2013年泉州市高三第二次质检数学(文科)答案
泉州市高三数学质量检测试卷2文科含答案
泉州市2015届高三数学质量检测试卷2（文科含答案）泉州市2015届高三数学质量检测试卷2（文科含答案）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．抛物线的准线方程为()A．B．C．D．2．根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是()A.B.C.D.3.下列说法正确的是()A．“”是“函数是奇函数”的充要条件B．若，，则，C．若为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若双曲线的渐近线方程为，则椭圆的离心率为() A.B.C.D.5.设实数满足，则的最大值是()A．B．C．2D．36.已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸如图，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）A．B．C．D．7.函数（其中）的图象如下图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A.B.C.D.9.若满足，，则下列三个式子中为定值的式子的个数为()①，②，③A．0B．1C．2D．310.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（）A.5B.7C.9D.1111.已知是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，则函数的图像大致是（）12.如图，正方体中，，，点为平面内的一动点，且满足，则点的轨迹是（）A、抛物线B、圆C、椭圆D、双曲线第Ⅰ卷（选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.设为虚数单位，则复数=．14.已知{}是斐波那契数列，满足中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}，则b2015=．15.定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义。
泉州2013年高三质检文科数学试卷含答案
永春一中高三年校质检数学（文）科试卷 （2013.05）考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1. 复数2(1i)+的值是（ ）A ．2 B.2- C.2i D.2i -2. 已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么U A B =ð（ ）A.{2,1,4}-B. {2,1,3}-C.{0,2}D.{2,1,3,4}- 3. 命题“x e R x x>∈∀,”的否定是（ ） A ．x e R x x<∈∃, B ．x e R x x<∈∀, C ．x e R x x≤∈∀, D ．x e R x x≤∈∃,4. 执行如图所示的程序框图，若输入2=x ，则输出y 的值为（ ） A ．5 B. 9 C.14 D.415. 设平面向量a (2,6)=-，b (3,)y =，若a ∥b ，则a －2b ＝（ ）A ．(4,24)B ．(8,24)-C ．(8,12)-D ．(4,12)-6. 高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4的样本，已知6号32号45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ） A. 3 B. 12 C. 16 D.197. 下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）A ．()1x f x e =-B ．1()f x x x -=+C ．1()f x x x -=- D ．()|sin |f x x =-8. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．左移π3个单位 B ．右移π3个单位 C ．右移π6个单位 D ．左移π6个单位 9. 已知(){}({},11,02,,A x y x y B x y y =-≤≤≤≤=．若在区域A 中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B 中的概率为（ ） A ．18π-B ．4π C ．14π- D ．8π10. 设双曲线2221(0)9y x a a-=>的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．53 C．4D11. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）A ．2 B. 22 C ．3 D. 3212. 设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
2013年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文)试卷及答案.
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c> 3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为A ．3B ．8C ．9D ．63 4．“1x =”是“210x -=”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则 “x MN ∈”的概率是A ．110B ．16C ．310D ．127．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．15 B ．25 C ．45D ．5A BCD8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4B ．1C ．0D ．1- 9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n + 12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()l g1010,x yx y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人． 14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3π，则c = ．15．若函数2,0,()ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 19．(本小题满分12分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足1111191C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．20．(本小题满分12分)某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围.（参考数据9505.0328≈，9559.0329≈）． 21．(本小题满分12分)已知函数()2e xf x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分14分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S的坐标俯视图侧(左)视图正(主)视图1A(),S S x y ，如图．（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A Bs s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <， 所以8x y ==． ………………………………………6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ， ()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分 下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+, 所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为()21s i n 2,fx x =+⎡⎤⎣⎦所以231s i n 1262f ππ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以12f π⎛⎫=⎪⎝⎭6分 (Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分112222=-++=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分 （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===，在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EF AB AE =， ……………………11分 得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分 在AB C Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分 所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分 （2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），……………………7分所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832， 所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2tk f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at b x t -++=++-，令0x =，得()21ty t e a t=-- ()01t << (5)分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2t g t t e a '=+，………………………………………………………… 7分 因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即12a ≥-时，20te a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2e a ≤-时，20te a +<，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()l n (2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.………………………………11分 综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………7分 又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分 2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ②把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， (10)分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以//MT NS ，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．……………………………………………11分（Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=， 则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩ (7)分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-， 所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………………………10分所以MT k =，0NS k =，………………………………………………………………………………10分又因为M 、T 、N、S四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意，设直线:1l my x =-，由241y xmy x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，…………………………………………6分 又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又因为212y y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭221122224404y y y y y x y +=+=，……………………………………9分 所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴； 同理可证MT 平行于x 轴；又因为M、T、N、S四点不共线，所以MT//NS.…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一.…………………………………………………14分。
