山东师范大学附属中学高中物理带电粒子在复合场中的运动压轴题易错题

山东师范大学附属中学高中物理带电粒子在复合场中的运动压轴题易错题
一、带电粒子在复合场中的运动压轴题
1．如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E ．在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．A 是y 轴上的一点，它到坐标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 的距离为L ．一质量为m ，电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入磁场区域．并再次通过A 点，此时速度方向与y 轴正方向成锐角．不计重力作用．试求： （1）粒子经过C 点速度的大小和方向； （2）磁感应强度的大小B ．
【来源】2007普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ)理综物理部分 【答案】（1）α＝arctan
2h l
（2）B 2212mhE
h l q
+【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）以a 表示粒子在电场作用下的加速度，有qE ma ＝①
加速度沿y 轴负方向．设粒子从A 点进入电场时的初速度为0v ，由A 点运动到C 点经历的时间为t ， 则有：2
12
h at =
② 0l v t =③
由②③式得02a v h
＝ 设粒子从C 点进入磁场时的速度为v ，v 垂直于x 轴的分量12v ah ＝ 由①④⑤式得：2
2
101v v v +＝(
)22
42qE h l mh
+
设粒子经过C 点时的速度方向与x 轴的夹角为α，则有
1
v tan v α＝
⑦ 由④⑤⑦式得2h arctan
l
α＝⑧
（2）粒子从C 点进入磁场后在磁场中作速率为v 的圆周运动．若圆周的半径为R ，
则有qvB ＝m 2
v R
⑨
设圆心为P ，则PC 必与过C 点的速度垂直，且有PC ＝PA R ＝．用β表示PA 与y 轴的夹角，由几何关系得：Rcos Rcos h βα=+⑩
Rsin l Rsin βα=－
解得
222242h l R h l hl
++＝由⑥⑨式得：B 2212mhE
h l q
+
2．如图，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径R =0.25m 的半圆,两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小
E =5.0×103V/m 。

一不带电的绝缘小球甲，以速度v 0沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

已知甲、乙两球的质量均为m =1.0×10-2kg ，乙所带电荷量q =2.0×10-5C ，g 取10m/s 2。

(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙球在B 点被碰后的瞬时速度大小；
（2）在满足1的条件下，求甲的速度v 0；
（3）甲仍以中的速度v 0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离范围。

【来源】四川省资阳市高中（2018届)2015级高三课改实验班12月月考理综物理试题 【答案】（1）5m/s ；（2）5m/s ；（33223m 2
x '≤<。

