广东省中山市高考数学一诊试卷(文科)
2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A＝{x|x3≤1}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．[0，1]2．复数z＝（a+2）﹣（a+3）i在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）3．设x，y∈R，则“x＜1且y＜1”是“x+y＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若圆锥的母线长为2√3，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（）A．√3πB．3πC．3√3πD．9π5．函数f（x）=sinx+x在[﹣π，π]的图象大致为（）cosx+x2A．B．C．D．6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a7．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）A．42种B．63种C．96种D．126种8．已知等比数列{a n}各项均为正数，且满足：0＜a1＜1，a17a18+1＜a17+a18＜2，记T n＝a1a2⋯a n，则使得T n＞1的最小正数n为（）A．36B．35C．34D．33二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．4511．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数是 ．（用数字作答）14．已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝ ．15．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ．16．已知函数f （x ）＝e ﹣x ﹣e x ，若函数h （x ）＝f （x ﹣4）+x ，数列{a n }为等差数列，a 1+a 2+a 3+⋯+a 11＝44，则h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝ ． 四、解答题（共5小题，满分64分）17．（10分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ，讨论f （x ）的单调区间．18．（12分）如图，在四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．（1）若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；（2）若二面角A ﹣BC ﹣V 的大小为30°，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．19．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共n（n∈N*）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有k（k∈N*，k≥2）份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为k+1．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）若n＝5，p＝0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（Ⅱ）记ξ为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当k＝5，p＝0.2时，求E（ξ）；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：0.84＝0.41，0.85＝0.33，0.86＝0.26）20．（15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y24=1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的取值范围．21．（15分）已知函数f（x）=√x−lnx．（Ⅰ）若f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A ＝{x |x 3≤1}，B ＝{x |x +1＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．[0，1]解：A ＝{x |x 3≤1}＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x +1＞0}＝{x |x ＞﹣1}，则A ∩B ＝（﹣1，1]． 故选：A ．2．复数z ＝（a +2）﹣（a +3）i 在复平面上对应的点Z 在第二象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣2，﹣3）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）解：由复数z ＝（a +2）﹣（a +3）i 在复平面上对应的点Z 在第二象限， 可得{a +2＜0−(a +3)＞0，解得a ＜﹣3，故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣3）．故选：D ．3．设x ，y ∈R ，则“x ＜1且y ＜1”是“x +y ＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：①当x ＜1且y ＜1时，则x +y ＜2成立，∴充分性成立，②当x ＝0，y ＝1.5时，满足x +y ＜2，但不满足x ＜1且y ＜1，∴必要性不成立， ∴x ＜1且y ＜1是x +y ＜2的充分不必要条件， 故选：A ．4．若圆锥的母线长为2√3，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（ ） A ．√3πB ．3πC ．3√3πD ．9π解：设圆锥的底面圆半径为r ，因为母线长为2√3， 所以侧面展开图的面积为πr ×2√3=6π，解得r =√3， 所以圆锥的高为h =√(2√3)2−(√3)2=3， 所以圆锥的体积是V =13π×(√3)2×3＝3π． 故选：B ． 5．函数f （x ）=sinx+xcosx+x 2在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0，因此排除B，C；故选：D．6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：∵a=log20.2＜log21=0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：B．7．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）A．42种B．63种C．96种D．126种解：先对3名志愿者分成两个组有C32=3种方法，每个组安排到两个项目中去有A72=42∴共有C32×A72=3×42＝126种安排方法．故选：D．8．已知等比数列{a n}各项均为正数，且满足：0＜a1＜1，a17a18+1＜a17+a18＜2，记T n＝a1a2⋯a n，则使得T n＞1的最小正数n为（）A．36B．35C．34D．33解：由a17a18+1＜a17+a18得：（a17﹣1）（a18﹣1）＜0，∴{a 17＜1a 18＞1或{a 17＞1a 18＜1， ∵等比数列{a n }各项均为正数，∴q ＞0， ∴数列{a n }具有单调性，又∵0＜a 1＜1， ∴0＜a 17＜1＜a 18，又∵a 17a 18+1＜2，∴a 17a 18＜1， ∴T 33=(a 1a 33)332=(a 17)2×332=a 1733＜ 1，T 34=(a 1a 34)17=(a 17a 18)17＜ 1，T 35=(a 1a 35)352=(a 182)352=a 1835＞1，则使得T n ＞1的最小正数n 为35， 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cos α≠0，则2sin α（2﹣sin α）＝1﹣2sin 2α，解得sin α=14， 则cos α=√1−sin 2α=√154，∴tan α=sinαcosα=14154=√1515．故选：A ．10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45解：6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有C 62=15种，利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故排放方法有C 52=10种，所以所求概率为1015=23．故选：C ．11．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√34解：因为AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1， 所以底面ABC 为等腰直角三角形，所以△ABC 所在的截面圆的圆心O 1为斜边AB 的中点， 所以OO 1⊥平面ABC ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√2，则AO 1=√22，在Rt △AOO 1中，OO 1=√OA 2−AO 12=√22，故三棱锥O ﹣ABC 的体积为V =13•S △ABC •OO 1=13×12×1×1×√22=√212． 故选：A ．12．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52解：∵f （x +1）为奇函数，∴f （1）＝0，且f （x +1）＝﹣f （﹣x +1）， ∵f （x +2）偶函数， ∴f （x +2）＝f （﹣x +2），∴f [（x +1）+1]＝﹣f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （﹣x ）， 即f （x +2）＝﹣f （﹣x ），∴f （﹣x +2）＝f （x +2）＝﹣f （﹣x ）， 令t ＝﹣x ，则f （t +2）＝﹣f （t ）， ∴f （t +4）＝﹣f （t +2）＝f （t ），∴f （x +4）＝f （x ），∵当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ，∴f （0）＝f （﹣1+1）＝﹣f （2）＝﹣4a ﹣b ，f （3）＝f （1+2）＝f （﹣1+2）＝f （1）＝a +b ， 又f （0）+f （3）＝6，∴﹣3a ＝6，解得a ＝﹣2， ∵f （1）＝a +b ＝0，∴b ＝﹣a ＝2， ∴当x ∈[1，2]时，f （x ）＝﹣2x 2+2，∴f （92）＝f （12）＝﹣f （32）＝﹣（﹣2×94+2）=52，故选：D ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数是 ﹣80 ．（用数字作答）解：根据二项式定理可得展开式中含x 2y 3的项为C 53x 2(−2y)3=−80x 2y 3，所以x 2y 3的系数为﹣80， 故答案为：﹣80．14．已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝ 8或2 ． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝4，S 3＝a 1+a 2+a 3＝14，得4q +4+4q ＝14，整理得2q 2﹣5q +2＝0，解得q ＝2或q =12，当q ＝2时，a 3＝a 2q ＝4×2＝8；当q =12时，a 3＝a 2q ＝4×12=2． 故答案为：8或2．15．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ﹣1 ．解：∵AE ＝BE ，AD ∥BC ，∠A ＝30°， ∴在等腰三角形ABE 中，∠BEA ＝120°， 又AB ＝2√3，∴AE ＝2，∴BE →=−25AD →，∵AE →=AB →+BE →，∴AE →=AB →−25AD →又BD →=BA →+AD →=−AB →+AD →，∴BD →•AE →=(−AB →+AD →)⋅(AB →−25AD →)=−AB →2+75AB →⋅AD →−25AD →2=−AB →2+75|AB|→⋅|AD|→cosA −25AD →2＝﹣12+75×5×2√3×√32−25×25＝﹣1故答案为：﹣1．16．已知函数f （x ）＝e ﹣x ﹣e x ，若函数h （x ）＝f （x ﹣4）+x ，数列{a n }为等差数列，a 1+a 2+a 3+⋯+a 11＝44，则h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝ 44 ． 解：由题意，可得h （x ）＝f （x ﹣4）+x ＝e﹣（x ﹣4）﹣e x ﹣4+x ，设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ， 则S 11＝11a 1+11×102d ＝11（a 1+5d ）＝11a 6＝44， 解得a 6＝4，则h （a 6）＝h （4）＝e﹣（4﹣4）﹣e 4﹣4+a 6＝a 6＝4，根据等差中项的性质，可得a 1+a 11＝2a 6＝8，则h （a 1）+h （a 11）=e −(a 1−4)−e a 1−4+a 1+e −(a 11−4)−e a 11−4+a 11 =1e a 1−4+1e a 11−4−（e a 1−4+e a 11−4）+a 1+a 11=e a 1−4+e a 11−4ea 1+a 11−8−（e a 1−4+e a 11−4）+a 1+a 11 ＝a 1+a 11 ＝8，同理可得，h （a 2）+h （a 10）＝8， h （a 3）+h （a 9）＝8， h （a 4）+h （a 8）＝8， h （a 5）+h （a 7）＝8，∴h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝5×8+4＝44． 故答案为：44．四、解答题（共5小题，满分64分）17．（10分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ，讨论f （x ）的单调区间． 解：f ′（x ）＝e x ﹣a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增， 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝lna ，所以在（﹣∞，lna ）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（lna ，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．18．（12分）如图，在四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．（1）若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；（2）若二面角A ﹣BC ﹣V 的大小为30°，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．（1）证明：因为E 为CD 的中点，所以AD ＝DE ＝2， 所以△ADE 为等腰直角三角形，所以∠AED ＝45°， 同理∠BEC ＝45°，所以AE ⊥BE ，又因为VB ⊥AE ，且VB ∩BE ＝B ，VB ⊂平面VBE ，BE ⊂平面BVE ， 所以AE ⊥平面VBE ，又VE ⊂平面VBE ，所以AE ⊥VE ；（2）解：取BC 的中点O ，AD 的中点G ，连接OG 、VO ，则OG ⊥BC ， 又△VBC 为等边三角形，所以VO ⊥BC ，所以∠GOV 为二面角A ﹣BC ﹣V 的平面角，所以∠GOV ＝30°，以OB →、GO →方向分别作为x 、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示：所以A （1，﹣4，0），C （﹣1，0，0），D （﹣1，﹣4，0），V （0，−32，√32）， DC →=（0，4，0），CV →=（1，−32，√32），AV →=（﹣1，52，√32），设n →=（x ，y ，z ）为平面VCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=0n →⋅CV →=0，即{4y =0x −3y +√3z =0，令z ＝2，得x =−√3，所以n →=（−√3，0，2）， 设直线AV 与平面VCD 所成的角为α， 则sin α＝|cos ＜AV →，n →＞|=|AV →⋅n →||AV →|×|n →|=3+0+31+254+34×=√4214，所以直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值为√4214． 19．