2013泉州质检数学试题
准考证号________________姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，34黑．5 s =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|0}A x x =<，1{|24}2x B x =<<，则A B I 等于 A ．{|12}x x -<< B ．{|10}x x -<< C ．{|1}x x < D ．{|20}x x -<< 2．若数列{}n a 是等差数列，且374a a +=，则数列{}n a 的前9项和9S 等于A ．272B ．18C ．27D ．36 3．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13B ．12C ．2D ．24．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ B ．若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ5．定义区间[,]a b 的长度为b a -.若,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()()(0,||)f x sin x ωϕωϕπ=+><的一个长度最大的单调递减区间，则 A ．8ω=,πϕ=B ．8ω=,πϕ=-C ．4ω=,2πϕ=D ．4ω=,ϕ=6．函数()sin f x =7．已知函数()f x =n 的倾斜角为n θ，则1n tan tan θθ++A ．1n B ．1 ．1n n- 8．已知O 为坐标原点，()1,2A ，点P 的坐标(),x y 满足约束条件1x y x ⎧+≤⎪⎨≥⎪⎩，则z OA OP=⋅的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．29．甲袋内装有2个红球和3个白球，乙袋内装有1个红球和n ()n *∈N 个白球．现分别从甲、乙两袋中各取1个球，若将事件“取出的2个球恰为同色”发生的概率记为()f n .则以下关于函数()f n ()n *∈N 的判断正确的是A ．()f n 有最小值，且最小值为25 B ．()f n 有最大值，且最大值为35 C ．()f n 有最小值，且最小值为12 D ．()f n 有最大值，且最大值为1210．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x-=. A ．①② ．①②③11．已知i 12．二项式⎛⎝13．幂函数14||AB 的15．图1是一个由27个棱长为5种简单组合体. 如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号．．和相应的个数．．是 ．（提示回答形式，如2个①和3个②）题，共80证明过16．(CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，图2 ① ③ ②④ ⑤角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆17．(本小题满分13分)t (cm)，相关等品；若(2.8,2.9]t ∈尺寸(3.2,3.3]甲机床零件频数1乙机床零件频数4.参考公式：2K 参考数据：20()P K k ≥0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0.010 0k1．3232．0722．7063．8415．0246.63518．（本小题满分13分）如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD =，3BC =，E 为BC 上一点， 2BE EC =，且DE =ABCD 沿DE 折成直二面角B DE C --，如图2所示． （Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面ABED ； （Ⅱ）设点A 关于点D 的对称点为G ，点M 在BCE ∆所在平面内，且直线GM 与平面ACE所成的角为60︒，试求出点M 到点B 的最短距离．19．（本小题满分13分）已知点F 为抛物线C : ()220y px p =>的焦点，()()4,0M t t >为抛物线C 上的点，且5MF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程和点M 的坐标；（Ⅱ）过点MA ，2l 与抛物线C （ⅰ）若k20．（本小题满分14已知函数()n f x（Ⅰ）求函数()3f x 的极值； （Ⅱ）判断函数()n f x 在区间上零点的个数，并给予证明；（Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的n 值．21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，把矩阵10201⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭B 确定的压缩变换σ与矩阵0110-⎛⎫= ⎪⎝⎭A 确定的旋转变换90R ︒进行复合，得到复合变换90R σ︒⋅．（Ⅱ）求圆C （2）Q 分别为直线l 与x 直线（3）2013届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9 C．10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.x ；14、3；15、4个③和11、；12、15；13、ln11个⑤.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查三角函数的性质、两角和与差的三角函数公式、解三角形以及数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．解：（Ⅰ）a、b、c成等差，且公差为2，∴4a c=-、2b c=-.……………………………………1分又23MCN∠=π，1cos2C=-，∴222122a b cab+-=-，…………………………4分5分6分分，…3⎝⎭，∴2333πππθ<+<, …………………………12分∴当32ππθ+=即6πθ=时，()fθ取得最大值2+……………………13分17．本小题主要考查概率统计的基础知识和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思想方法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X 元，它的分布列为 (3)分则有()E X =3×0.8+1×0.14+（-1）×0.06=2.48（元）.所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元. ………6分（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个.制作29分11分 95%的把握床有18．解：（Ⅰ）在图1中，由平几知识易得DE BC ⊥，……1分 在图2中，∵,DE BE DE CE ⊥⊥，∴BEC ∠是二面角B DE C --的平面角， (2)分∵二面角B DE C --是直二面角，∴BE CE ⊥. (3)分∵DEBE E =，,DE BE ⊂平面ABED ，CE ∴⊥平面ABED ， (4)分又CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABED ． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,DE BE CE 两两互相垂直，以E 为原点，分别以,,EB EC ED 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示．…6分则(0,0,0)E ，(1,0,3)A ，(2,0,0)B ，(0,1,0)C ，D ，(G,EA =，(0,1,0)EC =.，得(3,0,n =-8分(,,0)M x y ，则直线sin 60||||GM n ∴=︒⋅，……………………………………………………10分22|3(1)2(1)x x y ++⋅++11分 13分19．13分． 542p==+，∴2p =，…………………………………………2分 ∴抛物线C ：24y x =．…………………………………………………3分 又()()4,0M t t >在抛物线C 上，∴244164t t =⨯=⇒=．∴()4,4M ．…………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）设直线()11:44l y k x -=-，∵1l 与抛物线C 交于M 、A 两点，∴10k ≠.………………5分由()12444y k x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得：211416160k y y k -+-=，………………6分 设()11,A x y ，则111114416164y k k y k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，……………………………7分∴()2111124144,k k y x --==，即()21124144,k k A ⎛⎫-- ⎪.………………8分 9分 ∴3121212121122k k k k k k k ==+-+-1321121k k k ∴+-=，1231112k k k +-=，即证得123111k k k +-为定值．……………13分20．本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）∵()3331f x x x =--，∴()2333f x x '=-，……………1分当1x >时，()30f x '>；当01x <<时，()30f x '<.……………3分∴当1x =时，()3f x 取得极小值3-，无极大值 (4)分（Ⅱ）函数()n f x在区间上有且只有一个零点. ……………5分证明如下：∵3110nf =-=-<，3110nf =-=>，0n nf f ⋅<，∴函在零点. ∵(n f '20n>，∴(n f x 8分∴函数9分（Ⅲ）程序n a 满足n a ≥.10分∵31222n f n ⎛⎛=-- ⎝⎭⎝⎭18=-， ∴当03n <≤时，0()2n n n f f a ⎛<= ⎝⎭； 当4n ≥时，0()2n n n f f a ⎛⎫+>= ⎪ ⎪⎝⎭. ……11分 又()n f x 在区间上单调递增，∴当3n ≤n a <；当4n ≥n a >.……………13分∴输出的n 值为4． …………………………………………………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）复合变换90R σ︒⋅对应的矩阵为0110-⎛⎫= ⎪⎝⎭AB 1010210012-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………2分所以，复合变换R σ⋅的坐标变换公式为12x y y x '=-⎧⎪⎨'=⎪⎩.,)x y''，5分7分（2）思想.满分（Ⅰ）由x ⎧⎪⎨⎪⎩\3分（Ⅱ）当y 当0x =时，y =\点Q 的直角坐标为(0,．∴线段PQ 的中点M 的直角坐标为，∵2ρ==和tan 1θ==10,0x y =>=>，………5分∴M 的极坐标为(2,)3p， (6)分\直线OM 的极坐标方程为：()3R pq r =?． …………………………………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想.满分7分.（Ⅰ）∵不等式21|x |->的解集为{|13}x x x <>或，……………………1分∴不等式20x ax b -+>的解集为{|13}x x x <>或.从而1,3为方程20x ax b -+=的两根，………………………………………2分10930a b a b -+=⎧∴⎨-+=⎩，3分≤号成立， 即25107=x。
