精品K12学习高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的坐标表示及

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算
课后集训
基础达标
1.若点A 的坐标为（x 1,y 1），的坐标为（x 2,y 2），则点B 的坐标为（ ）
A ．（x 1-x 2,y 1-y 2）
B ．(x 1+x 2,y 1+y 2)
C ．(x 2-x 1,y 2-y 1)
D ．以上皆不对
解析：∵=-，
∴（x 2,y 2）=(x,y)-(x 1,y 1).
∴(x,y)=(x 1,y 1)+(x 2,y 2)=(x 1+x 2,y 1+y 2),
∴应选B.
答案：B
2.已知=（x 1,y 1）,=(x 2,y 2),=(x 3,y 3)，则等于（ ）
A ．（x 1+x 2+x 3,y 1+y 2+y 3）
B ．(x 1+x 2-x 3,y 1+y 2-y 3)
C ．(x 1-x 2+x 3,y 1-y 2+y 3)
D ．(-x 1+x 2+x 3,-y 1+y 2+y 3)
解析：∵=++=(x 1,y 1)-(x 2,y 2)+(x 3,y 3)=(x 1-x 2+x 3,y 1-y 2+y 3).
∴应选C.
答案：C
3.已知A （3，4），B （-5，5），且a =（x-3,x 2
+4x-4）.若a =AB ,则x 的值等于（ ） A ．1或-5 B ．1 C ．-5 D ．-1或5
解析：∵=(-5,5)-(3,4)=(-8,1),a =(x-3,x 2+4x-4).若=a ，则⎩⎨⎧=-+-=-,144,
382x x x 解得
x=-5.∴应选C.
答案：C
4.设a =（-1，2），b =（1，-1），c =（3，-2），若c =p a +q b ，则实数p 、q 的值为（ ）
A ．p=4,q=1
B ．p=1,q=4
C ．p=0,q=4
D ．p=1,q=-4 解析：∵c =p a +q b =p(-1,2)+q(1,-1)=(-p,2p)+(q,-q)=(-p+q,2p-q),又∵c =(3,-2), ∴⎩⎨⎧-=-=+-,22,3q p q p 解得⎩⎨⎧==.
4,1q p
∴应选B.
答案：B
5.已知ABCD 中，=（3，7），=（-2，3），对角线AC 、BD 交于点O ，则的坐标为（ ）
A ．（-21，5）
B ．（21，5）
C ．（-21，-5）
D ．（21，-5） 解析：AC =AB +AD =（-2，3）+（3，7）=（1，10）， ∴OC =21AC =（2
1，5）， ∴CO =（-
21，-5）. ∴应选C.
答案：C
6.已知A （0，0），B （21，-31），C （-21，3
2），则下列计算正确的是（ ） A ．向量的坐标为（-
21，31） B ．向量的坐标为（0，31） C ．向量的坐标为（-21，32） D ．向量+的坐标为（0，31） 解析：AB =（21，-31）-（0，0）=（21，-3
1），
BC =（-21，32）-（21，-3
1）=（-1，1）， CA =（0，0）-（-
21，32）=（21，-32）， +AB =（-21，32）+（21，-31）=（0，3
1）. 故D 是正确的.
答案：D
综合运用
7.已知点A （-1，5），若向量AB 和向量a =（2，3）同向，AB =3a ，则点B 的坐标为__________. 解析：由=3a =（6，9）得，=+=（-1，5）+（6，9）=（5，14），即B （5，
14）.
答案：（5，14）
8.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为（ ）
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2
=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
解析：设OC =（x,y ）,OA =(3,1), OB (-1,3), ∵=α+β，
∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).
∴⎩
⎨⎧+=-=.3,3βαβαy x 又α+β=1,
∴x+2y -5=0.
∴应选D.
答案：D
9.已知点A （-1，2），B （2，8）及AC =31AB ，DA =-31BA ，求点C 、D 和CD 的坐标. 解：设C 、D 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2),由题意可得
=（x 1+1,y 1-2）,=(3,6),
=(-1-x 2,2-y 2), =(-3,-6). ∵=31,=-31， ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-3
1 (-3,-6), 也就是（x 1+1,y 1-2）=(1,2),(-1-x 2, 2-y 2)=(1,2).
