高三数学第三次周考试题 理 试题

HY 第四高级中学2021届高三数学第三次周考试题 理
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
一、选择题
{}(){}2230,ln 1,A x x x B x y x =--≤==-那么A B ⋂= ( )
A. [2,3]
B. []1,3
C. (]1,3
D. [)1,-+∞
2.
()
2
121i
i +=-( )
A.112i +
B.112i -
C.112i --
D.112
i -+ 〔 〕
A.命题“假设21x =,那么1x =〞的否命题为：“假设21x =,那么1x ≠〞
B.“03x <<〞是“11x -<〞的必要不充分条件
C.命题 “x R ∃∈,使得210x x +-<〞的否认是：“x R ∀∈,均有210x x +->〞
D.命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆命题为真命题
4在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图,那么该几何体的体积为( )
3316cm A =
3π316cm B = 3364cm C = 3π3
64cm D = 10
22x x ⎫⎪⎭
展开式中的常数项是( )
6数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且7,3,1a a a 为等比数列{}n b 的连续三项,那么数列{}n b 的公比为( )
2=A 4=B 2
1
=
C 2=
D 7
为
的导函数,那么
的图象大致是
8假设是2和8的等比中项,那么圆锥曲线的离心率是( )
23=
A 5=
B 523或=
C 2
5
23或=D
9.抛掷一枚质地均匀的硬币,假如连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( ) A.
1999 B. 11000 C. 9991000 D. 12
10.某校进展了一次创新作文大赛，一共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，那么以下结论错误的选项是〔 〕 A. 得分在[40,60)之间的一共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)
C. 估计得分的众数为55
D. 这100名参赛者得分的中位数为65
11假如执行右面的程序框图,那么输出的
( )
10题
12三个数6log ,6,7.07.07
.06===c b a 的大小关系为( )
A.c<a<b
B.a<b<c
C.c<b<a
D.a<c<b 二、填空题
(1,2),(2,)a b m ==，且//a b ，那么m =__________．
14.直线23y x =+被圆2
2
680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 15.假设点(cos ,sin )P a a 在直线2y x =-上,那么π
tan()4
a +=___________.
16.变量 ,x y 满足240
20
20
x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
,那么12y x ++的取值范围是_________. 三、解答题
17.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,B a c b cos 2,,成等差数列.
A ;
13,3,a b D =为BC 中点,求AD 的长.
28.某医疗科研工程对5只实验小白鼠体内A,B 两项指标数据进展搜集和分析,得到的数据如表所示 指标 1号小白鼠
2号小白鼠
3号小白鼠
4号小白鼠
5号小白鼠
A 5 7 6 9 8 B
2
2
3
4
4
1.假设通过数据分析,得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系。

试根据表中数据,求B 项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程 y b x a ∧
∧
∧
=+
5只小白鼠中随机抽取3只,求其中至少有一只B 项指标数据高于3的概率。