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n 人，每人一份血样，共n （n ∈N *）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有k （k ∈N *，k ≥2）份，分别从k 份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k 个人全部为阴性，因而这k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k 个人的血样再逐份检验，因此这k 个人的总检验次数就为k +1．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（Ⅰ）若n ＝5，p ＝0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率； （Ⅱ）记ξ为用方案乙对k 个人的血样总共需要检验的次数． ①当k ＝5，p ＝0.2时，求E （ξ）；②从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？ （参考数据：0.84＝0.41，0.85＝0.33，0.86＝0.26）解：（Ⅰ）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A 为“5个人的血样中恰有 2 个人的检验结果为阳性”，则P(A)=C 52×0．22×0．83=0.2048；（Ⅱ）①当k ＝5，p ＝0.2时，5 个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为0.85，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为1﹣0.85，总共需要检验的次数为6次； 所以ξ的分布列为：所以E （ξ）＝1×0.85+6×（1﹣0.85）＝4.35．②当采用混合检验的方案时E （ξ）＝1×（1﹣p ）k +（k +1）[1﹣（1﹣p ）k ]＝k +1﹣k （1﹣p ）k ， 根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足E （ξ）＜k ， 即k +1﹣k （1﹣p ）k ＜k ， 化简得0＜p ＜1−√1kk，所以当P 满足0＜p ＜1−√1kk，用混合检验的方案能减少检验次数．20．（15分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：（Ⅰ）证明：可设P （m ，n ），A （y 124，y 1），B （y 224，y 2），AB 中点为M 的坐标为（y 12+y 228，y 1+y 22），抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上，可得（n+y 12）2＝4•m+y 1242，（n+y 22）2＝4•m+14y 222，化简可得y 1，y 2为关于y 的方程y 2﹣2ny +8m ﹣n 2＝0的两根， 可得y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝8m ﹣n 2， 可得n =y 1+y 22， 则PM 垂直于y 轴；（另解：设P A ，PB 的中点分别为E ，F ， EF 交PM 于G ，EF 为△P AB 的中位线，EF ∥AB ，又M 为AB 的中点， G 为EF 的中点，设AB ：y ＝kx +b 1，EF ：y ＝kx +b 2， 由y 2＝4x ，y ＝kx +b 1，y ＝kx +b 2， 解得y M ＝y P =2k ，所以PM 垂直于y 轴）（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点， 可得m 2+n 24=1，﹣1≤m ＜0，﹣2＜n ＜2， 由（Ⅰ）可得y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝8m ﹣n 2，由PM 垂直于y 轴，可得△P AB 面积为S =12|PM |•|y 1﹣y 2|=12（y 12+y 228−m ）•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝[116•（4n 2﹣16m +2n 2）−12m ]•√4n 2−32m +4n 2 =3√24（n 2﹣4m ）√n 2−4m ，可令t =√n 2−4m =√4−4m 2−4m =√−4(m +12)2+5， 可得m =−12时，t 取得最大值√5； m ＝﹣1时，t 取得最小值2， 即2≤t ≤√5，则S =3√24t 3在2≤t ≤√5递增，可得S ∈[6√2，154√10]，△P AB 面积的取值范围为[6√2，154√10]．21．（15分）已知函数f （x ）=√x −lnx ．（Ⅰ）若f （x ）在x ＝x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2；（Ⅱ）若a ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意k ＞0，直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有唯一公共点． 解法一：证明：（Ⅰ）∵函数f （x ）=√x −lnx ， ∴x ＞0，f ′（x ）=12√x 1x ，∵f （x ）在x ＝x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等， ∴12√x 1−1x 1=12√x 2−1x 2，∵x 1≠x 2，∴1√x 1+1√x 2=12，由基本不等式得：12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256，由题意得f （x 1）+f （x 2）=√x 1−lnx 1+√x 2−lnx 2=12√x 1x 2−ln （x 1x 2），设g （x ）=12√x −lnx ，则g ′(x)=14x (√x −4)，∴列表讨论：∴g （x ）在[256，+∞）上单调递增， ∴g （x 1x 2）＞g （256）＝8﹣8ln 2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2． （Ⅱ）令m ＝e﹣（|a |+k ），n ＝（|a|+1k）2+1，则f （m ）﹣km ﹣a ＞|a |+k ﹣k ﹣a ≥0， f （n ）﹣kn ﹣a ＜n （√n−a n−k ）≤n （√n−k ）＜0，∴存在x 0∈（m ，n ），使f （x 0）＝kx 0+a ，∴对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有公共点， 由f （x ）＝kx +a ，得k =√x−lnx−ax，设h （x ）=√x−lnx−ax，则h ′（x ）=lnx−√x2−1+a x 2=−g(x)−1+a x 2，其中g （x ）=√x2−lnx ， 由（1）知g （x ）≥g （16），又a ≤3﹣4ln 2，∴﹣g （x ）﹣1+a ≤﹣g （16）﹣1+a ＝﹣3+4ln 2+a ≤0， ∴h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴方程f （x ）﹣kx ﹣a ＝0至多有一个实根，综上，a ≤3﹣4ln 2时，对于任意k ＞0，直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有唯一公共点． 解法二：证明：（Ⅰ）f ′(x)=2√x −1x =√x （12−√x ）＝﹣（√x −14）2+116，x ＞0，令f '（x 1）＝f '（x 2）＝m （x 1≠x 2＞0）， 则√x 和√x 是关于t 的一元二次方程﹣t 2+12t −m =0的两个不相等的正数根，∴{ 0＜m ＜116√x +√x =121√x ⋅1√x =m ，∴{√x 1+√x 2=12√x 1x 2x 1x 2＞256，f(x 1)+f(x 2)=√x 1+√x 2−lnx 1x 2=√x 1x 22−lnx 1x 2，令g （t ）=√t2−lnt ，则g ′（t ）=14√t −1t=√t−44t ，g （t ）在（0，16）上单调递减，在（16，+∞）上单调递增， ∴当x 1x 2＞256时，g （x 1x 2）＞g （256）＝8﹣8ln 2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2；（Ⅱ）直线y ＝kx +b 与曲线f （x ）有唯一的公共点等价于函数h （x ）=√x −lnx −kx −a 有唯一零点． （i ）零点的存在性证明： 当x ∈(0，1k2)时，√x−kx ＞0，当x ∈（0，e ﹣a ）时，﹣lnx ﹣a ＞0，∴当x ∈(0，min(1k2，e−a))时，ℎ(x)=√x −kx −lnx −a ＞0，当x ∈（max （1k2，e ﹣a），+∞）时，ℎ(x)=√x −kx −lnx −a ＜0， 根据零点存在性定理可知函数h （x ）在区间（min （1k2，e −a ），max （1k 2，e ﹣a ））至少存在一个零点，从而h （x ）在（0，+∞）至少存在一个零点． （ii ）零点的唯一性证明：ℎ′(x)=12√x 1x −k =−（√x −14）2+116−k ， 若k ≥116，则h ′（x ）≤0恒成立，h （x ）单调递减，此时，h（x）在（0，+∞）最多只有一个零点，若0＜k＜116，h′（x）＝0有两个不相等正根x3，x4（设x3＜x4），由题意知01√x141√x12，∴h（x）在（0，x3）上单调递减，在（x3，x4）上单调递增，在（x4，+∞）上单调递减，由h′（x3）＝0，得k=12x 1x3，x3＞16，从而h（x3）=√x3−lnx3−kx3−a=√x3−lnx3−(12x 1x3)x3−a=√x32−lnx3﹣a+1，结合（Ⅰ）中，函数g（t）的单调性可知：√x32−lnx3＞2﹣4ln2，即h（x3）＞3﹣4ln2﹣a≥0，∴当x∈（0，x4）时，函数h（x）≥h（x3）＞0，结合h（x）的单调性可知h（x）在（0，x4）内无零点，在（x4，+∞）内最多有一个零点，此时h（x）在（0，+∞）内也最多只有一个零点，综上，当k＞0且a≤3﹣4ln2时，函数h（x）=√x−lnx−kx−a有唯一零点，∴直线y＝kx+b与曲线f（x）有唯一公共点，∴对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．。
2018年广东省中山市高考数学一模试卷(文科)
2018年⼴东省中⼭市⾼考数学⼀模试卷（⽂科）已知函数，是函数的导函数，则的图象⼤致是 知识点：函数图象的作法1f (x )=14x 2+cos x f ′(x )f (x )f ′(x )()答案:A解：由于， ，，故为奇函数，其图象关于原点对称，排除，⼜当时，，排除，只有适合，故选：．由于，得，由奇函数的定义得函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除，取代⼊，排除，只有适合．本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能⼒，同时考查导数的计算，属于中档题．f (x )=14x 2+cos x ∴f ′(x )=12x −sin x ∴f ′(−x )=−f ′(x )f ′(x )BD x =π2f ′(π2)=π4−sin π2=π4−1<0C A A f (x )=14x 2+cos x f ′(x )=12x −sin x f ′(x )BD x =π2f ′(π2)=π4−sin π2=π4−1<0C A中，⻆，，的对边分别是，，，已知，，则 知识点：正弦定理；余弦定理2△ABC A B C a b c b =c a 2=2b 2(1−sin A )A =()答案:C 解：，，， ，则，即，即，故选：．利⽤余弦定理，建⽴⽅程关系得到，即，进⾏求解即可．本题主要考查解三⻆形的应⽤，根据余弦定理建⽴⽅程关系是解决本题的关键．∵b =c ∴a 2=b 2+c 2−2bc cos A =2b 2−2b 2cos A =2b 2(1−cos A )∵a 2=2b 2(1−sin A )∴1−cos A =1−sin A sin A =cos A tan A =1A =π4C 1−cos A =1−sin A sin A =cos A 已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．Ⅰ求椭圆的⽅程；Ⅱ过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．知识点：圆锥曲线中的综合问题；椭圆的概念及标准⽅程3C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)F 1(−√2,0)F 2(√2,0)M (1,0)()C ()M (1,0)l C A B N (3,2)AN BN k 1k 2k 1+k 2答案:解：Ⅰ依题意，，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，，分 椭圆的⽅程为分当直线的斜率不存在时，由解得．()c =√2a 2−b 2=2∵M (1,0)∴b =|OM |=1∴a =√3 (3)∴x 23+y 2=1 (4)(II )①l ⎧⎨⎩x =1x 23+y 2=1x =1,y =±√63设，，则为定值分当直线的斜率存在时，设直线的⽅程为：．将代⼊整理化简，得分依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，则，分 ⼜，，所以分 综上得为常数分A (1,√63)B (1,−√63)k 1+k 2=2−√632+2+√632=2 (5)②l l y =k (x −1)y =k (x −1)x 23+y 2=1(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3=0 (6)l C A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)x 1+x 2=6k 23k 2+1x 1x 2=3k 2−33k 2+1.…(7)y 1=k (x 1−1)y 2=k (x 2−1)k 1+k 2=2−y 13−x 1+2−y 23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k (x 1−1)](3−x 2)+[2−k (x 2−1)](3−x 1)9−3(x 1+x 2)+x 1x 2=12−2(x 1+x 2)+k [2x 1x 2−4(x 1+x 2)9−3(x 1+x 2)+x 1x 2=12−2(x 1+x 2)+k [2×3k 2−33k 2+1−4×6k 23k 2+1+6]9−3×6k 23k 2+1+3k 2−33k 2+1=12(2k 2+1)6(2k 2+1)=2 (13)k 1+k 2 2..….…(14)Ⅰ依题意，，，利⽤点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得，从⽽可得椭圆的⽅程；当直线的斜率不存在时，求出，的坐标，进⽽可得直线，的斜率，即可求得结论；当直线的斜率存在时，直线的⽅程为：，代⼊，利⽤⻙达定理及斜率公式可得结论．本题考查椭圆的标准⽅程，考查直线与椭圆的位置关系，考查⻙达定理的运⽤，考查分类讨论的数学思想，联⽴⽅程，利⽤⻙达定理是关键．()c =√2a 2−b 2=2M (1,0)b =|OM |=1(II )①l A B AN BN ②l l y =k (x −1)x 23+y 2=1如图，平⾯五边形中，，且，将沿折起，使点到的位置如图，且，得到四棱锥．求证：平⾯；记平⾯与平⾯相交于直线，求证：．知识点：⼆⾯⻆；线⾯垂直的判定41ABCDE AB //CE AE =2,∠AEC =60∘,CD =ED =√7cos ∠EDC =57.△CDE CE D P 2AP =√3P −ABCE (1)AP ⊥ABCE (2)PAB PCE l AB //l 答案:证明：在中，，，由余弦定理得．连接，，，．⼜，在中，，即．同理，，(1)△CDE ∵CD =ED =√7cos ∠EDC =57∴CE =√(√7)2+(√7)2−2×√7×√7×57=2AC ∵AE =2∠AEC =60∘∴AC =2∵AP =√3∴△PAE PA 2+AE 2=PE 2AP ⊥AE AP ⊥AC平⾯，平⾯， 且，故A 平⾯；，且平⾯，平⾯，平⾯，⼜平⾯平⾯，．∵AC ⊂ABCE AE ⊂ABCE AC ∩AE =A P ⊥ABCE (2)∵AB //CE CE ⊂PCE AB ⊄PCE ∴AB //PCE PAB ∩PCE =l ∴AB //l 在中，由已知结合余弦定理得连接，可得在中，由，得同理，，然后利⽤线⾯垂直的判定可得平⾯；由，且平⾯，平⾯，可得平⾯，⼜平⾯平⾯，结合⾯⾯平⾏的性质可得．本题考查线⾯垂直的判定，⾯⾯平⾏的性质，考查空间想象能⼒和思维能⼒，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．(1)△CDE CE .AC AC =2.△PAE PA 2+AE 2=PE 2AP ⊥AE .AP ⊥AC AP ⊥ABCE (2)AB //CE CE ⊂PCE AB ⊄PCE AB //PCE PAB ∩PCE =l AB //l 执⾏如图所示的程序图，则输出的值为 知识点：程序框图5S ()A. 4B. 3C. −2D. −3答案:A解：，，，，，，，，，，，结束循环，输出，故选：．由已知中的程序语句可知该框图的功能是利⽤循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应⽤问题，解题时应模拟程序框图的运⾏过程，以便得出正确的结论，属于基础题．