【解析】 【分析】 【详解】
（1）对球乙从B 运动到D 的过程运用动能定理可得
22112222
D B mg R q
E R mv mv --=
- 乙恰能通过轨道的最高点D ，根据牛顿第二定律可得
2
D
v mg qE m
R
+=
联立并代入题给数据可得
B v =5m/s
（2）设向右为正方向，对两球发生弹性碰撞的过程运用动量守恒定律可得
00
B mv mv mv '=+ 根据机械能守恒可得
22200111222
B mv mv mv '=+
联立解得
0v '=，05v =m/s （3）设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为M v 、m v ，根据动量守恒和机械能守恒定律有
0M m Mv Mv mv =+
2220111
222
M m Mv Mv mv =+ 联立得
2m Mv v M m
=
+ 分析可知：当M =m 时，v m 取最小值v 0；当M ≫m 时，v m 取最大值2v 0 可得B 球被撞后的速度范围为
002m v v v <<
设乙球过D 点的速度为D
v '，由动能定理得 2211
2222
D m mg R q
E R mv mv --=
'- 联立以上两个方程可得
35m/s<230m/s D
v '> 设乙在水平轨道上的落点到B 点的距离为x '，则有
2
122
D x v t R gt ''==
， 所以可得首次落点到B 点的距离范围
32m 23m 2
x '≤<
3．如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为
d ，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m 、带电量q +、重力不计的
带电粒子，以初速度1v 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功1W （2）粒子第n 次经过电场时电场强度的大小n E （3）粒子第n 次经过电场所用的时间n t
（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）．
【来源】河北省衡水中学滁州分校2018届高三上学期全真模拟物理试题
【答案】（1）2
1132mv W =
（2）21(21)2n n mv E qd +=（3）1
2(21)n d t n v =+ （4）如图；
【解析】
（1）根据
mv
r
qB
=，因为
21
2
r r
=，所以
21
2
v v
=，所以22
121
11
22
W mv mv
=-,
（2）=，，所以
．
（3），，所以．
(4)
4．如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P(x＝0，y＝h)点以一定的速度平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R0的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x＝R0平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点．不计重力．求：
（1）粒子到达x＝R0平面时速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离；
（2）M点的横坐标x M．
【来源】磁场 【答案】（1）20122R H h at h =+=+；（2）2
2000724
M x R R R h h =+- 【解析】 【详解】
（1）做直线运动有，根据平衡条件有：
0qE qB =v ①
做圆周运动有：
2
00
qB m R =v v ②
只有电场时，粒子做类平抛，有：
qE ma =③ 00R t =v ④ y v at =⑤
解得：0y v v =⑥ 粒子速度大小为：
22
002y v v v v =+=⑦
速度方向与x 轴夹角为：π4
θ=⑧ 粒子与x 轴的距离为：
201
22
R H h at h =+=+⑨
（2）撤电场加上磁场后，有：
2
v qBv m R
=⑩
解得：02R R =⑾. 粒子运动轨迹如图所示
圆心C 位于与速度v 方向垂直的直线上，该直线与x 轴和y 轴的夹角均为4
π
，有几何关系得C 点坐标为：
02C x R =⑿
02
C R y H R h =-=-
⒀ 过C 作x 轴的垂线，在ΔCDM 中：
02CM R R ==⒁
2
C R C
D y h ==-
⒂） 解得：2
2
2
20074
DM CM CD R R h h =-=
+- M 点横坐标为：2
2000724
M x R R R h h =+-
5．如图甲所示，正方形导线框abcd 用导线与水平放置的平行板电容器相连，线框边长与电容器两极板间的距离均为L ．O 点为电容器间靠近上极板的一点，与电容器右端的距离为
72L π，与水平线MN 的距离为等1
(1)4L π
+)．线框abcd 内和电容器两极板间都存在周期性变化的磁场，导线框内匀强磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电容器间匀强磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图丙所示，选垂直纸面向里为正方向．现有一带正电微粒在0时刻自O 12L
L
g g
内恰好做匀速圆周运动．已知重力加速度为g ，求：
(1)此带电微粒的比荷q m
； (2)自0时刻起经时间
32L
g
时微粒距O 点的距离； (3)自0时刻起经多长时间微粒经过水平线MN ．
【来源】山东省德州市2019届高三第二次模拟考试理科综合物理试题 【答案】（1）
14g
B L
（2）L π （3）
()()71120,1,2,320,1,21212L L n n n n g g ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
和 【解析】 【详解】
解：(1)电容器两极电势差大小等于线框产生的电动势：204L B U B L gL t
∆==∆
电容器两极间电场强度：04U
E B gL L
=
= 时间
12L L
g g
内：mg qE = 解得比荷：
14q g m B L
= (2)微粒运动的轨迹如图所示
时间10
2L
g
内：mg qE ma +=
1v at =
，1t =
解得：v
L g 内：208mv qv B r
π•= 可得：2L r π
= 又2r
T v
π=
解得：T =
时微粒距O 点的距离：2L x r π==
(3) 时间10
2L
g
内，微粒竖直向下的位移：124v L h t ==
设粒子转过角度α时与O 点间的竖直距离为：
1(1)4L π
+ 1
(1)4sin L h
r πα+-= 解得：6
πα=和56π
α=
每次微粒进入磁场后运动至水平线MN 所需时间：22t T α
π
=
解得：2t =
2t =自开始至水平线MN 的时间：122t t n T t =+•+，0,1,2,3(,)n =⋯⋯ 即：7(2)12t n =+
和11(212t n =+，0,1,2,3(,)n =⋯⋯ 又722L rn π
=
解得： 3.5n =
微粒离开电容器后不再经过水平线MN ，分析得自开始至水平线MN
的时间：
7(212t n =+，(0,1,2,3)n =
和11(212t n =+，0,1,2,3(,)n =⋯⋯
6．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L ，0）为圆心、半径为L 的圆形区域，与x 轴的交点分别为M 、N ，在xOy 平面内，从电离室产生的质量为m 、带电荷量为e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入电势差为U 的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方向进入匀强电场，已知O 、
Q 两点之间的距离为
2
L
，飞出电场后从M 点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。

