高中数学 质量评估1 北师大版必修4

章末质量评估(一)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形周长为( )． A ．6π cm B ．60 cm C ．(40＋6π)cm
D ．1 080 cm
解析 ∵54°＝54×π180＝3π
10
，
∴扇形周长l ＝αr ＋2r ＝3π
10×20＋2×20
＝6π＋40(cm)． 答案 C
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于( )． A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 解析 ∵x ＝4，y ＝－3， ∴r ＝x 2
＋y 2
＝5.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.
答案 B
3．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎪⎫π，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2
D.⎝
⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π 解析 由题知sin α－cos α＞0且tan α＞0， ∴α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π，54π. 答案 B
4．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域是( )．
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠k π＋5π
6，k ∈Z
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠kπ－5π
6，k ∈Z
C.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠2kπ＋5π
6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈R |x ≠2kπ－5π
6，k ∈Z
解析 根据正切函数的定义域，令x －π3≠k π＋π
2(k ∈Z )，即得结论．
答案 A
5．函数y ＝1－2cos π
2x 的最小值、最大值分别是( )．
A ．－1,3
B ．－1,1
C ．0,3
D ．0,1
解析 ∵－1≤cos π
2x ≤1，∴－1≤y ≤3.
答案 A
6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调增区间是( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6
，5π6
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3
，2π3 解析 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )
得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π
6(k ∈Z )．故选A .
答案 A
7．下列说法中，正确的是( )． A ．第二象限的角是钝角
B ．第三象限的角必大于第二象限的角
C ．－831°是第二象限角
D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
解析 984°40′－(－95°20′)＝1 080°＝3×360°，984°40′－264°40′＝720°＝2×360°，故三个角的终边相同． 答案 D
8．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( )．
A ．±15
B ．±
55
C ．±255
D ．±12
解析 角α的终边在直线y ＝－2x 上，可分两类：当角α的终边在第二象限时，设直线上一点P (－1,2)，sin α＝25
5；当角α终边在第四象限时，设直线上一点P (1，－2)，此
时，sin α＝－25＝－255，∴sin α＝±25
5.
答案 C
9．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析 点P 位于第三象限，所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0， ∴sin θ＞0，cos θ＜0，故θ在第二象限． 答案 B
10．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图像是( )．
解析 函数y ＝x ＋sin|x |为非奇非偶函数，故选C. 答案 C
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，则ω＝______，
φ＝______.
解析 由图像知，T 4＝7π12－π3＝π
4
，
∴T ＝π，∴ω＝2.又2×7π
12
＋φ＝
2k π＋π(k ∈Z )，结合|φ|＜π2，∴φ＝－π
6.
答案 2 －π
6
12．若f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为________．
解析 观察已知与未知的差异，我们必须把sin 30°转化成cos 60°，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案 －1
13．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是________． 解析 直线y ＝3与y ＝tan ωx 图像的相邻交点的距离为y ＝tan ωx 的最小正周期，∴d ＝T ＝πω
.
答案
πω
14．将函数f (x )的图像上的各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将图像上的各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，然后再将所得图像向左平移π
3
，恰好得到函数
y ＝sin x 的图像，则f (x )＝________.
解析 将y ＝sin x 的图像向右平移π
3，再将图像上的各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
不变)，再将所得图像上的各点的纵坐标缩短到原来的1
2倍(横坐标不变)就得到函数f (x )的
图像．
答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
x －π3
15．不等式tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≥－1的解集是________．
解析 由k π－π4≤2x －π4＜k π＋π
2，k ∈Z ，
解得
k π
2
≤x ＜
k π2
＋3
8
π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢
⎡⎭⎪⎫k π2
，k π2＋3π8(k ∈Z )
16．把函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度，所得的函数为偶函数，则m 的最小值是________．
解析 向左平移m 个单位长度后，所得图像对应的解析式为f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋4π3，由题
意，知f (0)＝±1.
即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43π＝±1，m ＋43π＝k π，m ＝k π－43π(k ∈Z )， ∵m ＞0，∴m 的最小值为2
3π.
答案
2π3
三、解答题(共40分)
17．(10分)化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·co s ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋αsin π＋α
.
解 原式＝
cos α·sin α
－cos α
＋
sin α·－sin α
－sin α
＝－sin α＋sin α＝
0.
18．(10分)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2
，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴
l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12
(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2
＋25.故当半径R ＝5时，扇形的
面积有最大值25 cm 2
，此时扇形的圆心角为α＝l R ＝20－2×55
＝2.
19．(10分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ≤π
2)在x ∈(0,7π)内只取到一个
最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．
解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，∴T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ. ∵点(π，3)在此函数图像上， ∴3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π5＋φ＝3.
∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10
.
∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15
x ＋3π10.
(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π
2
＋2k π，
即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15
x ＋3π10单调递增，所以此函数的单调
递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．
20．(10分)已知函数f (x )＝A 2－A 2cos(2ωx ＋2φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π
2
)，且y ＝f (x )的
最大值为2，其图像相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)． (1)求φ；
(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)． 解 (1)∵y ＝A 2－A
2
cos(2ωx ＋2φ)，
且y ＝f (x )的最大值为2，A ＞0，∴A 2＋A
2＝2，A ＝2.
又∵其图像相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， ∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫2π2ω＝2，∴ω＝π4
. ∴f (x )＝22－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋2φ＝1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋2φ.
∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－1，π2＋2φ＝2k π＋π，k ∈Z .
∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π
4.
(2)法一 ∵φ＝π4，∴f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2
＝1＋sin π
2
x .
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008. 法二 ∵f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝1＋sin π2x ，
∴f (1)＋f (3)＝1＋sin π2＋1＋sin 3π
2
＝2.
f (2)＋f (4)＝1＋sin π＋1＋sin 2π＝2.
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4.
又∵y ＝f (x )的周期T ＝4,2 008＝4×502， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008.。