s =0i =2s =2i =3s =−1.i =4s =3i =5s =−2i =6s =4i =7>6s =4A S 函数的图象如图所示，则下列有关性质的描述正确的是 知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质6f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)f (x )()A. φ=2π3B. ，为其所有对称轴x =7π12+kπk ∈Z C. ，为其减区间[π12+kπ2,7π12+kπ2]k ∈Z D. 向左移可变为偶函数f (x )π12答案:D解：观察图象可得，函数的最⼩值，所以，，， 根据周期公式可得，，， ⼜函数图象过代⼊可得，，，，向左移，为，是偶函数．故选D ．观察图象由最值求，根据周期公式求，然后由函数所过的最⼩值点，求出，从⽽可求函数的解析式，即可得出结论．本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求，根据周期公式求，根据函数的最值点求，属于中档题．−1A =1∵T 4=7π12−π3=π4∴T =πω=2∴f (x )=sin(2x +φ)(7π12,−1)sin(7π6+φ)=−1∵0<φ<π∴φ=π3∴f (x )=sin(2x +π3)∴f (x )π12g (x )=cos 2x A ωφA ωφ“勾股定理”在⻄⽅被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了⼀幅“勾股圆⽅图”，⽤数形结合的⽅法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆⽅图”中，四个相同的直⻆三⻆形与中间的⼩正⽅形拼成⼀个边⻓为的⼤正⽅形，若直⻆三⻆形中较⼩的锐⻆，现在向该正⽅形区域内随机地投掷⼀枚⻜镖，⻜镖落在⼩正⽅形内的概率是 知识点：⼏何概型7.2α=π6()A. 1−√32B.√32C.4−√34D.√34答案:A解：观察这个图可知：⼤正⽅形的边⻓为，总⾯积为，⽽阴影区域的边⻓为，⾯积为故⻜镖落在阴影区域的概率为．故选A ．根据⼏何概率的求法：⼀次⻜镖扎在中间⼩正⽅形区域含边线的概率就是阴影区域的⾯积与总⾯积的⽐值．本题考查⼏何概率的求法：⾸先根据题意将代数关系⽤⾯积表示出来，⼀般⽤阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的⾯积在总⾯积中占的⽐例，这个⽐例即事件发⽣的概率；关键是得到两个正⽅形的边⻓．24√3−14−2√34−2√34=1−√32()(A )(A )已知复数为虚数单位，则在复平⾯内对应的点位于 知识点：复数的四则运算8z =2−3i1+i(i )z ()A. 第⼀象限解：，则在复平⾯内对应的点的坐标为：，位于第三象限．故选：．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平⾯内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其⼏何意义，是基础题．z =2−3i 1+i =(2−3i )(1−i )(1+i )(1−i )=−1−5i 2=−12−52i z (−12,−52)C z z 已知，满⾜，则的最⼤值是 ______ ． 知识点：简单线性规划9x y ⎧⎨⎩x −y ⩽0x +y ⩽2x +2⩾0z =2x +y 答案:3解：由已知不等式组得到平⾯区域如图：⽬标函数变形为，此直线经过图中时在轴截距最⼤，由得到，所以的最⼤值为；故答案为：．先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代⼊⽬标函数计算出最⼤值即可本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据⽬标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．z =2x +y y =−2x +z B y {x −y =0x +y =2B (1,1)z 2+1=33已知集合，，则 知识点：交集及其运算10A ={x |(x +1)(x −4)<0}B ={x |x >2}A ∩B =()A. (−1,4)B. (−1,2)C. (2,4)D. (−1,3)答案:C解：集合，，则．故选：．解不等式得集合，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．A ={x |(x +1)(x −4)<0}={x |−1<x <4}B ={x |x >2}A ∩B ={x |2<x <4}=(2,4)C A A ∩B 某公司为了解该公司名员⼯参加运动的情况，对公司员⼯半年来的运动时间进⾏统计得到如图所示的频率分布直⽅图，则运动时间超过⼩时的员⼯有 知识点：频率分布直⽅图11800100()A. ⼈360解：根据频率分布直⽅图，运动时间超过⼩时的频率是，所求的频数为⼈．故选：．根据频率分布直⽅图，计算对应的频率和频数即可．本题考查了利⽤频率分布直⽅图计算频率和频数的应⽤问题，是基础题．100(0.016+0.008)×25=0.6800×0.6=480()B 已知，则的值为 ______ ． 知识点：两⻆和与差的三⻆函数公式；三⻆函数的化简求值12cos(α−π6)+sin α=45√3sin(α+7π6)答案:−45解：，，．故答案为：利⽤两⻆和公式展开后求得的值，进⽽利⽤诱导公式可知，把的值代⼊求得答案．本题主要考查了两⻆和与差的正弦函数和诱导公式的化简求值考查了考⽣对三⻆函数基础知识综合掌握．∵cos(α−π6)+sin α=√32cos α+32sin α=45√3∴12cos α+√32sin α=45∴sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−(√32sin α+12cos α)=−45−4512cos α+√32sin αsin(α+7π6)=−sin(α+π6)12cos α+√32sin α.已知函数，其中，，为⾃然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 知识点：利⽤导数研究函数的极值；函数零点存在性定理13f (x )=e 2x −ax 2+bx −1a b ∈R e f (1)=0f ′(x )f (x )f ′(x )(0,1)a ()A. (e 2−3,e 2+1)B. (e 2−3,+∞)C. (−∞,2e 2+2)D. (2e 2−6,2e 2+2)答案:A解：，，即，，， 令得，函数在区间内有两个零点， 与的函数图象在上有两个交点，作出与的函数图象，如图所示：∵f (1)=0∴e 2−a −b −1=0b =e 2−a −1∴f (x )=e 2x −ax 2+(e 2−a −1)x −1∴f ′(x )=2e 2x −2ax +e 2−a −1f ′(x )=02e 2x =2ax +a +1−e 2∵f ′(x )(0,1)∴y =2e 2x y =2ax +a +1−e 2(0,1)y =2e 2x y =2ax +a +1−e 2当即时，直线与最多只有个交点，不符合题意； ，即，排除，，．故选A ．利⽤得出，的关系，根据有两解可知与的函数图象在上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断的范围．本题考查的知识点是函数零点与函数图象的关系，转化思想，分类说讨论思想，中档题．a +1−e 2⩾2a ⩾e 2+1y =2ax y =2e 2x 1∴a +1−e 2<2a <e 2+1B C D f (1)=0a b f ′(x )=0y =2e 2x y =2ax +a +1−e 2(0,1)a 已知等⽐数列的各项均为正数，，公⽐为；等差数列中，，且的前项和为，，．Ⅰ求与的通项公式；Ⅱ设数列满⾜，求的前项和．知识点：等⽐数列的通项公式；等差数列的通项公式；裂项相消法14{a n }a 1=1q {b n }b 1=3{b n }n S n a 3+S 3=27q =S 2a 2(){a n }{b n }(){c n }c n =92S n{c n }n T n 答案:解：Ⅰ设等差数列的公差为，，，解得；分的通项公式为，的通项公式为分Ⅱ由题意得：，分数列的通项公式为，分的前项和为分(){b n }d ∵⎧⎨⎩a 3+S 3=27q =S 2a 2∴{q 2+3d =186+d =q 2{q =3d =3…(4)∴{a n }a n =3n −1{b n }b n =3n …(6)()S n =n (3+3n )2…(8)∴{c n }c n =92S n =92⋅23⋅1n (n +1)=3(1n −1n +1)…(10)∴{c n }n T n =3[(1−12)+(12−13)+…+(1n −1n +1)]=3nn +1 (12)Ⅰ根据题意，设出等差数列的公差，列出⽅程组求出公差与公⽐，即可写出、的通项公式；Ⅱ由题意得出数列的通项公式，⽤裂项法即可求出的前项和．本题考查了等差与等⽐数列的定义、通项公式与前项和公式的应⽤问题，也考查了裂项求和的应⽤问题，是综合性题⽬．(){b n }d {a n }{b n }(){c n }{c n }n n 已知双曲线的离⼼率为，圆⼼在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为，则以圆的圆⼼为焦点的抛物线的标准⽅程为 知识点：双曲线的性质及⼏何意义15x 2a 2−y 2b2=1√5x M M 2M ()答案:B解：设圆⼼，，由双曲线的离⼼率，则，双曲线双曲线渐近线⽅程：，即，则圆⼼到渐近线的距离，，则抛物线的焦点坐标为，抛物线的标准⽅程为：，故选：．设圆⼼，利⽤双曲线的离⼼率公式，求得与的关系，根据渐近线⽅程，求得渐近线⽅程，利⽤点到直线的距离公式，即可求得圆⼼根据抛物线的性质即可求得抛物线⽅程．本题考查双曲线的简单⼏何性质，离⼼率，渐近线⽅程及点到直线的距离公式，考查计算能⼒，属于中档题．M (x 0,0)x 0>0e =c a =√1+b2a 2=√5b =2a x 2a 2−y2b 2=1ay ±bx =0y ±2x =0d =⼁0±2x 0⼁√1+(±2)2=2x 0√5=2∴x 0=√5(√5,0)∴y 2=4√5x B a b M 已知圆：为参数，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，点，的极坐标分别为，．求圆的极坐标⽅程；若为圆上的⼀动点，求的取值范围．知识点：简单曲线的极坐标⽅程16C {(θx =2+√2cos θx =2+√2sin θ)O x A B (1,π)(1,0)(1)C (2)P C |PA |2+|PB |2答案:解：圆：为参数，由圆的参数⽅程，根据消参可得圆的标准⽅程为，即，，，，圆的极坐标⽅程为．由圆的参数⽅程可设点，点，的极坐标分别为，，，，当时，取最⼩值，当时，取最⼩值，的取值范围为．(1)∵C {(θx =2+√2cos θx =2+√2sin θ)sin 2θ+cos 2θ=1(x −2)2+(y −2)2=2x 2+y 2−4x −4y +6=0∵ρ2=x 2+y 2x =ρcos θy =ρsin θ∴ρ2−4ρcos θ−4ρsin θ+6=0(2)P (2+√2cos θ,2+√2sin θ)∵A B (1,π)(1,0).∴A (−1,0)B (1,0)∴|PA |2+|PB |2=(3+√2cos θ)2+(2+√2sin θ)2+(1+√2cos θ)2+(2+√2sin θ)2=22+∴sin(θ+π4)=−1|PA |2+|PB |26sin(θ+π4)=1|PA |2+|PB |238∴|PA |2+|PB |2[6,38]由圆的参数⽅程，根据消参可得圆的标准⽅程，再由，，，可得圆的极坐标⽅程．由圆的参数⽅程可设点，⼜，和两点间距离公式代⼊，可求得，可解．本⼩题考查直线和圆的极坐标⽅程、参数⽅程等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想、化归与转化思想等．(1)sin 2θ+cos 2θ=1ρ2=x 2+y 2x =ρcos θy =ρsin θ(2)P (2+√2cos θ,2+√2sin θ)A (−1,0)B (1,0)|PA |2+|PB |2=22+16sin(θ+π4)已知函数若，解不等式；若存在实数，使得成⽴，试求的取值范围．知识点：函数的性质；不等式和绝对值不等式17f (x )=|x −a |−|x −3|(1)a =−1f (x )⩾2(2)x f (x )⩽−a 2a 答案:解：若，则，若，由，(1)a =−1f (x )=|x +1|−|x −3|x ⩾3f (x )⩾2得不等式显然成⽴，若，由，得，解得．⼜，．若，由，得不等式不成⽴．不等式的解集为．综上所述，不等式的解集为；不等式即．，若，等号成⽴当且仅当，若，等号成⽴当且仅当，若，等号成⽴当且仅当．，即，若，则，解得．若，则，解得．的取值范围是．综上所述，的取值范围是．(x +1)−(x −3)⩾2−1⩽x <3f (x )⩾2(x +1)+(x −3)⩾2x ⩾2−1⩽x <3∴2⩽x <3x <−1f (x )⩾2−(x +1)+(x −3)⩾2∴f (x )⩾2{x |x ⩾2}f (x )⩾2{x |x ⩾2}(2)f (x )⩽−a 2|x −a |−|x −3|⩽−a2|x −a |−|x −3|⩾−|(x −a )−(x −3)|=−|a −3|a >3x ⩾3a =3x ∈R a <3x ⩽3∴−|a −3|⩽−a 2|a −3|⩾a 2a ⩾3(a −3)⩾a2a ⩾6a <3−(a −3)⩾a2a ⩽2∴a (−∞,2]∪[6,+∞)a (−∞,2]∪[6,+∞)若，则，运⽤函数的零点分区间，讨论当时，当时，当时，化简不等式求解，最后求并集即可；由题意知这是⼀个存在性的问题，须求出不等式左边的最⼤值，可运⽤绝对值不等式的性质可得最⼤值，再令其⼤于等于，即可解出实数的取值范围．本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成⽴问题的区别，本题是⼀个存在问题，解决的是有的问题，故取，即⼩于等于左边的最⼤值即满⾜题意，本题是⼀个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成⽴问题求解，因思维错误导致错误，是有⼀定难度的题⽬．(1)a =−1f (x )=|x +1|−|x −3|x ⩾3−1⩽x <3x <−1(2)a2a |a −3|⩾a2设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离⼼率为 知识点：椭圆的性质及⼏何意义18C x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)F 1F 2P C PF 2⊥F 1F 2∠PF 1F 2=60∘C ()答案:D解：将带⼊得；；在中，，，解得：，或舍去．故选：．由已知条件知，是直线和椭圆的交点，所以将带⼊椭圆⽅程求出，即得到，这样在直⻆三⻆形中，，这样即可找到，的关系式，并让式⼦中出现，解关于的⽅程即可．考查椭圆的标准⽅程，准线⽅程，以及离⼼率的概念，及．x =c x 2a 2+y 2b 2=1y =±b 2a ∴|PF 2|=b2a ∴△PF 1F 2b 2a 2c =√3∴b 2ac =a 2−c 2ac =1−(c a )2c a=2√3c a=2−√3−2−√3()D P x =c x =c y |PF 2|PF 1F 2tan 60∘=|PF 2|2c a c caca a 2=b 2+c 2如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边⻓为，粗线画出的是某个多⾯体的三视图，若该多⾯体的所有顶点都在球表⾯上，则球的表⾯积是 知识点：球的表⾯积和体积；空间⼏何体的三视图191O O ()答案:C解：根据三视图知⼏何体是：三棱锥为棱⻓为的正⽅体⼀部分，直观图如图所示：该多⾯体的所有顶点都在球，且球⼼是正⽅体的中⼼，由正⽅体的性质得，球⼼到平⾯的距离，由正⽅体的性质可得，，，设的外接圆的半径为，在中，由余弦定理得，，，则，由正弦定理可得，，则，即球的半径，球的表⾯积，故选：．根据三视图知⼏何体是三棱锥为棱⻓为的正⽅体⼀部分，画出直观图，由正⽅体的性质求出球⼼到平⾯的距离、边和的值，在中，由余弦定理求出后，求出和，由正弦定理求出的外接圆的半径，由勾股定理求出球的半径，由球的表⾯积公式求解．本题考查三视图求⼏何体外接球的表⾯积，正弦定理、余弦定理，以及正⽅体的性质，结合三视图和对应的正⽅体复原⼏何体是解题的关键，考查空间想象能⼒．D −ABC 4∵O O ∴O ABC d =2AB =BD =√42+22=2√5AC =4√2△ABC r △ABC cos ∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22⋅AC ⋅BC =32+4−202×4√2×2=√22∴∠ACB =45∘sin ∠ACB =√222r =AB sin ∠ACB =2√5√22=2√10r =√10O R =√r 2+d 2=√14∴O S =4πR 2=56πC 4O ABC d AB AC △ABC cos ∠ACB ∠ACB sin ∠ACB △ABC r O 设，若与共线，则______．知识点：单位、零、共线、相反、相等向量的概念20→a =(3,2),→b =(−1,k )→a 2→a +→b k =答案:−23解：，，与共线，，解得 故答案为：由题意和向量共线可得的⽅程，解⽅程可得．本题考查平⾏向量与共线向量，属基础题．