年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基 考点突破 瞭望高考)第七章第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

于 M、N 两点，故利用直线与圆相交的条 件即可求得 k 的范围． → → → → → → (2)AM· AN＝|AM|· |AN|cos0° ＝|AM|· |AN|， 故根据切割线定理即可证得结论． → → (3)OM＝ON＝x1x2＋y1y2，根与系数的关 系即可解决．
【解】
(1)设直线方程为 y＝kx＋1，即
离与圆的半径比较大小，判断直线与 圆的位置关系．
【解】 圆的方程可化为(x－a)2＋(y＋1)2＝a, 可知 a>0. 圆心(a，－1)到直线 x＋y－2a＋1＝0 的 |a－1－2a＋1| |a| a 距离 d＝ ＝ ＝ . 2 2 2 a 当 ＝ a， 即 a＝2 时， 直线与圆相切； 2
a 当 > a，即 a>2 时，直线与圆相离； 2 a 当 < a， 即 0<a<2 时， 直线与圆相交． 2
kx－y＋1＝0. 又圆心(2,3)到直线 l 的距离 |2k－3＋1| |2k－2| d＝ ＝ 2 ， 2 k ＋1 k ＋1 |2k－2| 4－ 7 4＋ 7 d＝ 2 ＜1，解得 ＜k＜ . 3 3 k ＋1
(2)证明：设过 A 点的圆的切线为 AT，T 为切点， 则|AT| ＝|AM|· |AN|， |AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7， → → → → 又AM· AN＝|AM|· |AN|cos0° → → ＝|AM|· |AN|＝7， → → ∴AM· AN为定值．
2 4x＋4y＋r2－8＝0.
1 作 O1H⊥AB(图略),则|AH|＝ |AB|＝ 2, 2
|O1H|＝ 2，由圆心 O1(0，－1)到直线 AB 的距离得 |r2 2－12| 2 ＝ 2，得 r2 ＝ 4 或 r 2 2＝20. 4 2 故圆 O2 的方程为： (x－2)2＋(y－1)2＝4 或 (x－2)2＋(y－1)2＝20.
2
(3)∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x ＋x ＝4＋4k 2 1 1＋k2 7 x1x2＝1＋k2
，
→ → OM· ON＝x1x2＋y1y2 2 ＝(1＋k )x1x2＋k(x1＋x2)＋1 4k1＋k ＝ 2 ＋8＝12. 1＋k ∴k＝1(经检验符合题意)．
【名师点评】 用几何法判定直线与
圆的位置关系的主要步骤是：
(1)把圆的方程化为标准形式，求出圆
心和半径r.
(2)利用点到直线的距离公式求圆心到
直线的距离d.
(3)判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；当d<r时， 直线与圆相交．
互动探究 1．其它条件不变，是否存在a，使得 直线平分圆的周长？ 解：依题意，圆心在直线上，所以a － 1－ 2a＋ 1＝ 0， 解得，a＝0，又a>0，故不存在．
C2：y(y－mx－m)＝0 有四个不同的交点， 则实数 m 的取值范围是(
A. － B.－
)
3 3 ， 3 3
3 3 ，0∪0， 3 3
C.－
3 3 ， 3 3
客观题主要考查直线与圆的位置关系,
弦长等问题；主观题考查较为全面，
除考查直线与圆的位置关系、弦长等
问题外,还考查基本运算、等价转化、 数形结合等思想．
预测2013年福建高考仍将以直线与圆 的位置关系为主要考点，考查学生的
运算能力和逻辑推理能力．
典例透析
例
若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0 与曲线
例3 已知点 M(3,1)，直线 ax－y＋4＝0
及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过 M 点的圆的切线方程； (2)若直线 ax－y＋4＝0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.
【思路分析】 (1)设出切线方程易求．
l 2 2 2 (2)利用( ) ＝r －d 求得 a. 2
无实 数解
有两组 有两组 相同实 不同实 数解 数解思考探究源自过一定点的圆的切线有几条？
提示：应首先判断这点与圆的位置关
系，若点在圆上，则该点为切点，切
线只有一条；若点在圆外，切线应有
两条；若点在圆内则没有切线．
2．圆与圆的位置关系
位置关系 公共点 个数 外离 外切 相交 内切 内含
0 ____
1
2．注意利用圆的性质解题，可以简化 计算．例如，求圆外一点到圆上任意 一点的最小距离或最大距离，利用两 点的距离减去或加圆半径就很简便． 3．一般地，过圆外一点可向圆作两条 切线，在两种方法中都应注意斜率不 存在的情况．
考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看，直线与圆 的位置关系、弦长、圆与圆的位置关 系等是高考的热点，三种题型都有可 能出现，难度属中等偏高；
同时为 0 ，故方程 (*) 表示一条直线．
而 A 、 B 两点坐标适合两圆方程，当 然也适合方程 (*) ．故过 A 、 B 两点的 直线方程为(*)．
圆的切线与弦长
(1)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上， 则过P(x0，y0)点的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
(2) 过点 P(x0 ， y0) 作圆 C 的切线，若点 在圆上切线有一条；若点在圆外切线 有两条． (3)求弦长时可利用弦心距与半径和弦 长的一半构成直角三角形进行求解．
【解】 (1)由题意可知 M 在圆(x－1)2 ＋(y－2)2＝4 外， 故当斜率不存在， 即 x＝3 时满足与圆相切． 当斜率存在时设为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y－3k＋1＝0. |k－2＋1－3k| 3 由 ＝2，∴k＝ ， 2 4 k ＋1 ∴所求的切线方程为 x＝3 或 3x－4y－5＝0.