2013年高考文科数学福建卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. 设点(,)P x y ,则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的 （ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 3. 若集合{1,2,3}A =,{1,3,4}B =,则A B 的子集个数为 （ ） A . 2 B . 3 C . 4D . 16 4. 双曲线221x y -=的顶点到其渐进线的距离等于（ ）A . 12B .C . 1D .5. 函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）A .B .C .D .6. 若变量x ,y 满足约束条件2,1,0,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥则2z x y =+的最大值和最小值分别为（ ）A . 4和3B . 4和2C . 3和2D . 2和07. 若221x y +=,则x y +的取值范围是（ ）A . [0,2]B . [2,0]-C . [2,)-+∞D . (,2]-∞- 8. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数n 后,输出的(10,20)S ∈,那么n 的值为（ ）A . 3B . 4C . 5D . 69. 将函数ππ()sin(2)()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 （ ）A . 5π3B . 5π6C . π2D . π610. 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则该四边形的面积为 （ ） A .B .C . 5D . 1011. 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y bx a =+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ''=+,则以下结论正确的是（ ）A . ,b b a a ''>>B . ,b b a a ''><C . ,b b a a ''<>D . ,b b a a ''<<12. 设函数()f x 的定义域为R ,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A . x ∀∈R ,0()()f x f x ≤B . 0x -是()f x -的极小值点C . 0x -是()f x -的极小值点D . 0x -是()f x --的极小值点第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知函数32,0,()πtan ,0,2x x f x x x⎧⎪=⎨-⎪⎩＜≤＜则π(())4f f =________.14. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ,则事件“310a -＜”发生的概率为________.15. 椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,焦距为2c .若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_________.16. 设S ,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）{()|}T f x x S =∈；（ⅱ）对任意12,x x S ∈,当12x x ＜时,恒有12()()f x f x ＜,那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合： ①A =N ,*B =N ；②{|13}A x x =-≤≤,{|810}B x x =-≤≤； ③{|01}A x x =＜＜,B =R . 其中,“保序同构”的集合对的序号是_________.（写出所有“保序同构”的集合对的序号）三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =,前n 项和为n S . （Ⅰ）若1,1a ,3a 成等比数列,求1a ；（Ⅱ）若519S a a >,求1a 的取值范围.姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面A B C D ,AB DC ∥,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠=.（Ⅰ）当正视方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图（要求标出尺寸,并写出演算过程）；（Ⅱ）若M 为PA 的中点,求证：DM ∥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥D PBC -的体积.19.（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率； （Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=（注：此公式也可以写成22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）20.（本小题满分12分）如图,抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心,||CO 为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M ,N .（Ⅰ）若点C 的纵坐标为2,求||MN ； （Ⅱ）若2|||| ||AF AM AN =,求圆C 的半径.21.（本小题满分12分）如图,在等腰直角OPQ △中,90POQ ∠=,OP =点M 在线段PQ 上.（Ⅰ）若OM ,求PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问：当POM ∠取何值时,OMN △的面积最小？并求出面积的最小值.22.（本小题满分14分）已知函数()1ex af x x =-+（a ∈R ,e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学(文史类)答案解析A B={1,3}【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线数学试卷 第10页（共27页）2x y ，即2x 因为1(AC BD =⨯-所以AC BC ⊥，2221(4)2||||22AC BD -+=，故选C正视图如图所示：AB，1MN又DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC∴DM∥平面PBCDBCPD又PBCs△（Ⅰ）由已知得，样本中有25数学试卷第16页（共27页）||| AN，得y=，解得数学试卷第22页（共27页）。
2013_年福建省高考数学试卷及解析(文史类)
2013 年福建省高考数学试卷及解析（文史类）一、选择题1．复数z = -1-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义。
由几何意义可知复数在第三象限。
2．设点P(x, y)，则“x = 2且y = -1”是“点P在直线l : x + y +1= 0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定。
因为(2,1)点代入直线方程，符合方程，即“x = 2且y = -1”可推出“点P在直线l : x + y +1= 0上”；而点P 在直线上，不一定就是(2,1)点，即“点P在直线l : x + y +1= 0上”推不出“x = 2且y = -1”。
故“x = 2 且y = -1”是“点P在直线l : x + y +1= 0上”的充分而不必要条件。
3．若集合A ={1,2,3},B ={1,3,4}，则A B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集。
因为A B ={1,3}，有2 个元素，所以子集个数为2 4 2 = 个。
4．双曲线1 2 2 x - y = 的顶点到其渐近线的距离等于（）A．21B．22C．1 D．2【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质。
因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为(1,0)，取一条渐近线为y = x，所以点(1,0)到直线y = x的距离为22。
5．函数( ) ln( 1) 2 f x = x + 的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象。
由函数解析式可知f (x) = f (-x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B,D。
6．若变量x, y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+ ≤12yxx y，则z = 2x + y 的最大值和最小值分别为（）A．4 和3 B．4 和2 C．3 和2 D．2 和0【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划。
2013年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•福建）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”22B所以所求的距离为=2B6．（5分）（2013•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小解：满足约束条件x y，，即8．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）9．（5分）（2013•福建）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）B，解：函数，，﹣﹣，所以+，．10．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求＞b′，＞a′B＞b′，＜a′＜b′，＞a′＜b′，＜a′，，进而可得，和，进而可得，再由直线方程的求法可得==，=，×××==，=﹣×==2比较可得，12．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）（2013•福建）已知函数f（x）=，则f（f（））=﹣2．（）的值，然后求解解：因为）=14．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．15．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为16．（4分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N，B=N*；②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；③A={x|0＜x＜1}，B=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是①②③．（写出“保序同构”的集合对的序号）．中的两个集合，可取函数三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•福建）已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．18．（12分）（2013•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．=PD==4平行且等于平行且等于S（[﹣]=8．19．（12分）（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）×=60×名工人所有可能的结果共工人的结果共故所求的概率为：；=20．（12分）（2013•福建）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．（|OC|=|MN|=2（﹣+y y+1+=4，．的半径为21．（12分）（2013•福建）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．OM=OP=2OM=OP=2由正弦定理可得：OM=ON==的面积最小，面积的最小值22．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．，则直线1+﹣=01+x+（。
福建省泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查(文科)数学