∵→a =(3,2),→b =(−1,k )∴2→a +→b =(5,4+k )∵→a 2→a +→b ∴3(4+k )−2×5=0k =−23−23a在平⾯直⻆坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为“阶格点函数”下列函数中是“⼀阶格点函数”的有______；；； ．知识点：函数的基本概念；合情推理（归纳、类⽐推理）21f (x )k (k ∈N ∗)f (x )k .①f (x )=|x |②f (x )=√2(x −1)2+3③f (x )=(12)x −2④f (x )=log 12(x +1)⑤f (x )=1x −1答案:②解：中，当时，，不为“⼀阶格点”函数，故错误；中，时，当，时，均为⾮整数，故只有⼀个格点，故函数为“⼀阶格点”函数，故正确；中，时，，时，，故不为“⼀阶格点”函数，故错误；中，时，，当，时，，故 不为“⼀阶格点”函数，故错误；中，时，，当，时，，故不为“⼀阶格点”函数，故错误．故答案为：．由定义对四个函数逐⼀验证，找出只有⼀个整数点的函数即可，中；中的函数只有当时才是格点；中的函数可以验证横坐标为，时，均为整数，中的函数验证，时，取到整点；中的函数验证，即可排除．这是⼀道新运算类的题⽬，其特点⼀般是“新”⽽不“难”，处理的⽅法⼀般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代⼊进⾏运算，易得最终结果．①∵x =k f (k )=k (k ∈N ∗)∴f (x )=|x |①②∵x =1f (x )=3.x ≠0x ∈Z f (x )f (x )=√2(x −1)2+3(1,3)②③∵x =1f (x )=2x =2f (x )=1f (x )=(12)x −2③④∵x =0f (x )=0x =1f (x )=−1f (x )=log 12(x +1)④⑤∵x =0f (x )=−1x =2f (x )=1f (x )=1x −1⑤②①f (k )=k (k ∈N ∗)②x =1③12f (x )④x =0x =1⑤x =0x =2某地教育研究中⼼为了调查该地师⽣对“⾼考使⽤全国统⼀命题的试卷”这⼀看法，对该市区部分师⽣进⾏调查，先将调查结果统计如下：赞成反对总计教师学⽣总计请将表格补充完整，若该地区共有教师⼈，以频率为概率，试估计该地区教师反对“⾼考使⽤全国统⼀命题的试卷”这⼀看法的⼈数；按照分层抽样从“反对”的⼈中先抽取⼈，再从中随机选出⼈进⾏深⼊调研，求深⼊调研中恰有名学⽣的概率．知识点：古典概型的计算与应⽤2212040280120(1)30000(2)631答案:解：表格补充如下：赞成反对总计教师学⽣总计故可以估计该地区教师反对“⾼考使⽤全国统⼀命题的试卷”这⼀看法的⼈数为；由分层抽样可知，所抽取的⼈中的名学⽣记为，，名教师记为，，，，随机选出⼈进⾏深⼊调研，不同选法有：(1)120802001604020028012040030000×80200=12000(2)62a b 412343，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，恰有名学⽣的选法有：，，，，，，，，，，，，共种，故深⼊调研中恰有名学⽣的概率．(a ,b ,1)(a ,b ,2)(a ,b ,3)(a ,b ,4)(a ,1,2)(a ,1,3)(a ,1,4)(a ,2,3)(a ,2,4)(a ,3,4)(b ,1,2)(b ,1,3)(b ,1,4)(b ,2,3)(b ,2,4)(b ,3,4)(1,2,3)(1,2,4)(1,3,4)(2,3,4)201(a ,1,2)(a ,1,3)(a ,1,4)(a ,2,3)(a ,2,4)(a ,3,4)(b ,1,2)(b ,1,3)(b ,1,4)(b ,2,3)(b ,2,4)(b ,3,4)121P =1220=35表格补充完整，由此可以估计该地区教师反对“⾼考使⽤全国统⼀命题的试卷”这⼀看法的⼈数．由分层抽样可知，所抽取的⼈中的名学⽣记为，，名教师记为，，，，随机选出⼈进⾏深⼊调研，利⽤列举法能求出深⼊调研中⾄少有名学⽣的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运⽤．(1)(2)62a b 4123431已知，函数是⾃然对数的底数．Ⅰ函数是否存在极⼤值，若存在，求极⼤值点，若不存在，说明理由；Ⅱ设，证明：对任意，．知识点：利⽤导数研究函数的极值23a ∈R f (x )=e x −ax −a ln x (e =2.71828…)()f (x )()g (x )=e x1+x ln xx >0g (x )>1答案:解：Ⅰ由已知得，函数的定义域为，分若，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以当时，取得极⼩值，函数⽆极⼤值； 分若，令，得，所以和在上的变化情况如下表所示增函数极⼤值减函数极⼩值增函数所以当时，函数取得极⼤值；分当时，，所以在上是增函数，此时不存在极值 分当时，令，得，所以和在上的变化情况如下表所示增函数极⼤值减函数极⼩值增函数所以当时，函数取得极⼤值； 分综上所述，当时，函数的极⼤值点是；当时，函数的极⼤值点是；当或时，函数⽆极⼤值点 分Ⅱ要证，只要证明成⽴，即证成⽴，分令，则，当，，单调递减；当，，单调递增；()f (x )(0,+∞)f ′(x )=e x x −(e x −a )x 2−a x =1x 2[(x −1)(e x −a )]…(1)(1)a ⩽1e x>a x ∈(0,1)f ′(x )<0f (x )x ∈(1,+∞)f ′(x )>0f (x )x =1f (x ) (2)(2)1<a <e e x =a x =ln a ∈(0,1)f ′(x )f (x )(0,+∞)x (0,ln a )ln a (ln a ,1)1(1,+∞)f ′(x )+0−0+f (x )x =ln a f (x ) (4)(3)a =e f ′(x )⩾0f (x )(0,+∞) (5)(4)a >e e x =a x =ln a ∈(1,+∞)f ′(x )f (x )(0,+∞)x (0,1)1(1,ln a )ln a (ln a ,+∞)f ′(x )+0−0+f (x )x =1f (x ) (7)1<a <e f (x )x =ln a a >e f (x )x =1a ⩽1a =e (8)()g (x )=e x 1+x ln x >1e x 1+x ln x −1>0e x−(1+x ln x )1+x ln x >0 (9)h (x )=1+x ln x h ′(x )=1+ln x x ∈(0,1e )h ′(x )<0h (x )x ∈(1e ,+∞)h ′(x )>0h (x )。
2019年数学广东省中山市华侨中学高考数学一模(文科)
2019年数学广东省中山市华侨中学高考数学一模（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合M={x∣ x2=x}，N={x∣ lgx≤0}，则M∪N=( )A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (−∞,1]2. 给定下列函数：① y=x 12；② y=log12(x+1)；③ y=∣x−1∣；④ y=x+1．其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A. ①④B. ②③C. ③④D. ①②3. 设a,b∈R，则“(a−b)3b2>0”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设变量x，y满足约束条件{x+y≥1,x−y≥1,2x−y≥4,则目标函数z=3x+y的最小值为( )A. 11B. 3C. 2D. 1335. 一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为( )A. 35B. 45C. 320D. 3106. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π+8√53，则正视图与侧视图中x的值为( )A. 5B. 4C. 3D. 27. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，148. 曲线y=e−2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A. 13B. 12C. 23D. 19. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若∣PF∣=5，则双曲线的渐近线方程为( )A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=010. 若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. 4B. 5C. 7D. 911. 已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=√2，则球O的表面积等于( )A. 4πB. 3πC. 2πD. π12. 已知函数f(x)=sinxx ，若π3<a<b<2π3，则下列结论正确的是( )A. f(a)<f(√ab)<f(a+b2) B. f(√ab)<f(a+b2)<f(b)C. f(√ab)<f(a+b2)<f(a) D. f(b)<f(a+b2)<f(√ab)二、填空题（共4小题；共20分）13. 数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1−a n(n∈N∗)．若b3=−2，b10=12，则a8=．14. 已知向量a⃗=(x−1,2)，b⃗⃗=(4,y)，若a⃗⊥b⃗⃗，则16x+4y的最小值为．15. 已知直线y=x2与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是．16. 如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为垂足，则AB2=BD⋅BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC，S△BCO，S△BCD这三者之间满足的关系是．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知向量 m ⃗⃗⃗=(sinx,−1)，n ⃗⃗=(cosx,3)．Ⅰ 当 m ⃗⃗⃗∥n ⃗⃗ 时，求 sinx+cosx3sinx−2cosx 的值；Ⅱ 已知在锐角 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且满足 √3c =2asin (A +B )．若函数 f (x )=(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)⋅m ⃗⃗⃗，求 f (B +π8) 的取值范围.18. 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少 75% 的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的 5 个居民小区中有三个“非低碳小区”，两个“低碳小区”. Ⅰ 求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；Ⅱ 假定选择的“非低碳小区”为小区 A ，调查显示其“低碳族”的比例为 12，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?19. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是 AB 上一点．已知PD =√2，CD =4，AD =√3．Ⅰ 若 ∠ADE =π6，求证：CE ⊥平面PDE ； Ⅱ 当点 A 到平面 PDE 的距离为2√217时，求三棱锥 A −PDE 的侧面积．20. 已知 F 1 、 F 2 分别是椭 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 圆 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0．若椭圆的离心率等于 √22．Ⅰ 求直线 AO 的方程（O 为坐标原点）； Ⅱ 直线 AO 交椭圆于点 B ，若三角形 ABF 2 的面积等于 4√2，求椭圆的方程．21. 已知函数 f (x )=−13x 3+a2x 2−2x （ a ∈R ）．Ⅰ 当 a =3 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅱ 若对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 fʹ(x )<2(a −1) 成立，求实数 a 的取值范围； Ⅲ 若过点 (0,−13) 可作函数 y =f (x ) 图象的三条不同切线，求实数 a 的取值范围．22. 如图，△ABC 为直角三角形，∠ABC =90∘，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 E ，点 D 是 BC 的中点，连 OD 交圆 O 于点 M ．Ⅰ 求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； Ⅱ 求证：2DE 2=DM ⋅AC +DM ⋅AB ．23. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3−√22t,y =√5+√22t（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ=2√5sinθ．Ⅰ 求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； Ⅱ 设圆 C 与直线 l 交于点 A ，B ．若点 P 的坐标为 (3,√5)，求 ∣PA∣+∣PB∣．24. 已知函数 f (x )=∣x −1∣+∣x +2∣．Ⅰ 求不等式 f (x )>7 的解集；Ⅱ 若关于 x 的不等式 f (x )≥a +8 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. A4. D5. D6. C7. B8. A9. B 10. C11. A 12. D 第二部分 13. 3 14. 8 15. (√52,+∞)16. S △ABC 2=S △BCO ⋅S △BCD第三部分17. （1） 由 m ⃗⃗⃗∥n ⃗⃗，得 3sinx =−cosx ，则 tanx =−13．所以 sinx+cosx 3sinx−2cosx =tanx+13tanx−2=−13+13⋅(−13)−2=−29．（2） 由 A +B =π−C ，得 sin (A +B )=sinC ． 再由正弦定理，得 √3sinC =2sinA ⋅sinC ， 由 sinC ≠0，得 sinA =√32，则 A =π3．f (x )=(sinx +cosx,2)⋅(sinx,−1)=sin 2x +sinxcosx −2=1−cos2x 2+12sin2x −2=√2sin (2x −π)−3.f (B +π8)=√22sin [2(B +π8)−π4]−32=√22sin2B −32.由 △ABC 为锐角三角形及 B +C =2π3，得 π6<B <π2， 即 π3<2B <π，所以 0<sin2B ≤1， 从而 −32<√22sin2B −32≤√22−32．因此，f (B +π8)∈(−32,√22−32]．18. （1） 设三个“非低碳小区”分别为 A 、 B 、 C ，两个“低碳小区”分别为 m 、 n ． 用 (x,y ) 表示选定的两个小区，则 x,y ∈{A,B,C,m,n }．从 5 个小区中任选两个小区，所有可能的结果有 10 个，它们分别是：(A,B )，(A,C )，(A,m )，(A,n )，(B,C )，(B,m )，(B,n )，(C,m )，(C,n )，(m,n )．用 D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则 D 中的结果有 6 个，它们分别是：(A,m )，(A,n )，(B,m )，(B,n )，(C,m )，(C,n )．故所求概率为 P (D )=610=35．（2） 由图1可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”．由图2可知，三个月后的低碳族的比例为 0.07+0.23+0.46=0.76>0.75， 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准． 19. （1） 在 Rt △DAE 中，AE =ADtan∠ADE =√3×√33=1．又 AB =CD =4，所以 BE =3． 在 Rt △EBC 中，BC =AD =√3， 则 tan∠CEB =BCBE =√33， 所以 ∠CEB =π6．又 ∠AED =π3，所以 ∠DEC =π2，即 CE ⊥DE ．因为 PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ， 所以 PD ⊥CE ． 又 DE ∩PD =D ， 所以 CE ⊥平面PDE ．（2） 因为 PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ， 所以平面 PDE ⊥平面ABCD ．如图，过 A 作 AF ⊥DE 于 F ，则 AF ⊥平面PDE ， 所以 AF 的长就是点 A 到平面 PDE 的距离，即 AF =2√217．