参考公式: ()()
()
∧
====---=
=
--∑∑∑∑1
1
2
2
2
1
1
n
n
i i
i i i
i
n
n
i i i
i
x x
y
y
x y nxy b x x
x nx
,a y b x ∧∧
=-
19.如下图，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD 90,2,3ABC SA AB ∠===，
23,60,AD ACD E =∠=为CD 的中点.
1.求证：//BC 平面SAE ；
SD 与平面SBC 所成角的正弦值.
)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 经过点
），（30，离心率为21
，左右焦点分别为)0,(1c F -，)0,(2c F . 1.求椭圆C 的方程；
2.N P ,是C 上异于M 的两点，假设直线PM 与直线PN 的斜率之积为4
3
-，证明:N M ,两点的横坐标之和为常数.
()ln f x x x =.
()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
0b a >>，证明：0()()2(
)()ln 22
a b
f a f b f b a +<+-<-.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
〔t 为参数，0πα≤<〕.以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
244cos 2sin ρρθρθ-=-.
1.写出曲线C 的直角坐标方程；
l 与曲线C 交于,A B 两点，且AB 的长度为l 的普通方程.
23.[选修4-5:不等式选讲]
()|1||2|f x x x m =+++．
1.当3m =-时，求不等式()6f x ≤的解集；
()|24|f x x ≤-的解集为M ，且1
[1,]2
M -⊆，务实数m 的取值范围.
第三次考试答案
CDBB BDAC DDCA
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡2341.1631-.155
4.144.13，答案答案答案答案
,,2cos b c a B 成等差数列,那么22cos c b a B =+,
由正弦定理得: 22sin 2sin 22sin cos R C R B R A B ⨯=+⨯, 2sin sin 2sin cos C B A B ∴=+,
2sin()2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B B A B ∴+=+=+,
即2cos sin sin A B B =, 因为sin 0B ≠, 所以1cos 2
A =
, 又0,3
A A π
π<<∴=
.
2.在△ABC 中, 2222cos a b c bc A =+-,
21
139232
c c ∴=+-⨯⨯⨯,
即2
340c c --=,
4c ∴=或者1c =- (舍去),故4c =,
在△ABC 中, 2221391613
cos 213
2133a b c C ab +-+-===⨯⨯
在△ACD 中, 222321313337
2cos 3()2322134
AD AC CD AC CD C =+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯=
, 37
2
AD ∴=. ++++++++=
===5769822344
7,355
x y
又因为 ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑5
1
5272639484110i i i
x y , =++++=∑5
2
2222157698255i
所以-⨯⨯=
=-⨯2
1105731
225557
, 又因为 =-=-
⨯=-113722a y bx ,所以所求线性回归方程为=-11
22
y x 。

2.记这 3只小白鼠中至少有一只B 项指标高于3为事件C , 记这 3只小白鼠中没有一只B 项指标高于3为事件D , 事件C 和事件D 互为对立事件, 随机抽取三只老鼠一共有10种情况,
()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5
其中仅 ()1,2,3的组合中没有一只老鼠的B 指标高于3,故()=1
10
P D ,所以()=-
=19
11010
P C , 所以这 3只小白鼠中至少有一只B 项指标高于3的概率为910。

