2019年江苏高考南通密卷四(南通市数学学科基地命题)

2019年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C A
B = ．
2. 已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+，(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z = .
3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ．
4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ．
5.
6.
线的抛物线方程是 ．
7. （一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的
直线一定垂直于另一个平面；
（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号是 ． 8. 已知π()3sin(2)6f x x =-
，若存在π
(0,)2
α∈，使()()f x f x αα+=--对一切实数x 恒成立，则α= ． 9. 设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，
y ≥x ，y ≥－x ＋b
，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ．
10. 若0,0,x y >>的最小值为 ．
11. 在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →
的取值范围为 ．
12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60，则圆M 的方程
为 ．
13．三次函数)(x f y =的两个极值点为12,.x x 且11,())P x f x （与原点重合，22(,())Q x f x 又在曲线
(第4题图)
221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为_________.
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin sin tan cos cos A B C A B +=+.
（1）求C ；
（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.
16．(本小题满分14分)在正四棱锥S ABCD -中，底面边长为a
，P 为侧棱SD 上的一点.
（1）当四面体ACPS
的体积为318时，求SP
PD
的值；
（2）在（1）的条件下，若E 是SC 的中点，求证：//BE APC 平面
17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km ,O 为圆心，
C 为圆周上靠近A 的一点，
D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y . （１）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值. 18．（本小题满分16分）如图，设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的
左、右焦点分别为
12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥
，
121||
||F F DF =12DF F ∆
的面积为
2
. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由. 19．（本小题满分16分）已知函数()()3
2
ln ,g x a x f x x x bx ==++.
（1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；
（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()2
(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当0b =时，设()()1
()1
f x x F x
g x x -<⎧=⎨
≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，
使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由. 20．（本小题满分16分）已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．
（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b
a 的值；
（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；
(第17题图)
(第21-A 题图)
A B P
O E D
C
·
（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵
M 满足：
12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. (Ⅰ）求二阶矩阵M ；
(Ⅱ）若曲线22
:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C
'的方程. C ．
（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲
线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)
4
C ρπ
θ=+
上． (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y x z yz zx xy x y z ≥++++．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．（本小题满分10分）从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中任取三个元素构成子集{,,}a b c （1）求,,a b c 中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；
（2）记,,a b c 三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻， 2ξ=）
，求随机变量ξ的分布率及其数学期望()E ξ. 23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．
2014年高考模拟试卷(4)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1.{1,2,4,5}；
2.23i -； 3．
56
； 4．1200； 5．14； 6．2
6y x =-； 7．①② ； 8．
12π ； 9．94
； 10
.
===
，当且仅当x y =时，取等号；
11． ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，2 . 【解析】 以CA 、CB 所在直线为x 、y 轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y )，则x ＋y ＝2，y
＝2－x ，即M(x , 2－x )，又MN ＝2，所以点N 坐标为(x ＋1，2－x －1)，即N(x ＋1，1－x )，于是CM CN ⋅＝x (x ＋1)＋(2－x ) (1－x )＝2x 2－2x ＋2＝21
32()2
2x -+
(0≤x ≤1)，所以x ＝12时CM CN ⋅取最小值3
2
，x ＝0或1时CM CN ⋅取最大值2，因此CM CN ⋅的取值范围为⎣⎡⎦
⎤
32，2； 12．22(1)1x y -+=.【解析】∵当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴圆M 与圆C 一定是同心圆，∴可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2
，所以1
2
r ＋2
＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1； 13．
4
3.【解析】设d cx bx ax x f +++=23)(，依题意知0)0(0)0('
==f f 且，∴0==d c ，故23)(bx ax x f +=，bx ax x f 23)(2'+=，由221x x y -+=及点Q 在其上，可设Q 点的坐标为
],0[),sin 1,cos 1(πθθθ∈++. 由Q 为)(x f y =的一个极值点得⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+)
cos 1(2)cos 1(30)
cos 1()cos 1(sin 12
2
3θθθθθb a b a ， 显然πθθ≠-≠,1cos ，∴a b 32cos 1-=+θ，∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++=
++-=2
3
)cos 1()sin 1(3)cos 1()sin 1(2θθθθb a ，
∵0<a ，∴bx ax x f 23)(2
'
+=存在最大值θ
θ
θcos 1sin 123)2cos 1()32(''
++⋅
=+=-
f a b f ， 数形结合可求得OQ k ⋅=++⋅
23cos 1sin 123θθ，其最小值为4
3
. 14．92．【解析】易知d =0，成立．
当d >0时， d a d a a 5320142014531154-=⇒=+=
*
N d
d d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=
3853
385438533854381073838543854381073854又
⎩⎨⎧>>-⇒>-=-=0
38038535320141d d )d (d a 38380<-<∴d 381,2,19d ∴-=， 37,36,19d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为92．
二、解答题
15． (1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+,
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,
即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=- ， 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3
C π= ；
(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333
A B α<<<<知-.