准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{1,2,3}A =，{0,2}B =，则()U A B ð等于A ．{}1,2,3,4B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,32．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是A ．2,220x x x ∃∈++>RB ．2,220x x x ∃∈++≥RC ．2,220x x x ∀∈++>RD ．2,220x x x ∀∈++≤R 3．若直线:l 0x y a ++=经过圆:C 22240x y x y +-+=的圆心，则a 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4．阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是A ．2B ．6C ．24D ．48 5．若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为A ．12160x y --=B ．40x y -=C ．12160x y +-=D ．640x y --= 6. 函数()sin f x x =的图象向左平移4π个单位后，所得图象的一条对称轴是 A ．4x =-πB ．4x =πC ．2x =πD ．34x =π7. 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的两个焦点恰为椭圆2214xy +=的两个顶点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 A ．2213yx -= B ．221412xy-= C ．2213xy -= D ．221124xy-=8．某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为A ．20+B ．24C ．24+D ．289．已知单位向量a 、b ，满足⊥a b ，则函数2()()f x x =+a b （x ∈R ）A . 既是奇函数又是偶函数B . 既不是奇函数也不是偶函数C . 是偶函数D . 是奇函数 10．给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程122.0ˆ+=x y 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量yˆ平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确的说法是A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③11．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上均有零点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是 A ．2()1()f x x bx b =+-∈R B ．2()2x f x x =- C ．()21f x x =-- D ．()sin f x x x =-12.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Γ；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形,绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Γ.根据祖暅原理等知识，通过考察2Γ可以得到1Γ的体积为A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．已知(i)i 12i a +=--（a ∈R ，i 是虚数单位），则a 的值为 ．14．已知y x ,满足约束条件10,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z 2+=的最大值为 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22sin sin 2sin sin A B B C -=⋅，3c b =，则角A 的值为 ．16．利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在01 区间内的均匀随机数,a b ； 第二步：对随机数,a b 实施变换：1142,4,a a b b =⋅-⎧⎨=⎩得到点A ()11,a b ；第三步：判断点A ()11,a b 的坐标是否满足211b a <；第四步：累计所产生的点A 的个数m ，及满足211b a <的点A 的个数n ；第五步：判断m 是否小于M （一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法.若设定的100M =，且输出的34n =，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为 （保留小数点后两位数字）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，33a =，145a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)为了解某社区家庭的月均用水量（单位：吨），现从该社区随机抽查100户，获得每户某年的月均用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）分别求出频率分布表中a b 、的值，并估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率； （Ⅱ）设1A 、2A 、3A 是户月均用水量为[0,2)的居民代表，1B 、2B 是户月均用水量为[2,4]的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会，请列举出所有不同的选法，并求居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率．19．(本小题满分12分)如图，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆221x y +=相切．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点A B 、在抛物线C 上，且2FB OA =，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)O M a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量O M的伴随函数．（Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量O M 的模；（Ⅱ）记O N =的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，E 是以A B 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形A B C D 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==． （Ⅰ）求证：E A E C ⊥；（Ⅱ）设平面EC D 与半圆弧的另一个交点为F ．①试证：//E F A B ；②若1E F =，求三棱锥E A D F -的体积．22．(本小题满分14分)已知函数()3e xf x a =+（e 2.71828=…是自然对数的底数）的最小值为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）已知b ∈R 且0x <，试解关于x 的不等式 22()3(21)3lnf x ln x b x b -<+--；（Ⅲ）已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3e f x t x +≤，试求m 的最大值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． D 2．C 3．B 4．B 5． A 6． B 7． A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．2- 14．11 15．3π16．10.56.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由11123,(3) 5.a d a a d +=⎧⎨++=⎩………………………… 2分解得11,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………………… 4分所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⋅=． ………………………… 6分（Ⅱ）因为n a n =，所以11n a n +=+，111(1)1n b n n nn ==-++，…………………… 9分所以1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++．…… 12分18．本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得0.50.50.25a =⨯=，…………… 2分∴月均用水量为[1.5,2)的频数为25.故2100928b =-=，得4b =. ………………………… 4分由频率分布表可知，户月均用水量不超过3吨的频率为0.92， ……… 5分 根据样本估计总体的思想，估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率为0.92． ……… 6分（Ⅱ）由1A 、2A 、3A 、1B 、2B 五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：12()A A ，，13()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A A ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，. ………………………… 8分记“1B 、2B 至少有一人被选中”的事件为A ，事件A 包含的基本事件为：11()A B ，，12()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，，共包含7个基本事件数. ……………… 10分 又基本事件的总数为10，所以7()10P A =.即居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率为710. …………………… 12分19．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，其准线l 的方程为2p y =-. ………………………… 2分∵准线l 与圆221x y +=相切，∴所以圆心(0,0)到直线l 的距离0()12p d =--=，解得2p =. ……… 4分故抛物线C 的方程为:24x y =． ………………………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112224,4.x y x y ⎧=⎨=⎩…………① …………………… 6分∵(0,1)F ，22(,1)FB x y =- ，11(,)OA x y =，2FB OA = ,∴22(,1)x y -112(,)x y =11(2,2)x y =，即 21212,2 1.x x y y =⎧⎨=+⎩ …………② ………………… 9分②代入①，得211484x y =+，21121x y =+， 又2114x y =，所以11421y y =+，解得112y =，1x =即1)2A或1()2． ………………………… 12分20．本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等． 解：（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x =+， ……………… 2分 ∴(2,1)O M =． ………………………… 4分故O M ==……………………… 5分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =+2sin()3x π=+，……………………… 7分∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈. ……………………… 9分∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x单调递增，且()2h x ⎤∈⎦；当,62x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈. ∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为)2t ∈． … 12分21．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）∵平面A B C D ⊥平面A B E ，面A B C D 面A B E A B =，B C A B ⊥，B C ⊂面A B C D ， ∴B C ⊥面A B E ． ………………………… 2分又∵A E ⊂面A B E ，∴BC AE ⊥． ………………………… 3分 ∵E 在以A B 为直径的半圆上，∴AE BE ⊥，又∵BE BC B = ，B C B E ⊂、面BC E ，∴A E ⊥面BC E ．…………… 4分 又∵C E ⊂面BC E ，∴E A E C ⊥． ……………………… 5分（Ⅱ）① ∵//A B C D ，A B ⊄面C ED ，C D ⊂面C ED ，∴//A B 平面C ED ．… 6分又∵A B ⊂面A B E ，平面ABE 平面C ED E F =， ∴//A B E F . ……………… 8分 ②取A B 中点O ，E F 的中点'O ，在'R T O O F ∆中，1O F =，1'2O F =，∴'2O O =．（Ⅰ）已证得B C ⊥面A B E ，又已知//AD BC ， ∴AD ⊥平面A B E ．