∴⎩⎨⎧=-=+,22,1111y x 和⎩⎨⎧=-=--.
22,1122y x
∴⎩⎨⎧==,4,011y x 和⎩⎨⎧=-=.
0,211y x
∴C、D 的坐标分别为（0，4）和（-2，0）. 因为CD =（-2，-4）.
拓展探究
10.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及=+t ，试问：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？
(2)t 为何值时，P 在第二象限？
（3）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解：（1）∵O（0，0）、A （1，2）、B （4，5）， ∴OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）.
不妨设P （x,y ）,∴=(x,y).
∵P 在x 轴上，则y=0, ∵=+t ,
∴(x,0)=(1,2)+t(3,3).
∴⎩⎨⎧+=+=.320,31t t x ∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=.1,32x t ∴t=-32. （2）若P 在第二象限，则⎩⎨⎧><,
0,0y x
且（x,y ）=(1,2)+t(3,3).
∴⎩⎨⎧+=+=.32,31t y t x ∴⎩⎨⎧>+<+.
032031t t
∴-
32＜t ＜-31. （3）因为OA =（1，2），
PB =OB -OP =（3-3t,3-3t ）.
若OABP 为平行四边形，需=.
因为⎩⎨⎧=-=-,
233,133t t 所以无解,
故四边形OABP 不可能为平行四边形.
备选习题
11.已知=（-2，5），B=（1，-3）,则A 点坐标为_________________.
∴⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+--=-.8,3,5)3(,21y x y x ∴A 点坐标为（3，-8）.
答案：（3，-8）
12.已知点A （1，2），B （-2，3），C （3，5）且OA =3，OB =5,OC =-2，求A′、B′、C′点的坐标. 解：OA =3=3（1，2）=（3，6），
∴A′点的坐标为（3，6）；'OB =5=5（-2，3）=（-10，15）.
∴B′点的坐标为（-10，15）；
'OC =-2BC =-2［(3,5)-(-2,3)］=-2(5,2)=(-10,-4).
∴C′点的坐标为（-10,-4）.
13.已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求使c =x a +y b 成立的实数x 与y 的值. 解：x a +y b =x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).
∵c =x a +y b ,
∴(x -y,-x+3y)=(3,5).
∴⎩⎨⎧=+-=-,53,3y x y x 解得：⎩
⎨⎧==.4,7y x ∴使c =x a +y b 成立的实数x 与y 的值分别是7和4.
14.设A （2，4），B （6，3），求(1)A 点关于B 点对称点的坐标；(2)B 点关于A 点对称点的坐标；(3)线段AB 中点C 的坐标.
解：(1)设A 点关于B 点的对称点为A′(x,y).如右图所示，则AB ='BA ，即（4，-1）=（x-6,y-3）.
⎩⎨⎧-=--=,31,64y x 解得：⎩⎨⎧==.
2,10y x ∴A 点关于B 点对称点的坐标为（10，2）.
(2)同理可求得B 点关于A 点对称点的坐标为（-2，5）.
(3)设线段AB 中点C 的坐标为（x 1,y 1）.则AC =21AB =21（4，-1），即（x 1-2,y 1-4）=(2,-21)即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-,214,2211y x 解得：⎪⎩
⎪⎨⎧==.27,411y x ∴线段AB 中点C 的坐标为（4，2
7）. 15.已知O 是△ABC 内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c 且|a |=2，|b |=1，|c |=3,试用a 、b 表示c
.
解析：如右图以O 为原点为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数定义，得：B （cos150°,sin150°）,C(3cos240°,3sin240°).
即：B （-23,21）,C=(-2
3,233-).
又∵A（2，0），故a =（2，0），b =（-23,21）,c =(-2
3,233-), 设c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),
∴(-23,233-)=λ1(2,0)+λ2(-23,21)=(2λ1-23λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.2332
1,23232221λλλ∴⎩⎨⎧-=-=.33,321λλ ∴c =-3a -33b .
16.已知三力f 1=(3,4),f 2=(2,-5),f 3=(x,y),f 1,f 2,f 3的合力为零,求力f 3的坐标（x,y ）. 解：∵f 1+f 2+f 3=0，
∴f 3=-(f 1+f 2)
=-(3,4)-(2,-5)=(-5,1).。