因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故(sin sin )sin()sin()33
a b A B ππαα+=+=++-
α=，
3
3
π
π
α-
<<
，
1
cos 12
α<≤
a b <+≤.
法二：23sin sin sin sin()sin 32a b A B A A A A π+=+=+-=
)6
A π+ ， 250,3666
A A ππππ
<<
<+<
，1sin()1,26A a b π∴<+≤<+≤. 16．（1）设PD x =，设P 作PH BD ⊥于H ，SBD ABCD ⊥平面平面且BD 为交线，
则PH ⊥平面ABCD ，又SO ABCD ⊥平面//PH SO ∴，
在Rt SOB ∆
中，2
SO a ==
，
x a PH PD PD SO
PH x SO SD SD
⋅=∴=
=，
3
11()322218
SPAC S ACD P ACD V V V a a a x a --∴=-=⨯⨯
⨯-= ，
解得3x a =
221
SP PD ∴==. （2）取SP 中点Q ，连结,QE BQ ，
则//,,//EQ PC EQ PAC PC PAC EQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面 ， 则//,,//BQ PO BQ PAC PO PAC BQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面， 而EQ BQ 与为平面BEQ 内的两条相交直线，//BEQ PAC ∴平面平面，
而BE BEQ ⊂平面，//BE APC ∴平面．
【注】第（2）问，也可以连结ED ，ED 交CP 于Q ，用平几知识证明Q 为ED 中点，进而证明OQ ∥BE ，从而获证.
17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， 2cos CD x =，因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02
x π<<
, 所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-，
令()0f x '=，得6
x π
=， 列表
x
(0，
6
π) (
6π，2
π) ＋ 0 － f (x ) 递增
极大值 递减
所以函数()f x 在π
6
x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，
即()6
6
f π
π
=
答：观光路线总长的最大值为6
π
+
18．（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222
c a b =-，
由
121
F F DF =,得12
DF c =
=
.
从而1221121222
DF F S DF F F c ∆=
⋅==故1c =.
从而12DF =
，由112DF F F ⊥得222
211292
DF DF F F =+=，因此22DF =.
所以122a DF DF =+=2221a b a c =
=-=.
因此，所求椭圆的标准方程为2
212
x y +=. （2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2
212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，
11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=
由（1）知()()121
,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--， 再由11F P ⊥22F P
得()2
21110x y -++=，
由椭圆方程得()22
11112
x x -=+，即211340x x +=， 解得14
3
x =-
或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当14
3
x =-
时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得
101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故05
3
y =. 圆C
的半径13CP ==. 综上，存在满足条件的圆，其方程为2
253239x y ⎛
⎫+-= ⎪⎝⎭
.
19.（1）由()bx x x x f ++=23得()b x x x f ++='232
，因()x f 在区间[]2,1上不是单调函数. 所以()b x x x f ++='232
在[]2,1上最大值大于0，最小值小于0,
()31313232
2-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++='b x b x x x f ,
()()⎩
⎨⎧+='+='∴b x f b
x f 516min max ，516-<<-∴b .