在 Rt △DAE 中，由 AD ⋅AE =AF ⋅DE ，得 √3AE =2√217⋅√3+AE 2，解得 AE =2．则 S △ADE =12AD ⋅AE =12×√3×2=√3． 因为 BA ⊥AD ，BA ⊥PD ， 所以 BA ⊥平面PAD ． 因为 PA ⊂平面PAD ， 所以 BA ⊥PA ．在 Rt △PAE 中，PA =√PD 2+AD 2=√2+3=√5， 所以 S △APE =12PA ⋅AE =12×√5×2=√5．又 S △APD =12PD ⋅AD =12×√2×√3=√62， 所以三棱锥 A −PDE 的侧面积 S 侧=√62+√3+√5．20. （1） 由 e =√22，得 a =√2c ，结合 c 2=a 2−b 2，得 b 2=12a 2． 于是，椭圆的方程变为 x 2+2y 2=a 2． 设 A (x 0,y 0)，由 AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，得 x 0=c ． 将 A (c,y 0) 代入椭圆方程，解得 y 0=12a ， 所以 A (√22a,12a)，则直线 AO 的斜率为 k =√22， 从而直线 AO 的方程为 y =√22x ． （2） 连接 AF 1，BF 1，AF 2，BF 2．由椭圆的对称性可知，S △ABF 2=S △ABF 1=S △AF 1F 2， 结合（1），得 12×2c ×12a =4√2．再结合 c =√22a ，解得 a 2=16，b 2=8．故椭圆的方程为 x 216+y 28=1．21. （1） 当 a =3 时，f (x )=−13x 3+32x 2−2x ，得 fʹ(x )=−x 2+3x −2． 因为 fʹ(x )=−x 2+3x −2−(x −1)(x −2)，所以当 a <x <2 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增； 当 x <1 或 x >2 时，fʹ(x )<0 ，函数 f (x ) 单调递减．所以函数 f (x ) 的单调递增区间为 (1,2)，单调递减区间为 (−∞,1)和(2,+∞)． （2） 方法1：由 f (x )=−13x 3+32x 2−2x ，得 fʹ(x )=−x 2+ax −2． 因为对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 fʹ(x )<2(a −1) 成立， 即对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 −x 2+ax −2<2(a −1) 成立， 即对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 x 2−ax +2a >0 成立，令 ℎ(x )=x 2−ax +2a ，要使对任意 x ∈[1,+∞) 都有 ℎ(x )>0 成立，必须满足 Δ<0 或 {Δ≥0a2≤1ℎ(1)>0即 a 2−8a <0 或 {a 2−8a ≥0a2≤11+a >0所以实数 a 的取值范围为 (−1,8)．方法2：由 f (x )=−13x 3+32x 2−2x ，得 fʹ(x )=−x 2+ax −2，因为对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 fʹ(x )<2(a −1) 成立，所以问题转化为，对于任意 x ∈[1,+∞) 都有 [fʹ(x )]max <2(a −1)． 因为 fʹ(x )=−(x −a 2)2+a 24−2，其图象开口向下，对称轴为 x =a2．①当 a2<1 时，即 a <2 时，fʹ(x ) 在 [1,+∞) 上单调递减， 所以 [fʹ(x )]max =fʹ(1)=a −3，由 a −3<2(a −1)，得 a >−1，此时 −1<a <2．②当 a2≥1 时，即 a ≥2 时，fʹ(x ) 在 [1,a2] 上单调递增，在 (a2,+∞) 上单调递减， 所以 fʹ(x )max =fʹ(a2)=a 24−2，由a 24−2<2(a −1)，得 0<a <8，此时 2≤a <8．综上①②可得，实数 a 的取值范围为 (−1,8)．（3） 设点 P (t,−13t 3+a2t 2−2t) 是函数 y =f (x ) 图象上的切点， 则过点 P 的切线的斜率为 k =fʹ(t )=−t 2+at −2，所以过点 P 的切线方程为 y +13t 3−a2t 2+2t =(−t 2+at −2)(x −t )．因为点 (0,−13) 在切线上，所以 −13+13t 3−a2t 2+2t =(−t 2+at −2)(0−t )即 23t 3−12at 2+13=0．若过点 (0,−13) 可作函数 y =f (x ) 图象的三条不同切线，则方程 23t 3−12at 2+13=0 有三个不同的实数解．令 g (t )=23t 3−12at 2+13，则函数 y =g (t ) 与 t 轴有三个不同的交点． 令 gʹ(t )=2t 2−at =0，解得 t =0 或 t =a2． 因为 g (0)=13，g (a2)=−124a 3+13，所以必须 g (a2)=−124a 3+13<0，即 a >2． 所以实数 a 的取值范围为 (2,+∞)． 22. （1） 连接 BE ，则 BE ⊥EC ．在 Rt △BEC 中，由 D 是 BC 的中点，得 DE =BD ． 又 OE =OB ，OD =OD ， 所以 △ODE ≌△ODB ， 从而 ∠OED =∠OBD =90∘， 故 D ，E ，O ，B 四点共圆．（2） 由 OE ⊥DE ，得 DE 是圆 O 的切线． 由 OD 是 △ABC 的中位线，得 OD =12AC ． 延长 DO 交圆于点 H ，由切割线定理，得DE 2=DM ⋅DH =DM (DO +OH )=DM ⋅DO +DM ⋅OH =DM ⋅(12AC)+DM ⋅(12AB),即 2DE 2=DM ⋅AC +DM ⋅AB ．23. （1） 由 ρ=2√5sinθ，得 x 2+y 2−2√5y =0， 即 x 2+(y −√5)2=5．由 {x =3−√22t,y =√5+√22t, 得 x +y −3−√5=0．所以圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d =∣√5−3−√5∣∣√2=3√22． （2） 将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 (3−√22t)2+(√22t)2=5，整理，得 t 2−3√2t +4=0．⋯⋯① 因为 Δ=(3√2)2−4×4×1>0，所以方程 ① 有两个不等的实根，且 t 1，t 2 是方程 ① 的两实根， 所以 {t 1+t 2=3√2,t 1t 2=4.又直线 l 过点 P(3,√5)， 则由上式及 t 的几何意义，得∣PA∣+∣PB∣=∣t 1∣+∣t 2∣=t 1+t 2=3√2．24. （1） 原不等式可化为下列三个不等式组： {x ≥1x −1+x +2>7，或 {−2<x <1−x +1+x +2>7，或 {x ≤−2−x +1−x −2>7 求这三个不等式组的并集，可得原不等式的解集为 (−∞,−4)∪(3,+∞)． （2） 由题意，得 ∣x −1∣+∣x +2∣≥a +8 对任意的 x ∈R 恒成立． 因为 ∣x −1∣+∣x +2∣≥∣(1−x )+(x +2)∣=3， 所以只需 a +8≤3，解得 a ≤−5． 因此，实数 a 的取值范围是 (−∞,−5]．。
广东省2024-2025学年高三上学期第一次调研考试 数学 Word版含答案
★启用前注意保密广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数 学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}22,22A x x B x x =-<<=-<，则A B =（ ）A ．()2,2-B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,4-2．已知复数z 满足1i z z +=+，则z =（ ）A ．12B C ．1D3．已知函数()f x 满足()111f x f x x ⎫⎛+=+⎪-⎝⎭，则()2f =（ ） A ．34-B ．34 C ．32D ．944的正四面体的体积为（ ）A B ．24 C ．32D ．5．设点P 为圆22(3)1x y -+=上的一动点，点Q 为抛物线24y x =上的一动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．1-B ．1C D 26．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()(),01,-∞+∞7．设,αβ为锐角，且()cos cos cos ααββ-=，则α与β的大小关系为（ ） A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．不确定8．若0a b >>，且3322a b a b -=-，则11a b+的取值范围是（ ） A ．41,3⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．4,3⎫⎛+∞⎪⎝⎭C ．()1,3D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量,x y 之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+经过点()10,m ，且相对于点()11,5的残差为0.2，则A ．8m =B ． 2.8b =-C ．36a =D ．残差和为010．已知函数()()2cos cos2f x x x x =-∈R ，则（ ） A ．()f x 的值域是[]3,3- B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 关于()πx k k =∈Z 对称D ．()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ） A ．第三名可能获得10分 B ．第四名可能获得6分C ．第三名可能获得某一项比赛的第一名D ．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩过原点()0,0O 作曲线()y f x =的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个33⨯的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．14．已知数列{}n a 满足11,3,,3,3n n n nn a a a a a ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩记{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =_____________；若*12,3a k =∈N ，则31k S +=_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项． （1）证明：cos aA b=； （2）求cos B 的值．16．（15分）如图，四边形ABCD是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G是线段BF 的中点，点H 是BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ； （2）求点H 到平面DAF 的距离．17．（15分）某学校有,A B 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A 餐厅则后一天继续选择A 餐厅的概率为14，前一天选择B 餐厅则后一天选择A 餐厅的概率为p ，如此往复．已知他第1天选择A 餐厅的概率为23，第2天选择A 餐厅的概率为13．（1）求王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐的概率； （2）求王同学第()*n n ∈N 天选择A 餐厅用餐的概率n P ．18．（17分）设直线12:,:l y l y ==．点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，点M 为AB 的中点，点O 为坐标原点，且1OA OB ⋅=-． （1）求点M 的轨迹方程Γ；（2）设()00,M x y ，求当0x 取得最小值时直线AB 的方程；（3）设点()P 关于直线AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点．19．（17分）函数()f x 的定义域为R ，若()f x 满足对任意12,x x ∈R ，当12x x M -∈时，都有()()12f x f x M -∈，则称()f x 是M 连续的．（1）请写出一个函数()f x 是{}1连续的，并判断()f x 是否是{}n 连续的()*n ∈N ，说明理由； （2）证明：若()f x 是[]2,3连续的，则()f x 是{}2连续且是{}3连续的；（3）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3112f x ax bx =++（其中,a b ∈Z ），且()f x 是[]2,3连续的，求,a b 的值．广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．e 0x y -= 13．72 14．111199633k k --+（前空2分，后空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得()sin sinBcos cosBsin B A A A -=-，()()()sin sin πsin sinBcos cosBsin C A B B A A A =-+=+=+，因为sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin 2sinBcos A B A C A =-+=，则sin cos sin AA B=， 在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin A a B b=， 因此cos aA b=． （2）在ABC △中，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，由（1）知cos a A b=，则2222b c a abc b +-=，即2222b c a ac +-=． 因为b 是a 与c 的等比中项，所以2b ac =，从而222ac c a ac +-=，即220a ac c +-=，从而210a ac c⎫⎛+-= ⎪⎝⎭，解得a c =或0a c =<（舍去）在ABC △中，由余弦定理得()222222222cos 222a c c a a c b a a B ac ac ac c +--+-=====因此1cos 2B =． 16．（1）证明：取AF 的中点为M ，连接MD MG ，．因为点,M G 分别是FA 和FB 的中点，所以MG AO ∥，且12MG AB AO ==． 在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，,AO DE AO DE =∥． 所以,MG DE MG DE =∥，因此四边形DEGM 是平行四边形．所以EG DM ∥，又EG ⊄平面,DAF DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ．（2）解：由圆的性质可知，连接OG 延长必与圆O 交于点H ，连接,OE EH ，因为,OG AF OG ⊂∥平面,OEH AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥面DAF ，又因为已证EG ∥平面DAF ，且EG OG G =，所以平面DAF ∥平面OEH ．从而点H 到平面DAF 的距离即为点E 到平面DAF 的距离．以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则()()()30,0,3,0,,0,,2E A D ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 所以()()0,3,3,0,0,3AE AD ==，32AF ⎫⎛=⎪ ⎝⎭设(),,n x y z =为平面DAF 的法向量，则由30,30,2n AD z n AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可取()3,1,0n =-因此点E 到平面DAF 的距离323AE n d n⋅===+，即点H 到平面DAF17．（15分）解：（1）设i A =“王同学第i 天选择A 餐厅”()1,2,3i =．()()()()()()1212212121121,;,;,33334P A P A P A P A P A A P A A p ======．由全概率公式，得()()()()()112121*********P A P A P A A P P A A p A =+=⨯+⨯=，解得12p =．