（1）求0≤x≤L 区域内电场强度E 的大小和电子从M 点进入圆形区域时的速度v M ；
（2）若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x 轴，求所加磁场磁感应强度B 的大小和电子在圆形区域内运动的时间t ； （3）若在电子从M 点进入磁场区域时，取t ＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向），最后电子从N 点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向相同，请写出磁场变化周期T 满足的关系表达式。

【来源】【省级联考】吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试物理试题 【答案】（1）2U E L =
，2M eU v m
=v M 的方向与x 轴的夹角为θ，θ＝45°；（2）2M mv mv B eR L e ==3
348M R L m t v eU
ππ==3）T 的表达式为22T n emU =（n ＝1，2，3，…） 【解析】 【详解】
（1）在加速电场中，从P 点到Q 点由动能定理得：2
012
eU mv = 可得02eU
v m
=
电子从Q 点到M 点，做类平抛运动， x 轴方向做匀速直线运动，02L m t L v eU
==y 轴方向做匀加速直线运动，
2122L eE t m
=⨯
由以上各式可得：2U
E L
=
电子运动至M 点时：2
2
0(
)M Ee v v t m
=+ 即：2
M eU
v m
= 设v M 的方向与x 轴的夹角为θ，
02cos 2
M v v θ=
= 解得：θ＝45°。

（2）如图甲所示，电子从M 点到A 点，做匀速圆周运动，因O 2M ＝O 2A ，O 1M ＝O 1A ，且O 2A ∥MO 1，所以四边形MO 1AO 2为菱形，即R ＝L
由洛伦兹力提供向心力可得：2
M
M v ev B m R
=
即2M mv mv
B eR L e
=
=
3348M R
L m t v eU
ππ==。

（3）电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为90°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x 轴方向上的位移恰好等于轨道半径2R '，即222R L '=
因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达N 点且速度符合要求的空间条件为：2(2)2n R L '=（n ＝1，2，3，…） 电子在磁场中做圆周运动的轨道半径0
M
mv R eB '=
解得：022n emU
B eL
=
（n ＝1，2，3，…） 电子在磁场变化的半个周期内恰好转过
1
4
圆周，同时在MN 间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是014
2
T T = 又00
2m
T eB π=
则T 的表达式为22mL
T n emU
π=
（n ＝1，2，3，…）。