(2)由()()x a x x g 22
++-≥，得()x x a x x 2ln 2
-≤-,
[]x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1 ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x . x x x
x a ln 22--≤∴恒成立，即min
2ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤x x x x a . 令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=
，求导得()()()()2
ln ln 221x x x x x x t --+-=',
当[]e x ,1∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而()0≥'x t .
()x t ∴在[]e ,1上是增函数，()()11max -==∴t x t .
1-≤∴a .
(3)由条件，()⎩⎨⎧≥<+-=1
,ln 1
,23x x a x x x x F ,
假设曲线()x F y =上存在两点Q P ,满足题意，则Q P ,只能在y 轴两侧,
不妨设()()()0,>t t F t P ，则(
)2
3
,t
t t Q +-，且1≠t ,
POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴,
是否存在Q P ,等价于方程()*在0>t 且1≠t 是否有解.
①当10<<t 时，方程()*为()()23232
0t t t t t -+-++=，化简0124=+-t t ，此方程无解；
②当1>t 时，方程()*为(
)0ln 2
3
2
=++-t
t t a t ，即()t t a
ln 11+=
设()()()1ln 1>+=t t t t h ，则()11ln ++='t
t t h ,
显然，当1>t 时，()0>'t h ，即()t h 在()+∞,1上为增函数.
()t h ∴的值域为()()+∞,1h ，即()+∞,0，∴当0>a 时，方程()*总有解.
∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点
的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. 20．（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
则d ＝b －a
6
，q ＝
6
b
a
． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b
2
，b 3＝aq 3＝ab ．
因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或1
4
．
（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1
m ＋1
a ×n ．
因为λa ＝a ×q m ＋
1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λn
m ＋1． 因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)
m ＋1×a ＝a ×λn
m ＋1．
因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)
m ＋1＝λn
m ＋1（*）．
因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)
m ＋1为有理数．
要使（*）成立，则λn
m ＋1必须为有理数． 因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1．
若λ＝2，则λn
m ＋1为无理数，不满足条件． 同理，λ＝3不满足条件．
当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n
m ＋1为有理数，则2n
m ＋1必须为整数．
又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)
m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．
综上，λ最小值为4，此时m 为29． (3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S n
n }为递增数列．
证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1
n
＝b n ＋1．
因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S n
n }为递增数列．
同理可证，若{c n }为递减数列，则{S n
n }为递减数列．
①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n
n ．
即aq (q m ＋
1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)
q －1n ，即aq m ＋
1－a m ＋1
＞aq n －a n ．
因为b ＝aq m ＋
1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1
，
所以d ＞b n －a
n ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．
②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S n
n ．
即aq (q m ＋
1－1)q －1m ＋1
＜aq (q n －1)q －1n ．
因为0＜q ＜1，所以aq m ＋
1－a m ＋1
＞aq n －a
n ．以下同①．
综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．A ．因AE=AC ，AB 为直径， 故∠OAC=∠OAE ．
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．
又∠EAC=∠PDE ，12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以，∠PDE=∠POC ．
B ．（1）设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则12234A ==-，1213122A --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦， 21582131461122M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2）
11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩
代入2
2
221x xy y ++=可得
()()()()22
22221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，
故曲线C '的方程为2
2
451x xy y -+=．
C ．(Ⅰ)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为212cos ρρθ=-，
曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (Ⅱ) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2
π
． D ．因为x ，y ，z 都是为正数，所以12
()x y x y yz zx z y x z
+=+≥．
同理可得
22
y z z x zx xy x xy yz y
++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
111
x y z yz zx xy x y z
++++≥． 22．（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型. 记“,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，
其基本事件总数为39n C =．
由题意，,,a b c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数37m C = ，
所以，,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为5
12
． （2）
5112
()012122123
E ξ=⨯
+⨯+⨯= ． 23．（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对， 所以a 35=；
（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，
11 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：
0111111C C C 2
k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能
都不在B 中，故B 的个数为：1
2C C C 2
1n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()1111111
1222(1)2(2)2112
n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．。