设B =“王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐”，则312122313B A A A A A A A A A =++， 因此()()()()312122313213111231534432434212P B P A A A P A A P A A A A =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）设n A =“王同学第n 天选择A 餐厅”()*n ∈N ，则()(),1n n n n P P A P P A ==-， 由题与（1）可得()()1111,42n n n n A P A A P A ++==． 由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+-=-+．则1212545n n P P +⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为1240515P -=≠， 所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为415，公比为14-的等比数列． 因此12415154n n P -⎫⎛-=⨯- ⎪⎝⎭，即12415154n n P -⎫⎛=+⨯- ⎪⎝⎭．18．解：（1）设()()()1122,,,,,A x y B x y M x y，则1122,y y ==，所以)121212,2,22x x x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩从而122,2x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为1OA OB ⋅=-，所以121212121221x x y y x x x x x x +=-=-=-，即121x x =．1=，化简得2212y x -=． 所以点M 的轨迹方程为2212y x -=． （2）由（1）得220112y x =+≥，则0x 的最小值为1，此时01x =或01x =-， 即()1,0M 或()1,0M -．当()1,0M 时，可得121,1x x ==，从而直线AB 的方程为1x =；当()1,0M -时，同理可得直线AB 的方程为1x =-． （3）设()00,M x y ，由（2）知，当()1,0M 时，直线:1AB x =，得()2Q +，直线:0MQ y =； 当()1,0M -时，直线:1AB x =-，得()2Q -+，直线:0MQ y =． 当()00,M x y 是其他点时，直线AB的斜率存在，且)12012121202AB x x x y y k x x x x y +-====--，则直线AB 的方程为()00002x y y x x y -=-，注意到220012y x -=，化简得00:220AB x x y y --=．设(),Q x y ''，则由00021,0220,22x y x y x y ⨯=-'+⎪⨯--='⨯⎪⎩解得Q ⎫， 又()00,M x y，所以00012MQ y y k-+==)00:MQ yy x x -=-，令x =，得0y =，因此直线MQ 过定点)T．19．解：（1）()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．理由如下： 由121x x -=，有()()12121f x f x x x -=-=， 同理当12x x n -=，有()()1212f x f x x x n -=-=， 所以()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．（2）因为()f x 是[]2,3连续的，由定义可得当1223x x ≤-≤时，有()()1223f x f x ≤-≤， 所以()()()()()()()()6644226f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≥， 同理()()()()()()66336f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-≤，所以()()66f x f x +-=， 所以()()()()()()644222f x f x f x f x f x f x +-+=+-+=+-=，即()f x 是{}2连续的， 同理可得()()33f x f x +-=，即()f x 是{}3连续的．（3）由（2）可得()()()()22,33f x f x f x f x +-=+-=，两式相减可得()()321f x f x +-+=即()()()11,f x f x f x +-=是{}1连续的，进一步有()()f x n f x n +-=．当1201x x ≤-≤时，有12223x x ≤+-≤，因为()f x 是[]2,3连续的，所以()()12223f x f x ≤+-≤， 又()()1122f x f x +=+，所以()()12223f x f x ≤+-≤，所以()()1201f x f x ≤-≤，故()f x 是[]0,1连续的．由上述分析可知()111,220,f f f x ⎧⎫⎫⎛⎛-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎝≥'⎭⎭⎨⎪⎩即21,42130,2a b ax b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩ 所以211310,422a ax x ⎡⎤-+≥∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立． 当0a =时，2b =；当0a >时，由23104a ax -+≥，得104a-+≥，即4a ≤．此时4,0;2,1a b a b ====；满足题意． 当0a <时，由23104aax -+≥，得2a ≥-．此时2,3a b =-=，满足题意．综上所述，0,2;4,0;2,1;2,3a b a b a b a b =======-=．。
2025届广东省中山一中、潮阳一中等高考数学一模试卷含解析
2025届广东省中山一中、潮阳一中等高考数学一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．33C ．12D ．223．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④D ．①②④ 4．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ）A ．66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜D ．f （2020）＞f （2019）6．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ）A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 8．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．64 9．函数()()ln 12f x x x =+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,2 10．已知函数()(0)f x x x x =->，()x g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<11．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省高考数学一诊试卷(文科)
广东省高考数学一诊试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一上·太原期中) 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（）A .B . （0，+∞）C .D .2. （2分） (2017高一下·湖北期中) 已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2﹣x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A . 7B . 8C . 9D . 103. （2分）函数f（x）=的大致图象是（）A .B .C .D .4. （2分）若函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1 ， x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A . （﹣1，+1）B . [，+1）C . （﹣1，+1）D . [，+1）5. （2分）设且，则x等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·双鸭山期末) 若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为4, ,则在方向上的投影为（）A . 4B .C .D . 17. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 28. （2分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A . 2B . 2C . 6D . 8二、填空题 (共7题；共9分)9. （2分） (2017高二下·西城期末) 已知非空集合A，B同时满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5}；②A∩B=∅；③card（A）∉A；④card（B）∉B．注：其中card（A）、card（B）分别表示A、B中元素的个数．如果集合A中只有一个元素，那么A=________；如果集合A中有3个元素，请写出一对满足条件的集合A，B：________．10. （1分） (2016高一下·扬州期末) 已知函数f（x）=ex ，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于________．11. （1分） (2020高一下·绍兴月考) 已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值时的 ________.12. （1分） (2017高二下·合肥期中) 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，x﹣104f（x）122f（x）的导函数y=f′（x）的图象（该图象关于（2，0）中心对称）如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为 0与4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③函数y=f（x）﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个；④如果当时x∈[﹣1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．⑤函数f（x）的图象在a=1是上凸的其中一定正确命题的序号是________．13. （1分） (2019高三上·成都开学考) 已知实数满足约束条件，则的最大值为________.14. （2分）(2017·宁波模拟) 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________cm2 ，体积是________cm3 ．15. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．17. （10分） (2017高二上·汕头月考) 如图，四边形是矩形, 是的中点,与交于点平面 .（1）求证：面；（2）若 ,求点到平面距离.18. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．19. （10分） (2016高三上·厦门期中) 已知数列{an}前n项和为Sn ，满足Sn=2an﹣2n（n∈N*）．（1）证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列{ }的前n项和，若Tn＜a对正整数a都成立，求a的取值范围．20. （10分） (2017高三上·苏州开学考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2 ．（1）①求椭圆C的标准方程；②若∠F1QF2= ，求QF1•QF2的值．（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共9分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
广东省中山市数学高三上学期文数一模试卷
广东省中山市数学高三上学期文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集，则图中阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·昭通期末) 若复数z满足(1-z)(1+2i)= i，则在复平面内表示复数z的共轭复数的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若则等于（）A .B . 1C . 0D . -4. （2分）(2019·四川模拟) 已知命题p：“ ，”，则命题为（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）已知是等比数列，，则公比q等于（）A . 2B .C .D .6. （2分）设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有；④若，则其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A . 1B .C .D .9. （2分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·金华模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P 是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是（）A . 圆的一部分B . 椭圆的一部分C . 抛物线的一部分D . 双曲线的一部分11. （2分）若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A . πB . 2πC . 3πD . 4π12. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知，若，且，则与2的关系为（）A .B .C .D . 大小不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海月考) 如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为________．14. （1分）(2018高三上·西安模拟) 数列中，为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式 ________．15. （1分） (2016高二下·凯里开学考) 抛物线的准线方程为________．16. （1分） (2020高一上·大庆期末) 已知函数满足，则f(x)的增区间为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·郴州模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．18. （10分） (2017高一下·拉萨期末) 某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．（1）分别求出m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲2和s乙2，并由此分析两组技工的加工水平．19. （10分）(2017·北京) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．20. （10分） (2016高二上·宁波期中) 设椭圆C：的离心率e= ，左顶点M到直线=1的距离d= ，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．21. （10分）(2018·宝鸡模拟) 已知函数 .（1）若函数在区间上无零点，求实数的最小值；（2）若对任意给定的，在上方程总存在不等的实根，求实数的取值范围.22. （10分）(2017·黑龙江模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2018高三上·大连期末) 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
广东省高考数学一模试卷(文科)
尊敬的读者朋友们：本文档内容是我们精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为资料分析笔记整理的全部内容。
