X1 X X 2 ; Xn
2 X 1 X 2 X1 X n X1
X
n ,1
X1 E ( X 1 ) E ( X ) X 2 2 X ; E ( X ) n X n
k 1n k 2n k tn
令：
Z1 k11 k12 Z Z 2 K k 21 k 22 t ,1 t ,n Z t k t1 k t 2
t ,1
k10 k K 0 20 t ,1 k t 0
2k1k n 1n 2k n1k n n1,n
当向量中的各分量 X i (i 1,2,, n) 两两独立时
2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k2 2 kn n
（中误差传播律）
二、观测值线性函数的方差
线性函数的协方差传播律： 设有函数： Z KX K 0
2. 相关
由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是 服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立 ”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测
值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。
3. 方差-协方差阵
假定有 n 个不同精度的相关观测值 X i ，数学期望和方差分
别为
，
X
i
和

2 ，它们两两之间的协方差为 Xi
Dxy xy E( X E( X ))(Y E(Y ))
xy lim
n
xy E( x y )
[ x y ] n
1 lim ( x 1 y 1 x2 y2 xn yn ) n n
ˆ xy
[ x y ] n
X1 X n X2Xn 2 Xn
(1-20)
DXX 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。
3. 方差-协方差阵
2 X X1 X 2 1 2 X X X2 DXX 2 1 X n X1 X n X 2
D XX
X X 2 X
1 2
2

X
nX2
X1 X n X2Xn 2 Xn
三、多个观测值线性函数的协方差阵
若有t个X的线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
2 s2 5002 d
S 500 d 500 (0.2mm) 100mm 0.1m
最后写成:
S 11.7 0.1m
例[1-3]L1、L2、L3为独立观测值，已知其中误差，
1 3mm , 2 2mm , 3 1mm
1 2 4 X L1 L2 L3 7 7 7
Z K X K0
t , n n ,1 t ,1
现求Z的协方差阵？
三、多个观测值线性函数的协方差阵
推导过程：
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
函数：
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E( Z ) E( KX K0 ) K x K0
即 DXY 与 DYX 互为转置。 当 X 和 Y 的维数 n r 1 （即 X 、Y 都是一个观测值）时，互协方差阵就是 X 关于Y 的协方差。 若 DXY 0 ，则称 X 与 Y 是相互独立的观测 向量。
1.4 协方差传播律
内 容 安 排
一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用
T T X X
11


E ( KX k0 K X k0 )(KX k0 K X k0 )T

T
T
X
X
2 DZZ Z KDXX K T
协方差传播律
二、观测值线性函数的方差
DZZ 的纯量形式：
2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k2 2 kn n 2k1k2 12 2k1k3 13
第三讲 协方差传播律
设有观测值向量L=[L1,L2,L3]T：
DLL
3 2 1 2 4 2 1 2 3
(1)试写出各观测值的方差以及协方差； • (2)若有函数F= L1+L2 +2L3-23，则该函数F的方 差又如何计算?
第三讲 协方差传播律
例如，在一个三角形中，观测了三内角 L1、L2、 L， 3 其闭合差 和将闭合差平均分配后所得的各角的 ˆ、 ˆ、 ˆ 分别为 L L 最或然值 L 1 2 3
D ZZ E[(Z E ( Z ))(Z E ( Z ))T ]
t ,t
E[(KX K x )(KX K x )T ] 函数的协方差阵：
KE[(X x )( X x )T ]K T
Z的协方差阵：
DZZ K DXX K T
t ,t t ,n n ,n n ,t
Z K X k0 则 1 ,1 1,n n ,1
1,1
E( Z ) E( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
2 DZZ Z E ( Z E ( Z ))((Z E ( Z ))T
EK ( X )( X ) K KE( X )( X ) K
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y 2 DXY xn y1 xn y2
x1 yr x2 y r xn y r
DXY 是X关于Y的互协方差阵。
3. 方差-协方差阵
DXY E[(X X )(Y Y )T ] DT YX
二、观测值线性函数的方差
设有观测值向量 阵为 DXX ,即
X1 X X 2 , Xn
X，其数学期望为
X，协方差
12 22 n2
1n 2n 2 n
1 E ( X 1 ) E ( X ) X 2 2 E ( X ), n E ( X n )
x ?
B
例[1-4]在测站A上，∠BAC=α ，观测角β 1和β 2的中误差和
它们的协方
β
1 2
x ?
A
β
α
x
C
3.1 协方差传播律
内 容 安 排
一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用
12 21 DXX n1
又设有 X 的线性函数为： Z k1 X 1 k2 X 2 kn X n k0 如何求Z的方差？
二、观测值线性函数的方差
Z k1 X 1 k 2 X 2 k n X n k0
令： K [k1 k2 ... kn ]
X X (i
i j
j)
,
用矩阵表示为:
X [ X1 X 2 ... X n ]T
X [ X
1
X
2
... X n ]T E( X )
2 X X1 X 2 1 2 X X X2 DXX E[( X X )( X X )T ] 2 1 X n X1 X n X 2
传播律
平差值向量的精 度如何？？？
第三讲 协方差传播律
内 容 安 排
一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用
一、基本概念
1
2
协方 相关 协方 差 差阵
3
1. 协方差
协方差是用数学期望来定义的。设有观测值 向量X和Y,它们的协方差定义为：
2. 相关
Dxy xy E( X E( X ))(Y E(Y ))
E( XY ) E( X ) E(Y )
如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测 值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相 关观测值； 如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相
关的，称这些观测值是相关观测值。
X1 X n X 独立时
X2Xn 2 Xn
2 X 0 1 2 0 X2 0 0
0 0 2 Xn
X独立同精度时
1 0 2 0 0 注意 : 矩阵中各元素的含义 0 1 2 0 0 2 2 0 0 0 0
则： DZZ KD XX K
函数的协方差阵
T
=函数的系数阵×自变量的协方差阵×系数阵的转置阵
例[1-2] 在1：500的图上，量得两点间的距离
d=23.4mm, d的测量中误差为 d =±0.2mm，求
该两点实地距离 S 及中误差 S 。 解： S 500 d 500 23.4 11700 mm 11.7m