2020年安徽省六安市中学高一数学理月考试卷含解析

2020年安徽省六安市中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，最小值为4的有多少个？（）
① ②
③ ④
A、4
B、3
C、
2 D、1
参考答案：
D
略
2. （4分）函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间在区间上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案．
解答：∵函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上为单调递减函数，
∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2，∵最大值比最小值大，
∴1﹣a2=，
解得a=
故选：A．
点评：本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键
3. 在等比数列中，公比，前5项的和，则的值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 在等差数列{a n}中，，且，S n为数列{a n}的前n项和，则使得的n的最小值为（）
A．23 B．24 C．25 D．26
参考答案：
B
由题意可得：因为，且，
所以公差d>0,
所以由等差数列的性质可得：S24=＞0，S23=23?a12＜0，
所以使S n＞0的n的最小值为24．
5. 已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
参考答案：
A
【考点】分段函数的应用．
【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=
∴f（1）=2
若f（a）+f（1）=0
∴f（a）=﹣2
∵2x＞0
∴x+1=﹣2
解得x=﹣3
故选A
6. 已知平面向量，且，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
8. 已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若?=﹣3，则λ的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，
?=（+）?（﹣）=（+）?[（﹣）﹣]
=（+）?[（λ﹣1）?﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）?﹣
=（1﹣λ）?4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，
故选：A．
9. 已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）
A．f（x）=x2 B．f（x）=x2+1（x≥1）
C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）
参考答案：
C
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【分析】通过换元：令，将已知条件中的x都换为t，得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可．
【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）
∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2
∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）
故选C
【点评】已知f（ax+b）的解析式来求f（x）的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法．
10. 已知，则的充分不必要条件是
（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列
中，
，则
的值是。

参考答案：
32
12.
已知函数f
(x )对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )，且f (2)=3，则f (-1)= .
参考答案：
13. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B （1，-3，1），点M 在y 轴上，且M 到A
与到B 的距离相等，则M 的坐标是 。

参考答案： （0，-1，0）
14. 函数y=2x
（x≥1）的反函数为 _________ ．
参考答案：
15. ①设a ，b 是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b =0
②若
③在△ABC 中，若，则△ABC 是等腰三角形
④在
中，
，边长a,c 分别为a=4,c=
，则
只有一解。

上面说法中正确的是
参考答案：
①②
16. （5分）点A （1，1）到直线x ﹣y+2=0的距离为 ．
参考答案：
考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆．
分析： 利用点到直线的距离公式即可得出．
解答： 解：由点到直线的距离公式可得：
=．
故答案为：
．
点评： 本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
17. 已知数列{a n }满足
则
=_________若数列{b n }满足
,S n 为数列{b n }的前n
项和,则S n = ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）写出函数
的单调递增区间，并证明。

参考答案：
19. （本小题满分12分）已知，，且与夹角为120°求
（1）； （2）； （3）与的夹角
参考答案：
（1）根据题意，由于，且夹角为120°，
那么可知…… 4分
(2) …… 8分
(3)由的夹角公式，有,故……12分
20. 已知函数满足：①；②. （1）求的值；（2）设，是否存在实数使
为偶函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）设函数，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．
参考答案：
解：（1），①
又，即，②
将①式代入②式，得，又∵，
∴，．
（2）由（1）得，
，
假设存在实数使为偶函数，则有
，即，可得．
故存在实数使为偶函数．
（3）方法1 ∵ 函数，
有解，即
又∵ ，
∴ 的最小值为，
∴ ；
又，
即，（*）
∴当时，方程（*）有2个不同的实数根；
当时，方程（*）有1个实数根；
当时，方程（*）没有实数根．
综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；
当时，函数在定义域范围内有1个零点；
当时，函数在定义域范围内没有零
点．
方法2∵ 函数，
有解，
又∵ ，
∴ 的最小值为，
∴ ；
又，
即
∴当时，直线与抛物线有2个不同的交点；
当时，直线与抛物线有1个交点；
当时，直线与抛物线没有交点．
综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；
当时，函数在定义域范围内有1个零点；
当时，函数在定义域范围内没有零点．
略
21. 函数对一切实数x、y均有成立，且．
（Ⅰ）求函数的解析式．
（Ⅱ）解不等式．
（Ⅲ）对任意的，，都有，求实数的取值范围．参考答案：
见解析．
（Ⅰ）由已知等式，
令，，得，
∵，
∴，
令得，
∴，即．
（Ⅱ）∵的解集为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即原不等式的解集为．
（Ⅲ）∵，
∴在单调递增，
∴，
要使任意，都有，
则当时，，显然不成立，
当时，，∴，解得，
∴的取值范围是．
22. 已知函数．
（1）当时，求f(x)在区间上的取值范围．
（2）当时，，求m的值．
参考答案：
（1）
（2）m=－2.
试题分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数
公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．
试题解析：（1）当m=0时，f(x)＝(1+)sin2x＝sin2x+sin x cos x＝
,由已知，得，从而得的值域为[0，].
（2）由f(x)＝(1＋)sin2x＋m sin(x＋)sin(x－)
，所以?，当，得，，所以。