注：资料封面，下载即可删除2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-<，{|1216}x B x =<<，则(A B = )A ．(,8)-∞B ．(,3)-∞C ．(0,8)D ．(0,3)2．（5分）复数5(1i z i i=-为虚数单位）的虚部为( )A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i3．（5分）双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A ．5(12±，0) B ．5(0,)12±C ．(5,0)±D ．(0,5)±4．（5分）若33sin()23πα+=，则cos2(α= ) A ．12-B ．13-C ．13D ．125．（5分）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2x ∈-，1]时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A ．(,1)-∞-B ．(,3)-∞C ．(1,3)-D ．(1,)-+∞6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入117x =，219x =，320x =，421x =，523x =，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为208．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b bC A c a+=，则cos B 的取值范围为( ) A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(2，1)D ．1[2，1)9．（5分）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=，则( ) A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AC =- C ．123OA AB AC =-+D ．123OA AB AC =--10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足510.6182AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ∆中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为( )A 51-B 52 C 51-D 52-11．（5分）已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线112y x =+与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则(OAB S ∆= )ABCD．12．（5分）函数()(2)f x kx lnx =-，()2g x lnx x =-，若()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为( ) A ．1[122ln -，41)33ln - B ．1(122ln -，41]33ln - C ．41[33ln -，12)22ln -D ．41(33ln -，12]22ln -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）已知函数,1(),1x lnx x f x e x >⎧=⎨⎩，则(f f （2）)= ．14．（5分）设x ，y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15．（5分）在三棱锥P ABC -中，AP ，AB ，AC两两垂直，且AP AB AC ===三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 ．16．（5分）已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>，点P ，Q ，R 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且32||||2PQ QR π==，则m ω+= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，2224CD DE AD AB ====，AC =30EAD ∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面ADE ；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x （分钟） 10 11 12 13 14 15等候人数y （人)23 25 26 29 28 31调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯⋯，(n x ，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，411546i ii x y==∑．20．（12分）已知点2)，2(3)-都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ，2A ，若直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线4y =上．21．（12分）已知函数()2()x f x e ax a R =-∈（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直，求该切线方程； （2）当0a >时，证明2()44f x a a -+(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）已知点(4,0)Q ，点P 是曲线l C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->． （1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ，且43n m -=，求a 的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-<，{|1216}x B x =<<，则(A B = )A ．(,8)-∞B ．(,3)-∞C ．(0,8)D ．(0,3)【解答】解：集合{|12}(,3)A x x =-<=-∞，{|1216}(0,4)x B x =<<= (0,3)AB ∴=．故选：D ．2．（5分）复数5(1i z i i=-为虚数单位）的虚部为( )A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【解答】解：541(1)11111(1)(1)22i i i i i z i i i i i i ++=====-+----+，51i z i ∴=-的虚部为12． 故选：B ．3．（5分）双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A ．5(12±，0) B ．5(0,)12±C ．(5,0)±D ．(0,5)±【解答】解：双曲线229161x y -=的标准方程为：22111916x y -=， 可得13a =，14b =，512c =，所以双曲线的焦点坐标为5(0,)12±．故选：B ． 4．（5分）若3sin()2πα+=，则cos2(α= )A ．12-B ．13-C ．13D ．12【解答】解：3sin()cos 2παα+=-，则21cos22cos 13αα=-=-， 故选：B ．5．（5分）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2x ∈-，1]时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A ．(,1)-∞-B ．(,3)-∞C ．(1,3)-D ．(1,)-+∞【解答】解：[2x ∈-，1]时，2()24f x x x =--； (1)1f ∴-=-；()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；∴由()1f x <-得，()(1)f x f <-；1x ∴>-；∴不等式()1f x <-的解集为(1,)-+∞．故选：D ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：231232ππ⨯⨯⨯=，故选：A ．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入117x =，219x =，320x =，421x =，523x =，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图，输出的S 是117x =，219x =，320x =，421x =，523x =这5个数据的方差，1(1719202123)205x =++++=，∴由方差的公式222221[(1720)(1920)(2020)(2120)(2320)]45S =-+-+-+-+-=．故选：A ．8．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b bC A c a+=，则cos B 的取值范围为( )A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(2，1)D ．1[2，1)【解答】解：cos cos 1b bC A c a+=， ∴由余弦定理可得：222222122b a b c b b c a c ab a bc+-+-+=，化简可得：2b ac =，由余弦定理可得；2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===，∴1cos 12B <，即：1cos [2B ∈，1)． 故选：D ．9．（5分）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=，则( ) A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AC =- C ．123OA AB AC =-+D ．123OA AB AC =--【解答】解：由题意，可知：对于:12312()3()12315A OA AB AC OB OA OC OA OB OC OA =+=-+-=+-， 整理上式，可得： 161230OA OB OC --=，这与题干中条件相符合， 故选：A ．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足510.6182AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ∆中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为( )A 51-B 52 C 51-D 52-【解答】解：设BC a =，由点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点， 所以512BQ a -=，512CP a -=， 所以(52)PQ BQ CP BC a =+-=-，::(52):52APQ ABC S S PQ BC a a ∆∆==-=-，由几何概型中的面积型可得：在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为52APQ ABCS S ∆∆=-，故选：B ．11．（5分）已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线112y x =+与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则(OAB S ∆= )A 25B 45C 5D ．25【解答】解：抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， F ∴且倾斜角为60︒的直线112y x =+，∴21124y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得：2240x x --=， 由韦达定理可知：122x x +=，123y y +=由抛物线的性质可知：12||235AB p y y =++=+=， 点O 到直线112y x =+的距离d ，5d ． ∴则OAB ∆的面积S ，1||52S AB d ==． 故选：C ．12．（5分）函数()(2)f x kx lnx =-，()2g x lnx x =-，若()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为( )A ．1[122ln -，41)33ln - B ．1(122ln -，41]33ln - C ．41[33ln -，12)22ln -D ．41(33ln -，12]22ln -【解答】解：当1x >时，0lnx >， 由()()f x g x <得(2)2kx lnx lnx x -<-， 即22x kx lnx -<-，即4xkx lnx<-， 设()4x h x lnx=-， 则2211()()()lnx xlnx x h x lnx lnx --'=-=-， 由()0h x '>得(1)0lnx -->得1lnx <，得1x e <<，此时()h x 为增函数， 由()0h x '<得(1)0lnx --<得1lnx >，得x e >，此时()h x 为减函数， 即当x e =时，()h x 取得极大值h （e ）44ee lne=-=-， 作出函数()h x 的图象，如图， 当1x →时，()h x →-∞， h （3）343ln =-，h （4）424442ln ln =-=-，即3(3,4)3A ln -，2(4,4)2B ln -， 当直线y kx =过A ，B 点时对应的斜率34413333A ln k ln -==-，24121422Bln k ln -==-，要使()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数， 则对应的整数为2x =，和3x =， 即直线y kx =的斜率k 满足B B k k k <， 即14112233k ln ln -<-， 即实数k 的取值范围是1(122ln -，41]33ln -， 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）已知函数,1(),1x lnx x f x e x >⎧=⎨⎩，则(f f （2）)= 2 ．【解答】解：f （2）2ln =，(f f ∴（2）2)(2)2ln f ln e ===． 故答案为：2．14．（5分）设x ，y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 7 ．【解答】解：画出x ，y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示，由32110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得点(3,1)A ，结合图形知，直线20x y z +-=过点A 时， 2z x y =+取得最大值为2317⨯+=．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P ABC -中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且3AP AB AC ===，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 (423)π- ． 【解答】解：如图，由AP ，AB ，AC 两两垂直，且3AP AB AC ==6PB PC BC ===∴1323362PBC S ∆==， 设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ，利用等体积可得：111133333(3333232r ⨯=⨯⨯，解得31r -=∴三棱锥P ABC -的内切球的表面积为2314()(423)S ππ-=⨯=-． 故答案为：(43)π-．16．（5分）已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>，点P ，Q ，R 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且32||||2PQ QR π==，则m ω+= 179． 【解答】解：函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>，由32||||2PQ QR π==，解得3||4PQ π=，9||||4T PQ QR π∴=+=，228994T ππωπ∴===， 设0(P x ，)m ，则0(2TQ x -，)m ，0(R T x +，)m ，0||22T PQ x ∴=-，0||22TQR x =+， 002(2)222T Tx x ∴-=+，解得031216T x π==， 83111sin()1916222m π∴=⨯+=+=，817199m ω∴+=+=． 故答案为：179． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈①． 当1n =时， 解得：112a =， 当2n 时，111n n S a --=-．② ①-②得：12n n a a -=， 所以：112n n a a -=（常数）， 故：数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列． 