…………… 10分故13E A DF D A E F A E F V V S AD --∆==⋅⋅11'3212EF O O AD =⋅⋅⋅⋅=． … 12分 22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ……………… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln 3ln e ln 3ln 3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 6分 得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <． …………… 8分市质检数学（文科） 第11页（共11页） （Ⅲ）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x t f x t x e ex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-. ∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 10分 令()1ln (0)h x x x x =+->. ∵011)('≤-=x x h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. …………… 11分 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 12分∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 13分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e =-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e =-=⋅<=- 且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 14分。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(福建卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（福建卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2、【答案】A【解析】点P（2，-1）满足直线方程，所以在线上，反之不能推出点P的坐标必为（2，-1）.故选A【考点定位】考查了点与线的位置关系的判断及条件的判断，属于简单题.3、【答案】C【解析】其子集个数为个.【考点定位】考查集合的运算及子集个数的算法，属于简单题.4、【答案】B【解析】由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得，亦可根据渐近线倾斜角为450得到.【考点定位】本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.5、【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.6、【答案】B【解析】如图可行域为的内部，显然分别在点A和点B处取到最小值2和最大值4.【考点定位】简单的线性规划问题，牢记目标函数的几何意义即可.7、【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.8、【答案】B【解析】注意到S的值比较小，所以可以考虑依次循环可知n=4的时候S=15满足，亦可通过数列考虑S的表达式.【考点定位】属于程序框图中比较简单的考查方法，只要学生看懂图即可.9、【答案】B【解析】由平移得，两个图像都过点P，有，又，故，验证可得可取. 【考点定位】对于三角函数图像的考察，属于中等题，特别注意平移的量.10、【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.11、【答案】C【解析】散点图如右，显然后四个点都不在直线的左上方，所以回归直线斜率应该更小，纵截距更大，故选C.【考点定位】本题主要考查回归直线的概念，通过图像很容易得到正确答案.属于容易题.12、【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.13、【答案】-2【解析】，【考点定位】对于分段函数的考查属容易题.14、【答案】【解析】知，由几何概型知【考点定位】简单的几何概型的考查.15、【答案】【解析】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.16、【答案】①②③【解析】条件（i）说明S到T是一个一一映射，条件（ii）说明函数单调增.对于1可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于2可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于3可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构.【考点定位】本题考查学生对新概念的理解，转化和应用，属于难题.17、【答案】(I) (II)【解析】（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或．（2）因为数列的公差，且，所以；即，解得此数列的考查个人认为太过简单，只需要懂得等差等比数列的公式即可，所以只要注意计算就可以轻松拿到12分.【考点定位】本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．属于容易题.18、【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形为矩形，在中，由，,依勾股定理得：，从而又由平面得，从而在中，由，,得正视图如图所示：（2）取中点，连结，在中，是中点，∴，，又,∴，∴四边形为平行四边形，∴又平面，平面∴平面（3）又，，所以解法二：（1）同解法一（2）取的中点，连结,在梯形中，，且∴四边形为平行四边形∴，又平面，平面∴平面，又在中，平面,平面∴平面.又,∴平面平面，又平面∴平面（3）同解法一对于立体几何的考查所有关系的决断往往基于对公理定理推论掌握的比较熟练，又要善于做出一线辅助线加以证明，再者就是体积和表面积的计算公式要熟悉.【考点定位】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属容易题19、【答案】（I）（II）没有把握【解析】（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”对于独立性检验的考查要求学生会用公式，并且懂得算法过程并懂得结论的给出，应该算容易题，可往往学生会被这么长的题目所吓倒，再加上统计与概率的结合就会变为难点.此题比较容易出现计算和结论上的失误，而造成不必要的失分.【考点定位】本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．属于中等难度.20、【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为所以点到准线的距离，又．所以.（Ⅱ）设，则圆的方程为，即.由，得设，，则：由，得所以，解得，此时所以圆心的坐标为或从而，，即圆的半径为此题以圆为背景考查了解析几何中的常用方法（如设而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.【考点定位】本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．属于中等难度.21、【答案】(Ⅰ) 或（Ⅱ）当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为【解析】（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理得，，得，解得或．（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．此题通过正余弦定理巧妙的将面积最值问题通过三角函数呈现，而三角函数的化简过程又比较复杂，但还是有规律可循的，比如差异分析.这就要在平时注意积累，而且计算基本功要硬.【考点定位】本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思.计算难度比较大，属于难题.22、【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（Ⅰ）由，得．又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得．（Ⅱ），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．②当时，令，得，．，；，．所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值．（Ⅲ）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．又时，，知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当时，．直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解．①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．②当时，方程（*）化为．令，则有．令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为．所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．综上，得的最大值为．此题的一二问考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方.而第三问对于曲线是否无交点要懂得转化成函数零点或方程根的个数问题处理，这也是常规处理含参就比较麻烦，平时要多加练习.【考点定位】本小题主要考查函数与导数，两数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．属综合要求比较高的难题.。
福建省2013届高三毕业班质量检测数学文试题 含解析
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1,x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-,z 为z 的共轭复数,则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．2z =【答案】D【KS5U 解析】1z i =+，因此,A ，B 不正确；而2z =D 正确.2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是A ．22ab > B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b cc >【答案】C【KS5U 解析】当1a =-,2b =-时显然A 项不对;当0c <时B 和D 项不对;不等式两边加上同一个数不等式方向不改变，因此C 项对。
3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．8 C ．9 D ．63 【答案】B【KS5U 解析】由输入x 的值是2,循环一次x 的值是3，循环两次x 的值是8，恰好可以满足条件8x ≥,结束程序，输出的值是8。
福建省泉州市2013届高三5月质量检查数学文试题Word版附答案