7．如图所示，MN 为绝缘板，CD 为板上两个小孔，AO 为CD 的中垂线，在MN 的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外(图中未画出)，质量为m 电荷量为q 的粒子(不计重力)以某一速度从A 点平行于MN 的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场
(电场方向指向O 点)，已知图中虚线圆弧的半径为R ，其所在处场强大小为E ，若离子恰
好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C 垂直于MN 进入下方磁场．
()1求粒子运动的速度大小；
()2粒子在磁场中运动，与MN 板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之
后恰好从小孔D 进入MN 上方的一个三角形匀强磁场，从A 点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN 上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？
()3粒子从A 点出发后，第一次回到A 点所经过的总时间为多少？
【来源】2014届福建省厦门双十中学高三热身考试物理试卷（带解析) 【答案】（1EqR
m
（2）212R ；11n +；（3）2πmR Eq
【解析】
【分析】 【详解】
（1）由题可知，粒子进入静电分析器做圆周运动，则有：
2
mv Eq R
= 解得：EqR
v m
=
（2）粒子从D 到A 匀速圆周运动，轨迹如图所示：
由图示三角形区域面积最小值为：
2
2
R S = 在磁场中洛伦兹力提供向心力，则有：
2
mv Bqv R
= 得：
mv R Bq
=
设MN 下方的磁感应强度为B 1，上方的磁感应强度为B 2，如图所示：
若只碰撞一次，则有：
112R mv R B q
=
=
22mv
R R B q
==
故
2112
B B = 若碰撞n 次，则有：
111R mv R n B q
=
=+ 22mv
R R B q
==
故
2111
B B n =+ （3）粒子在电场中运动时间：
124R t v π=
=在MN 下方的磁场中运动时间：
211122n t R v ππ+=
⨯⨯= 在MN 上方的磁场中运动时间：
23214R t v π=⨯=
总时间：
1232t t t t =++=
8．如图所示,在平面直角坐标系xOy 平面内,直角三角形abc 的直角边ab 长为6d ，与y 轴重合,∠bac=30°,中位线OM 与x 轴重合,三角形内有垂直纸面向里的匀强磁场．在笫一象限内,有方向沿y 轴正向的匀强电场,场强大小E 与匀强磁场磁感应强度B 的大小间满足E=v 0B ．在x=3d 的N 点处,垂直于x 轴放置一平面荧光屏.电子束以相同的初速度v 0从y 轴上－3d≤y≤0的范围内垂直于y 轴向左射入磁场,其中从y 轴上y=－2d 处射入的电子,经磁场偏转后,恰好经过O 点．电子质量为m,电量为e,电子间的相互作用及重力不计．求 (1)匀强磁杨的磁感应强度B
(2)电子束从y 轴正半轴上射入电场时的纵坐标y 的范围; (3)荧光屏上发光点距N 点的最远距离L
【来源】四川省乐山市2018届高三第二次调查研究考试理综物理试题 【答案】（1）0mv ed ； （2）02y d ≤≤；（3）9
4
d ； 【解析】
(1)设电子在磁场中做圆周运动的半径为r ； 由几何关系可得r =d
电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：20
0v ev B m r
=
解得：0
mv B ed
=
(2)当电子在磁场中运动的圆轨迹与ac 边相切时，电子从+ y 轴射入电场的位置距O 点最远，如图甲所示.
设此时的圆心位置为O '，有：sin 30r
O a '=
︒
3OO d O a ='-'
解得OO d '=
即从O 点进入磁场的电子射出磁场时的位置距O 点最远 所以22m y r d ==
电子束从y 轴正半轴上射入电场时的纵坐标y 的范围为02y d ≤≤
设电子从02y d ≤≤范围内某一位置射入电场时的纵坐标为y ，从ON 间射出电场时的位置横坐标为x ，速度方向与x 轴间夹角为θ，在电场中运动的时间为t ，电子打到荧光屏上产生的发光点距N 点的距离为L ，如图乙所示：
根据运动学公式有：0x v t =
212eE y t m
=
⋅ y eE v t m
=
tan y v v θ=
tan 3L
d x
θ=
- 解得：(32)2L d y y =即9
8
y d =
时，L 有最大值 解得：94
L d =
当322d y y