则：1111()()222n nn a -==（首项符合通项），所以：1()2n n a =．（2）由于：1()2n n a =，则：2log n n b a n ==-． 所以：1(1)n b n +=-+， 则：11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故：11111122311n nT n n n =-+-+⋯+-=++． 18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，2224CD DE AD AB ====，25AC =，30EAD ∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面ADE ； （2）求该五面体的体积．【解答】解：（1）证明：因为2AD =，4DC =，25AC = 所以222AD DC AC +=， 所以AD CD ⊥， 又四边形CDEF 为矩形， 所以CD DE ⊥， 所以CD ⊥面ADE ， 所以EF ⊥面ADE ，由线面平行的性质定理得：//AB EF ， 所以AB ⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，2DE =，2AD =，2AB =，30EAD ∠=︒．可得E 到底面ABCD 的距离为：2sin 603︒=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH -的体积， 可得1112310322sin12042234323233⨯⨯⨯︒⨯+⨯⨯⨯⨯=-=．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x （分钟） 10 11 12 13 14 15等候人数y （人)23 25 26 29 28 31调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯⋯，(n x ，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，411546i ii x y==∑．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A ，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种， 所以52()1153P A =-=． （2）后面4组数据是：因为121314152629283113.5,28.544x y ++++++====，442111546,734i ii i i x yx ====∑∑，所以1222127571546422ˆ 1.42773442ni ii nii x ynxybxnx==--⨯⨯===--⨯∑∑，ˆˆ28.5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ 1.49.6yx =+． 当10x =时，ˆ 1.4109.623.6,23.6230.61y=⨯+=-=<， 当11x =时，ˆ 1.4119.625,252501y=⨯+=-=<， 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”． （3）由1.49.635x +，得1187x ，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．（12分）已知点，都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ，2A ，若直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线4y =上．【解答】解：（1）由题意可得22222113112a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，22b =，故椭圆C 的方程为22142y x +=．证明：（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设过点(0,1)M 的直线l 方程为1y kx =+，(0)k ≠，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由221142y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得22(2)230k x kx ++-=，12222k x x k ∴+=-+，12232x x k =-+， 1(0,2)A ，2(0,2)A -，∴直线1A P 的方程为11111212122()2y kx y x x k x x x x -+-=+=+=-+， 则直线2A Q 的方程为222232()2y y x k x x +=-=+-， 由121()23()2y k x x y k x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，消x 可得121232k x y y k x --=++， 整理可得221212121212121212121212324646246()4(3)46()224443333kkkx x x x kx x x x x x kx x x x k k y x x x x x x x x -+⨯+--+++-+++===+=+=++++，直线1A P 与2A Q 交于点S ，则点S 恒在直线4y =上21．（12分）已知函数()2()x f x e ax a R =-∈（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直，求该切线方程； （2）当0a >时，证明2()44f x a a -+ 【解答】（1）解：()2x f x e a '=-， (0)122f a '=-=，解得：12a =-，()x f x e x ∴=+，则(0)1f =．∴切线方程为112y x =-+；（2）证明：()2x f x e a '=-，由()20x f x e a '=-=，解得2x ln a =．∴当(,2)x ln a ∈-∞时，()0f x '<，当(2,)x ln a ∈+∞时，()0f x '>．()f x ∴在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增．2()(2)22222ln a min f x f ln a e aln a a aln a ∴==-=-．令g （a ）22222442222(0)a aln a a a a a aln a a =-+-=-->． 要证g （a ）0，即证120a ln a --， 令h （a ）12a ln a =--，则h '（a ）111a a a-=-=， 当(0,1)a ∈时，h '（a ）0<，当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0>， h ∴（a ）h （1）0=，即120a ln a --．2()44f x a a ∴-+．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）已知点(4,0)Q ，点P 是曲线l C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线1C 的普通方程为：224x y +=，设(,)M x y 则(24,2)P x y -在曲线1C 上，所以22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=，2C 轨迹的极坐标方程为：24cos 30ρρθ-+=．（2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，222211()124CM CA AB AB =-=-，① 在直角三角形CMO 中，222227494()424CM OC OM AB AB =-=-=-，② 由①②得12AB =，74OM ∴=，154CM =， 15154774CM k OM ===．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->．（1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ，且43n m -=，求a 的值． 【解答】解：（1）32,()2,132,1x a x a f x x a a x x a x --+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+-⎩，1x ∴=时，()f x 的最小值为1a +． （2）如图所示：当1522a a +<<+即342a <<时，()50f x -<的解集为(3,1)3aa --，44134333a aa ∴--+=-=，2a ∴=符合，当225a +即302a <时，()f x 的解集 为(13a --，1)3a-，4112333a a ∴-++=≠．综上可得2a =．。
广东省中山一中2020学年第一学期高三数学第一次统测(数学文)
中山一中2020学年高三数学第一次统测文科试题（时间：120分钟 满分150） 命题人：晏林文 审题人：常洁 一.选择题：（每小题5分，共50分） 1. 集合{},A a b =的真子集的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42. 点),(y x 在映射B A f →：作用下的象是),(y x y x -+，则点(3,1)在f 的作用下的原象是A ． ()2,1B 。
()4,2C 。
()1,2D 。
()4,2- 3．如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集， 则阴影部分所表示的集合是A. A B IB. A B UC. ()U B A I ðD. ()U A B I ð4．函数2223log (2)y x x x =--+的定义域为A.．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(,1][3,)-∞-+∞U C ．(2,1]-- D ．(2,1][3,)--+∞U 5．函数ln y x x m =+的单调递增区间是A ．1(0,)e B ．(,0)e C ． 1(,)e +∞ D ． 1(,)e e6．函数()()22log 4f x x x =-的单调递减区间是A ．(0,4)B ．(0,2)C ． (2,4)D ． (2,)+∞ 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则(5)f 的值是（ ） A. 2 B.1 C. 0 D. 1- 8．已知集合{}{}210,1,A x x B x ax a R =-===∈，若A B A =U ，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．-1或1D ．0，1，-19．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住每间房定价 100元 90元 80元 60元 住房率65%75%85%95%A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元10．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A.0B.1C.3D.5二、填空题：（每题5分，共20分）11．已知lg 2,lg3m n ==，则lg 45= ；12．若()2f x x =在定义域[](),a b a b ≠上的值域与定义域相同，则b a -= ；13．已知()()()()25525x xx f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()8f 的函数值为 ；14．已知函数22()1x f x x =+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= ；三．解答题：（共80分）15．（本题14分）已知集合A={}2|230x x x --<，B={}|1x x p ->， （1）当0p =时，求A B ⋂（2）若A B B ⋃=，求实数p 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省中山市高考数学一诊试卷（文科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017高三上·赣州期末) 已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|x＜a+1}．若A∩B≠∅，则a的取值范围为（）
A . （0，+∞）
B . [0，+∞）
C . （4，+∞）
D . [4，+∞）
2. （2分）若复数是纯虚数，则实数的值为（）
A . 或
B .
C .
D . 或
3. （2分） (2017高一下·天津期末) 某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）
A . 分层抽样系统抽样
B . 分层抽样简单随机抽样
C . 系统抽样简单随机抽样
D . 简单随机抽样分层抽样
4. （2分） (2017高一上·定远期中) 设，则f[f（﹣1）]=（）
A . 1
B . 2
C . 4
D . 8
5. （2分） (2017高二下·宁波期末) 下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）
A . a﹣1＞b
B . a+1＞b
C . |a|＞|b|
D . a3＞b3
6. （2分）等比数列中，，则“ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
7. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所
示，在其中一个黄金中， .根据这些信息，可得（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知向量a,b,满足|a|=2,、|b|=3,|2a+b|=,则a与b的夹角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
9. （2分）如图是一个程序框图，则输出S的值是（）
A . 84
B . 35
C . 26
D . 10
10. （2分） (2019高一下·上海期中) 若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2019高三上·汉中月考) 已知等差数列的前项和为，若，某三角形的三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为________.
12. （1分）(2014·新课标II卷理) 函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为________．
13. （1分）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有________ 辆．
14. （1分）(2016·淮南模拟) 实数x，y满足，则的取值范围是________．
15. （1分） (2015高一下·城中开学考) 若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为________．
三、解答题 (共6题；共45分)
16. （5分）已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（﹣3，﹣4），B（5，﹣12）
（1）求坐标及||
（2）求•．
17. （5分）(2017·朝阳模拟) 某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在[185，195]（单位：cm）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．
18. （15分） (2016高一下·广州期中) 已知数列{an}的前n项和为Tn= n2﹣ n，且an+2+3log4bn=0（n∈N*）
（1）求{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn=an•bn ，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
19. （5分） (2016高一下·武城期中) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
20. （10分）(2019·莆田模拟) 已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）当时，，求的取值范围.
21. （5分） (2017高三上·张掖期末) 已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e﹣2 ．（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共45分)
16-1、
17-1、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、20-1、20-2、
21-1、。