准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 是虚数单位，则复数i (2i)⋅+在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U =R ，{(3)0}A x x x =+<，{1}B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A ．(3,1)--B ．(1,0)-C ．[1,0)-D ．(,1)-∞-3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是A ．84B ．85C ．86D ．87.54．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x 值为48，则输入的x 值为A ．3B ．6C ．8D ．125．若0a >，0b >，且1,,,4a b 构成等比数列，则ks5uA ．22a b +有最小值4 B ．a b +有最小值4C ．22a b +无最小值D ．a b +有最小值26．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 A ．023=-+y x B ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x 7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A ．13y x =B ．x x f tan )(-=C ．2()1x f x x =- D ．x x x f 22)(-=- 8．设,a b ∈R ，那么“>1a b”是“>>0a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为A ．y =B ．3y x =±C ．13y x =±D ．3y x =±10．已知()21()cos cos 02f x x x x ωωωω=⋅->的图象与1y =的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图象，只须把cos 2y x =的图象A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 11．已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -<≤时，2()1f x x =-．若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为A ．3{|24a a k =+或524k +,k ∈Z }B ．1{|24a a k =-或324k +,k ∈Z } C ．{|21a a k =+或524k +,k ∈Z } D ．{|21a a k =+,k ∈Z } 12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP为半径作一个球.设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是ks5uA ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(4,)m =a ，(1,2)=-b ，若+=-a b a b ，则实数m 等于 ．14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2013年5月1日出版的《A 市早报》报道了A 市2013年4月份中30天的AQI统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A 市该月环境空气质量优良的总天数为 ．15．一水平放置的平面图形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图''''O A B C 如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC 的面积为 ．16．对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为12,,m a a a ⋅⋅⋅，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为12,,n b b b ⋅⋅⋅，并设其中最大的数为b .两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等；③a 可能大于b ； ④b 可能大于a ．以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．126126126x x x y y y z zz三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为12，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A ，未达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A ．（Ⅰ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为M ，试求事件M 发生的概率；（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件N ，使得事件N 发生的概率大于%85，并说明理由．18．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-． （Ⅰ）求AB 边的长及角C 的大小；（Ⅱ）从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为4π，试判断ABC ∆的形状．19．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20．已知长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1D D ⊥面ABCD ，4AB =，12AA =，点E 在棱11C D 上，且13D E =．（Ⅰ）试在棱CD 上确定一点1E ，使得直线1//EE 平面1D DB ，并证明；（Ⅱ）若动点F 在底面ABCD 内，且2AF =，请说明点F 的轨迹，并探求EF 长度的最小值．21．已知(0,1)F 是中心在坐标原点O 的椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的离心率e 为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设：11(,)M x y 、22(,)N x y 为椭圆C 上不同的点，直线MN 的斜率为1k ；A 是满足OM ON OA λ+=（0λ≠）的点，且直线OA 的斜率为2k ．①求12k k ⋅的值；②若A 的坐标为3(,1)2，求实数λ的取值范围．22．定义域为D 的函数()f x ，其导函数为'()f x ．若对x D ∀∈，均有()'()f x f x <，则称函数()f x 为D 上的梦想函数．（Ⅰ）已知函数()sin f x x =，试判断()f x 是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数()1g x ax a =+-（a ∈R ，(0,)x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()sin 1h x x ax a =++-（a ∈R ，[0,]x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的最大整数值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．2 14．12 15． 16．②③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共8种，………………2分 事件M 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共3种，…4分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件M 发生的概率83)( M P ．……6分 （Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以%8587)(>=N P ．……12分 方案二：记 “该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故%8587)(>=N P ．………12分 18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意1cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=-，………………2分 得1cos 2AOB ∠=-，又0AOB π<∠<，故23AOB π∠=，…4分 又AOB ∆为等腰三角形，故AB = …………5分 而123C AOB π∠=∠=或12(2)23C AOB ππ∠=-∠=．………………6分 （Ⅱ）依题意，从圆O 内随机取一个点，取自ABC ∆内的概率O ABC S S P 圆∆=，可得S ABC ∆=．………………8分 设BC a =，AC b =.设23C π∠=，由1sin 2ABC S ab C ∆=⋅⋅=，得3ab =， ……① 由2222cos 3AB a b ab C =+-=，得223a b ab ++=， ……② 联立①②得220a b +=,这是不可能的. 所以必有3C π∠=. …………9分由1sin 2ABC S ab C ∆=⋅⋅=，得3ab =， ……① 由2222cos 3AB a b ab C =+-=，得223a b ab +-=，226a b += …②………11分联立①② 解得a b ==所以ABC ∆为等边三角形．………………12分19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解法一：（Ⅰ）依题意21=b ，8233==b ，………………2分设数列}{n b 的公比为q ，由120n a n b +=>，可知0q >，………3分由822213=⋅=⋅=q q b b ，得42=q ，又0>q ，则2=q ，………4分故n n n n q b b 222111=⋅==--，………5分又由n a n 221=+，得1-=n a n ．………………6分（Ⅱ）依题意n n n c 2)1(⋅-=．………………7分n n n n n S 2)1(2)2(2221201321⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ， ①则14322)1(2)2(2221202+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②……9分①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=++⋅⋅⋅+--⋅=--⋅-， …………11分 即12)2(4+⋅-+-=-n n n S ，故12)2(4+⋅-+=n n n S ．………………12分解法二：（Ⅰ）依题意}{n b 为等比数列，则q b b n n =+1（常数）， 由120n a n b +=>，可知0q >，………………2分 由q n n n n a a a a ==-++++1122211，得q a a n n 21log =-+（常数），故}{n a 为等差数列，…………4分设}{n a 的公差为d ，由01=a ，220213=+=+=d d a a ，得1=d ，故1-=n a n ．…………6分（Ⅱ）同解法一．20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.解：（Ⅰ）取CD 的四等分点1E ，使得13DE =，则有1//EE平面1D DB . 证明如下：………1分因为11//D E DE 且11D E DE =，所以四边形11D EE D 为平行四边形，则11//D D EE ，………2分因为1DD ⊂平面1D DB ，1EE ⊄平面1D DB ，所以1//EE 平面1D DB ．………4分（Ⅱ）因为2AF =,所以点F 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分因为11//EE DD ，1D D ⊥面ABCD ，所以1E E ⊥面ABCD ， ………………7分故EF ==．………………8分所以当1E F 的长度取最小值时，EF 的长度最小，此时点F为线段1AE 和四分之一圆弧的交点，………………10分即11523E F E A AF =-=-=，所以EF ==．即EF 12分21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为22221y x a b+=（0a b >>），………………1分由1c =，12c e a ==，得2a =， 由222b ac =-，可得23b =，………………3分故椭圆C 的方程为22143y x +=．………………4分 （Ⅱ）解法一：①由11(,)M x y 、22(,)N x y 且1k 存在，得21121y y k x x -=-，………………5分由OM ON OA λ+=，0λ≠且2k 存在，得21221y y k x x +=+，则222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--.………………6分 ∵11(,)M x y ，22(,)N x y 在椭圆上，∴2211143y x +=，2222143y x +=，………7分 两式相减得22222121043y y x x --+=，2221222143y y x x -=--， ∴1243k k ⋅=-．………………8分 ②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-.设直线:2MN y x m =-+（m ∈R ），由222,1,43y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2216123120x mx m -+-=，……ks5u ……9分 所以1234mx x +=. ∵OM ON OA λ+=，∴1232x x λ+=，2m λ=. …………10分又由()()22124163120m m ∆=--⋅⋅->，解得44m -<<，………………11分∴22λ-<<且0λ≠．………………12分解法二：①设直线1:MN y k x m =+（m ∈R ），若0m =，则120,x x +=由A 满足OM ON OA λ+=（λ∈R ，0λ≠），得0A x =， ∵直线OA 的斜率2k 存在，∴0m ≠. ………5分由122,1,43y k x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22211(43)63120k x k mx m +++-=……(*).