【点睛】本题属于带电粒子在组合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定某些物理量之间的关系；粒子在电场中的偏转经常用化曲为直的方法，求极值的问题一定要先找出临界的轨迹，注重数学方法在物理中的应用．
9．如图，为一除尘装置的截面图，塑料平板M .N 的长度及它们间距离均为d ．大量均匀分布的带电尘埃以相同的速度v o 进入两板间，速度方向与板平行，每颗尘埃的质量均为m ，带电量均为-q ．当两板间同时存在垂直纸面向外的匀强磁场和垂直板向上的匀强电场时，尘埃恰好匀速穿过两板间；若撤去板间电场，并保持板间磁场不变，尘埃恰好全部被平板吸附，即除尘效率为100%；若撤去两板间电场和磁场，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，y 轴垂直于板并紧靠板右端，x 轴与两板中轴线共线，要把尘埃全部收集到位于P (2d ，-1.5d)处的条状容器中，需在y 轴右侧加一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域．尘埃颗粒重力、颗粒间作用及对板间电场磁场的影响均不计，求： (1)两板间磁场磁感应强度B i 的大小；
(2)若撤去板间磁场，保持板间匀强电场不变，除尘效率为多少；
(3)y 轴右侧所加圆形匀强磁场区域磁感应强度B 2大小的取值范围．
【来源】【市级联考】山东省青岛市2019届高三下学期5月第二次模考理综物理试题 【答案】（1）0i mv B qd =；（2）除尘效率为50%；（3）
0022mv mv
B qd qd
≤≤ 【解析】 【详解】
（1）沿N 极板射入的尘埃恰好不从极板射出时尘埃的运动轨迹如图所示，
由几何知识可知，尘埃在磁场中的半径：r =d ， 尘埃在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：20
mv qvB r
=
,解得：0i mv B qd =; （2）电场、磁场同时存在时,尘埃匀速直线,满足：0qE qv B =，
撤去磁场以后粒子在电场作用下平抛，假设距离N 极板y 的粒子恰好离开电场： 水平方向：0d v t = 竖直方向：2
12
y at = 加速度：qE a m
=
解得：0.5y d =
当0.5y d >时，时间更长，水平位移x d >，即0.5d 到d 这段距离的粒子会射出电场，则从平行金属板出射的尘埃占总数的百分比：
0.5100%50%d d
d
-⨯=；
（3）设圆形磁场区域的半径为R 0,尘埃颗粒在圆形磁场中做圆周运动的半径为R 2，要把尘埃全部收集到位于P 处的条状容器中，就必须满足20R R =
另20
022
v qv B m R =
如图，当圆形磁场区域过P 点且与M 板的延长线相切时，圆形磁场区域的半径R 0最小，磁感应强度B 2最大，有0R d =小
解得：0
2mv B qd
大=
如图，当圆形磁场区域过P 点且与y 轴在M 板的右端相切时，圆形磁场区域的半径R 0最大，磁感应强度B 2最小，有02R d =大
解得：0
22mv B qd
=
小 所以圆形磁场区域磁感应强度B 2的大小须满足的条件为
0022mv mv
B qd qd
≤≤．
10．磁流体发电的工作原理示意如图．图中的长方体是发电导管，其中空部分的长、高、宽分别为l a b 、、，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻R 相连．整个发电导管处于匀强磁场中，磁感应强度为B ，方向如图垂直前后侧面．发电导管内有电阻率为ρ的高温高速电离气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出．由于运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势．已知气体在磁场中的流速为v ，
求：（1）磁流体发电机的电动势E 的大小；
（2）磁流体发电机对外供电时克服安培力做功的功率P 安多大； （3）磁流体发电机对外供电时的输出效率η.
【来源】【全国百强校】天津市实验中学2019届高三考前热身训练物理试题
【答案】（1）Bav （2）222
B a v a R bl
ρ+
（3）
100%
R a R bl ρ⨯+ 【解析】 【详解】
解：(1)磁流体发电机的电动势：E Bav = (2)回路中的电流：E
I R r
=+ 发电机内阻：a r bl
ρ=
受到的安培力：F BIa =
克服安培力做功的功率：P 安v F =
克服安培力做功的功率：P 安222B a v a R bl
ρ=
+
(3)磁流体发电机对外供电时的输出效率：UI EI
η= 外电压：U IR = 磁流体发电机对外供电时的输出效率：
100%
R a
R bl
ηρ=
⨯+。