解析：
19.答案：1.证明：因为3,1,90AB BC ABC ==∠=，
所以2,60AC BCA =∠=，
在△ACD 中，23,2,60AD AC ACD ==∠=，
由余弦定理可得：222
2cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠
解得：4CD =
所以222
AC AD CD +=，所以△ACD 是直角三角形，
又E 为CD 的中点，所以1
2
AE CD CE =
= 又60ACD ∠=，所以△ACE 为等边三角形， 所以60CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ， 又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ， 所以//BC 平面SAE .
90BAE ∠=，以点A 为原点，以,,AB AE AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系，
那么(0,0,2),(3,0,0),(3,1,0),(3,3,0)S B C D -. 所以(3,0,2),(3,1,2),(3,3,2)SB SC SD =----. 设(,,)n x y z 为平面SBC 的法向量，
那么00
n SB n SC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
即320320
x z x y z ⎧⋅=⎪⎨+-=⎪⎩ 设1x =，那么0y =，3
2
z =
， 即平面SBC 的一个法向量为3
(1,0,
)2
n =， 所以2321
cos ,77
164
n SD n SD n SD
⋅-=
=
=-⨯ 所以直线与平面所成角的正弦值为
217
. 解析： 20.答案：
1.因为椭圆经过点)3,0(，所以3=b ；又因为2
1=
e ， 所以2
1=a c ；又2
22b a c -=，解3,2==b a ，所以椭圆C 的方程为13422=+y x ． 2.设N M P ,,三点坐标分别为),(P P y x ,),(M M y x ,),(N N y x ，
设直线PN PM ,斜率分别为21,k k ，那么直线PM 方程为)(1P P x x k y y -=-，
由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+
)
(13
412
2P P x x k y y y x 消去y ，得012484)(8)43(2
122111221=-+-+--+P P P P P P y y x k x k x y x k k x k ，
由根与系数关系可得2
1
1143)(8k y x k k x x P P P M +-=
+
故2
1
12
12
1
114338443)(8k x y k x k x k y x k k x P
P P P P P M +--=
-+-=
，
同理可得2
2
2243)(8k y x k k x x P P P N +-=
+ 又4
3
21-=⋅k k ，
故348643434343843)(82
1121112222++=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+k y k x k y x k k k y x k k x x P
P P P P P P N ， 那么M P
P P P P P N x k x y k x k x k y k x x -=+---
=-++=
2
1
12
12
1
1433844386，从而0=+M N x x .
即N M ,两点的横坐标之和为常数. 解析：
21.答案：(1)0f =，又'
()ln 1f x x =+， 所以'
(1)1f =，
因此()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-， 即10x y --=
2.证明：因为0a b <<，所以1b a > 由于22()()2()ln ln 2ln ln ln 222a b a b a b a a f a f b f a a b b a b a b a b
++++-=+-⋅=+++， ()()2()02a b f a f b f ++->等价于2()2ln ln 011b b a b b a a a
+>++， 令1b x a
=>， 设函数22()ln ln (1)11F x x x x x
=+≥++ ''2()[ln 2ln(1)ln 2ln(1)]ln 1x F x x x x x x x
=-++-+=+ 当1x >时，211x x
>+，所以'()0F x >， 所以()F x 在(1,)+∞上是单调递增函数，又(1)0F =，
所以()0(1)F x x >>，
所以()0b
F a >，即()()2()02
a b f a f b f ++-> ()()2()()ln 22a b f a f b f b a ++-<-等价于4ln ln 011b
b a b b a a a
+<++， 令1b x a
=>， 设函数4()ln ln (1)11x g x x x x x
=-≥++ ''()[ln 4ln(1)ln ln(1)]ln 1x g x x x x x x x
=-++-+=+ 当1x >时，011x x
<<+，所以'()0g x <， 所以()g x 在(1,)+∞上是单调递减函数，又(1)0g =，
所以()0(1)g x x <>
所以()0b g a
<，即()()2(
)()ln 22
a b f a f b f b a ++-<- 综上可得：0()()2()()ln 22a b f a f b f b a +<+-<-. 解析：
22.答案：1.将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得：
曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=-
即22(2)(1)9x y -++=
2.将直线的参数方程代入曲线方程：22(cos 2)(sin 1)9t t αα-++= 整理得2(4cos 2sin )40t t αα---=
设点,A B 对应的参数为12,t t
解得12124cos 2sin ,4t t t t αα+=-=-
那么12||||AB t t =-===23cos 4sin cos 0ααα⇒-=，因为0πα≤< 得π2α=和3tan 4
α= 直线l 的普通方程为34y x =
和0x = 解析：
23.答案：3m =-时，()|1||23|f x x x =++-
原不等式等价于|1||23|6x x ++-≤
故有11236x x x ≤-⎧⎨---+≤⎩或者3121236x x x ⎧-<<⎪⎨⎪+-+≤⎩或者321236
x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-≤⎩ 解得：413x -
≤≤-或者312x -<<或者3823
x ≤≤ 综上，原不等式的解集48{|}33
x x -≤≤ ()|24|f x x ≤-在1[1,]2
-上恒成立， 即|1||2||24|x x m x +++≤-在1[1,]2-上恒成立 所以1|2|42x x m x +++≤-
即|2|33x m x +≤-在1[1,]2-上恒成立 所以33233x x m x -≤+≤-
即335x m x -≤≤-在1[1,]2-上恒成立 由于5143,
35822x x -≤-≤-≤-≤ 所以5122m -≤≤，即m 的取值范围是51[,]22- 解析：。