……………6分 ∵11(,)M x y 、22(,)N x y ，∴11221643k mx x k +=-+. ………7分∵12112()2y y k x x m +=++，A 满足OM ON OA λ+=，∴直线OA 的斜率2121211121214323y y k mk k k x x x x k ++==+=-++， 经化简得1243k k ⋅=-. ………9分 ②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-. ………10分∴方程(*)可化为2216123120x mx m -+-=，下同解法一.22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）函数()sin f x x =不是其定义域上的梦想函数．………………1分理由如下：()sin f x x =定义域D R =，()'cos f x x =，………………2分存在3x π=，使()'()33f f ππ>，故函数()sin h x x =不是其定义域R D =上的梦想函数．……4分ks5u（Ⅱ）()1g x ax a =+-，()'g x a =，若函数()1g x ax a =+-在(0,)x π∈上为梦想函数，则1ax a a +-<在(0,)x π∈上恒成立，………………5分即1a x <在(0,)x π∈上恒成立， 因为1y x =在(0,)x π∈内的值域为1(,)π+∞，………………7分所以1a π≤．………………8分（Ⅲ）a x x h +=cos )('，由题意)()('x h x h >在[0,]x π∈恒成立，故cos sin 1x a x ax a +>++-，即cos sin 1ax x x <-+在[0,]x π∈上恒成立． ①当0x =时，0cos0sin012a ⋅<-+=显然成立；……………9分 ②当0x π<≤时，由cos sin 1ax x x <-+可得cos sin 1x x a x-+<对任意(]0,x π∈恒成立. 令cos sin 1()x x F x x -+=，则2(s i n c o s )(c o ss i n 1)'()x x x x x F x x --⋅--+=，…10分令)1sin (cos )cos sin ()(+--⋅--=x x x x x x k ，则'()(sin cos )sin()4k x x x x x π=-⋅=⋅-．当(0,]4x π∈时，因为0)('≤x k ，所以)(x k 在(0,]4π单调递减； 当(,]4x ππ∈时，因为0)('≥x k ，所以)(x k 在(,]4ππ单调递增．∵(0)20k =-<，()1044k π=--<， ∴当(0,]4x π∈时，()k x 的值均为负数.∵()1044k π=--<，()0k ππ=>，∴当(,]4x ππ∈时，()k x 有且只有一个零点0x ，且0(,)4x ππ∈. ……………11分∴当0(0,)x x ∈时，0)(<x k ，所以'()0F x <，可得()F x 在0(0,)x 单调递减； 当0(,)x x π∈时，0)(>x k ，所以'()0F x >，可得()F x 在0(,)x π单调递增． 则00min 00cos sin 1()()x x F x F x x -+==．…………12分因为0)(0=x k ，所以00000cos sin 1(sin cos )x x x x x -+=--⋅，min 0000()()sin cos )4F x F x x x x π==--=+．…………13分∵)(x k 在(,]4ππ单调递增，02)2(<-=ππk ，012)43(>-=πk ，∴0324x ππ<<，所以01)04x π-<+<，即01()0F x -<<．ks5u又因为0()a F x <，所以a 的最大整数值为1-．…………14分。
2013年高考福建卷(文)数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设点),(y x P 、则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A 、则B A 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．164．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．25．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x 、则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和07．若122=+yx 、则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞8．阅读如图所示的程序框图、运行相应的程序、如果输入某个正整数n 后、输出的)20,10(∈S 、那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象、若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P 、则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 10．在四边形ABCD 中、)2,4(),2,1(-==BD AC 、则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=、则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 12．设函数)(x f 的定义域为R 、)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f 、则=))4((πf f 14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a 、则事件“013<-a ”发生的概率为15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F 、焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠、则该椭圆的离心率等于 16．设T S ,是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,、当21x x <时、恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中、“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =、前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列、求1a ； （2）若519S a a >、求1a 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图、在四棱锥P ABCD -中、PD ABCD ⊥面、//AB DC 、AB AD ⊥、5BC =、3DC =、4AD =、60PAD ∠=．（1）当正视图方向与向量AD 的方向相同时、画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸、并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点、求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名、25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法、从中抽取了100名工人、先统计了他们某月的日平均生产件数、然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组、在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分别加以统计、得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人、求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”、请你根据已知条件完成22⨯的列联表、并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：20．（本小题满分12分）如图、在抛物线2:4E y x =的焦点为F 、准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上、以C 为圆心OC 为半径作圆、设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2、求MN ； （2）若2AFAM AN =⋅、求圆C 的半径．21（本小题满分12分）如图、在等腰直角三角形OPQ ∆中、90OPQ ∠=、OP =点M 在线段PQ 上．（1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上、且30MON ∠=、问：当POM ∠取何值时、OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小 值．22（本小题满分14分）已知函数()1xaf x x e =-+（a R ∈、e 为自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴、求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时、若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、求k 的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．D二、填空题13．2- 14．3115．13- 16．①②③ 三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d=、且131,,a a 成等比数列、所以2111(2)a a =⨯+、即21120a a --=、解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =、且519S a a >、 所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<、解得152a -<<18．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中、过点C 作CE AB ⊥、垂足为E 、由已知得、四边形ADCE 为矩形、3AE CD == 在Rt BEC ∆中、由5BC =、4CE =,依勾股定理得： 3BE =、从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得、PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中、由4AD =、60PAD ∠=︒,得PD = 正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N 、连结MN 、CN 在PAB ∆中、M 是PA 中点、∴MN AB 、132MN AB ==、又CD AB ,3CD =∴MN CD 、MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形、∴DM CN 又DM ⊄平面PBC 、CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=、PD =、所以D PBC V -=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E 、连结ME ,DE在梯形ABCD 中、BE CD 、且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC 、又DE ⊄平面PBC 、BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC 、又在PAB ∆中、ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,∴平面DME 平面PBC 、又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC（Ⅲ）同解法一 19．