互动探究 2.本例条件不变,若直线ax－y＋4＝0与 圆相切,求a的值.
解：由 ax－y＋4＝0 与圆相切知 |a－2＋4| 2 ＝2， 1＋ a 4 ∴a＝0 或 a＝ . 3
直线与圆的综合问题
直线与圆的关系问题首先考虑用几何
方法处理；其次，交点情况可以转化
为方程的解的情况，有些问题可用根
与系数关系处理．
的位置关系是(
A．相切
)
B .直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 答案：B
2．(2012· 宁德质检)圆O1：x2＋y2－2x
＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关
系是(
A．相离 C．外切 答案：B
)
B．相交 D．内切
3．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的 切线方程为( )
|a＋2| (2)圆心到直线的距离 d＝ 2， 1＋a 又 l＝2 3，r＝2， l 2 3 ∴由 r ＝d ＋( ) ，可得 a＝－ . 2 4
2 2
【名师点评】
求切线的方程一般有
三种方法：(1)设切点，利用切线公
式；(2)设切线斜率，利用判别式；
(3)设切线斜率，利用圆心到切线的
距离等于圆的半径．
【思路分析】
的关系．
求圆心距d与R＋r,R－r
【解】
(1)∵两圆外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2， r2＝|O1O2|－r1＝2( 2－1)， 故圆 O2 的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝ 4( 2－1)2， 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的 方程：x＋y＋1－2 2＝0.
(2)设圆 O2 的方程为:(x－2)2＋(y－1)2＝r2 2, ∵圆 O1 的方程为:x2＋(y＋1)2＝4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程:
圆与圆的 位置关系
(1)判断两圆的位置关系常用几何法,即 用两圆圆心距与两圆半径和与差之间 的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线
的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2
项得到.
例2 圆 O1 的方程为:x2＋(y＋1)2＝4,圆
O2 的圆心 O2(2,1)． (1)若圆 O2 与圆 O1 外切， 求圆 O2 的方程， 并求内公切线的方程； (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点，且 |AB|＝2 2，求圆 O2 的方程．
于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k,
切线方程即可求出．
【注意】
过圆外一点作圆的切线有
两条，若在解题过程中只解出一个答
案，说明另一条直线的斜率不存在，
千万别发生遗漏．
3．圆的弦长的求法 (1)几何法： 设圆的半径为 r， 弦心距为 d， l 2 2 弦长为 l，则( ) ＝r －d2. 2
(2)代数法： 设直线与圆相交于 A(x1， y1)， B(x2，y2)两点，解方程组
第4课时 直线与圆、圆与圆的位 置关系
教材回扣夯实双基
基础梳理
1.直线与圆的位置关系 位置 关系
公共点 个数 相离 ___ 0 个 相切 1个 相交 ___ 2 个
位置关系 几何特征 (圆心到直 线的距离d, 半径r) 代数特征 (直线与圆 的方程组成 的方程组)
相离
相切
相交
d＞ r
d＝ r
d＜ r
答案：±2
考点探究讲练互动
考点突破
直线与圆的 位置关系
判断直线与圆的位置关系，常用两种
方法：一是判断直线与圆的方程组成
的方程组有无实数解，根据解的情况
研究直线与圆的位置关系；二是依据
圆心到直线的距离与半径长的关系判
断直线与圆的位置关系．
例1 当a为何值时，直线x＋y－2a＋1
＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0 相切？相离？相交？ 【思路分析】 通过圆心到直线的距
2 ___
1
0 ___
几何特征 R－r (圆心距d, d＞R d＝R d＝R d＜R ＜d＜ ＋r －r －r 两圆半径 ＋r R＋r R,r,R＞r) 代数特征 一组 (两个圆的 无实 实数 方程组成 数解 解 的方程组) 两组 实数 解 一组 无实 实数 数解 解
课前热身
1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1
【名师点评】
解决与圆有关的综合
问题，首先考虑几何法，计算量小； 其次考虑代数方法解决，主要是设而 不求，用根与系数关系求解．
方法感悟
方法技巧
1． 过圆上一点(x0， y0)的圆的切线方程的 求法 先求切点与圆心连线的斜率 k， 由垂直关 1 系知切线斜率为－ ，由点斜式方程可求 k 切线方程．若切线斜率不存在，则由图 形写出切线方程 x＝x0.
例4 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线
l 与圆 C： (x－2)2＋(y－3)2＝1 相交于 M、 N 两点． (1)求实数 k 的取值范围； → → (2)求证：AM· AN为定值； → → (3)若 O 为坐标原点，且OM· ON＝12，求 k 的值．
【思路分析】
(1)由于直线与圆 C 相交
y＝kx＋b， 消 y 后得关于 2 2 2 x－x0 ＋y－y0 ＝r ，
x 的一元二次方程，从而求得 x1＋x2， x1x2，则弦长为 |AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] (k 为直线斜率)．
失误防范 1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性 质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂 直的性质，可以用勾股定理或斜率之积 为－1列方程来简化运算．
2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方 程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时，设为k，切线方程为y －y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可
得出切线方程．
(2)代数方法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝
kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关
【名师点评】 直线方程
两圆的公共弦所在的
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 若两圆相交于A、B两点，则直线AB 的方程可利用作差得到，即(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(*)
说明：方程 (*) 中 D1 － D2 与 E1 － E2 不
A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0
答案：D
4．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没
有公共点，则实数k的取值范围为
________．
答案：(－ 3， 3)
5.(2012· 漳州质检)若直线y＝x＋b与圆
x2＋y2＝2相切,则b的值为________.