解：（Ⅰ）由已知得、样本中有25周岁以上组工人60名、25周岁以下组工人40名 所以、样本中日平均生产件数不足60件的工人中、25周岁以上组工人有600.053⨯=（人）、 记为1A 、2A 、3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人）、记为1B 、2B从中随机抽取2名工人、所有可能的结果共有10种、他们是：12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、31(,)A B 、32(,)A B 、12(,)B B其中、至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种、它们是：11(,)A B 、12(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、31(,)A B 、32(,)A B 、12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知、在抽取的100名工人中、“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人）、所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<、所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-、由点C 的纵坐标为2、得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =、又||CO = 所以||2MN ===.（Ⅱ）设200(,)4y C y 、则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+、 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-、得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -、2(1,)N y -、则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅、得12||4y y =所以20142y +=、解得0y =、此时0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =、||CO =、即圆C21．解：（Ⅰ）在OMP ∆中、45OPM ∠=︒、OM =OP =、由余弦定理得、2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒、 得2430MP MP -+=、解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=、060α︒≤≤︒、 在OMP ∆中、由正弦定理、得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠、 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+、同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒、30230150α︒≤+︒≤︒、所以当30α=︒时、()sin 230α+︒的最大值为1、此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时、OMN ∆的面积的最小值为8-．22．解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+、得()1xaf x e '=-． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴、得()10f '=、即10ae -=、解得a e =． （Ⅱ）()1x af x e'=-、①当0a ≤时、()0f x '>、()f x 为(),-∞+∞上的增函数、所以函数()f x 无极值． ②当0a >时、令()0f x '=、得x e a =、ln x a =．(),ln x a ∈-∞、()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞、()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减、在()ln ,a +∞上单调递增、故()f x 在ln x a =处取得极小值、且极小值为()ln ln f a a =、无极大值． 综上、当0a ≤时、函数()f x 无极小值；当0a >、()f x 在ln x a =处取得极小值ln a 、无极大值． （Ⅲ）当1a =时、()11xf x x e =-+令()()()()111x g x f x kx k x e=--=-+、 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解． 假设1k >、此时()010g =>、1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭、 又函数()g x 的图象连续不断、由零点存在定理、可知()0g x =在R 上至少有一解、与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾、故1k ≤． 又1k =时、()10x g x e=>、知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时、()11xf x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、 等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解、即关于x 的方程：()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时、方程（*）可化为10x e =、在R 上没有实数解． ②当1k ≠时、方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =、则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=、得1x =-、当x 变化时、()g x '的变化情况如下表：当1x =-时、()min g x e=-、同时当x 趋于+∞时、()g x 趋于+∞、 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时、方程（*）无实数解、 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上、得k 的最大值为1．。
2013福建高考文科数学试卷及答案解析
2013年福建省高考数学试卷及解析（文史类）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 (答案)C(解析)本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限． 2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (答案)A(解析)本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为)1,2(点代入直线方程，符合方程，即“2=x 且1-=y ”可推出“点P 在直线01:=++y x l 上”；而点P 在直线上，不一定就是)1,2(点，即“点P 在直线01:=++y x l 上”推不出“2=x 且1-=y ”．故“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的充分而不必要条件． 3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 (答案)C(解析)本题考查的是集合的交集和子集．因为}3,1{=B A ，有2个元素，所以子集个数为422=个． 4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 (答案)B(解析)本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22． 5．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． (答案)A(解析)本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 (答案)B(解析)本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．122O xy7．若122=+yx ，则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ (答案)D(解析)本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6(答案)B(解析)本题考查的是程序框图．循环前：2,1==k S ；第1次判断后循环：3,3==k S ；第2次判断后循环：4,7==k S ；第3次判断后循环：5,15==k S ．故4=n ．9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π (答案)B(解析)本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 (答案)C(解析)本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ (答案)C(解析)本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b'>'<ˆ,ˆ．故选C12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 (答案)D(解析)本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ，则=))4((πf f (答案)2-(解析)本题考查的是分段函数求值．2)1(2)1()4tan())4((3-=-=-=-=f f f f ππ．14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为(答案)31(解析)本题考查的是几何概型求概率．013<-a ，即31<a ，所以31131==P ．15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 (答案)13-(解析)本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==a c e ，故答案为13-．16．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）(答案)①②③(解析)本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数)(x f y =为单调递增函数．对于集合对①，可取函数)(2)(N x x f x∈=，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数)31(2729≤≤--=x x y ，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数)10)(2tan(<<-=x x y ππ，是“保序同构”．故答案为①②③． 三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >， 所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．（1）当正视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）； （2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分． 解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD == 在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得43PD = 正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴MNAB ，132MN AB ==，又CD AB ,3CD = ∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅ 又6PBC s ∆=，43PD =，所以83D PBC V -= 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE 在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,∴平面DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC （Ⅲ）同解法一 19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率． （2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分． 解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人）， 记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B ，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周400.37515⨯=生产能手 非生产能手合计 25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40 合计30 70 100所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”。