中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析

中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析
一、全等三角形双等腰旋转
1．如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，BAC a ∠=，点P 是线段AB 的中点，将线段PC 绕点P 顺时针旋转α得到PD ，连接BD ．
（1）如图2，若60α=︒，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD 和BC 之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若90α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若120α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系为______．
答案：（1）图形见详解，BC=AB=2BD ；（2）BC=BD+BP ，理由见详解；（3）BC =BD+BP
【分析】
（1）先补全图形，再连接CD ，可得是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可
解析：（1）图形见详解，BC =AB =2BD ；（2）BC =BD 2BP ，理由见详解；（3）BC =BD 3BP
【分析】
（1）先补全图形，再连接CD ，可得CPD △是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可得到结论；
（2）取BC 的中点F ，连接PF ，推出BPF △是等腰直角三角形，从而得BF 2BP ，再证
≌，进而即可求解；
明BDP FCP
≌，可得BD=CF，从而得3PF=3BP=BF，进而即可得到结论．（3）由BDP FCP
【详解】
解：（1）补全图形如下：
BC=2BD，理由如下：
连接CD，
∵线段PC绕点P顺时针旋转 =60°得到PD，
∴CP=DP，∠CPD=60°，
∴CPD
△是等边三角形，
∴∠CDP=∠DCP=60°，
∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，
∠ACB=30°，
∴ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=1
2
∴∠BCD=60°-30°=30°，
∴BC平分∠PCD，
∴BC是PD的垂直平分线，
∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；
（2）取BC的中点F，连接PF，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴ABC是等腰直角三角形，
∵P是AB的中点，F是BC的中点，
∴PF是ABC的中位线，
∴PF∥AC，
∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，
△是等腰直角三角形，
∴BPF
∴BF2BP，BP=PF，
∵∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠BPD=∠FPC，
又∵PD =PC ，
∴
BDP FCP ≌，
∴BD =CF ，
∵BC =BF +FC ， ∴BC =BD +2BP ；
（3）由第（2）题可知：BDP FCP ≌，
∴BD =CF ，
∵∠BAC =∠DPC =120°，PF ∥AC ，PF =
12AC ， 又∵BP =
12AB ，AB =AC ， ∴3PF =3BP =BF ，
∴BC =BF +CF =BD +3BP ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
2．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么
,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；
（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．
（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，
33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．
答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；
（2）把绕点
解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】
（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；
（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；
（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD
∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △
∴DAE 90BAC ∠=∠=︒
∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠
∴D CAE BA ∠=∠
∵BA=CA ，AD=AE
∴ABD ACE ≅
∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD
∵ACB 45B ∠=∠=︒
∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD
故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；
（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，
则
ACE ABG ≅
∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒
∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒
∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
ADG ADE ≅
∴ED=GD
∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=
即222BD EC DE +=
（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，
∴
AEC AFB ≅
∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒
∵CAB 120∠=︒，AB=AC
∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒
∴FBD 60∠=︒
∵EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒
∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD
∴ADE ADF ≅
∴DF=DE
∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形
∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形
∴BDF 是直角三角形
若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+
∴BD 1=
∴DE 3=
∴BE BD DE 13=+=+
若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒
∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==
∵()
BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+
∴BF 1=
∴BD=2，DE 3=
∴BE 23=+
【点睛】
此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．
（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；
（2）求证：//BF AC ；
（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．
答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；
（2）先根
解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得
60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；
（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；
（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1）AEG △是等边三角形，理由如下：
如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，
60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，
60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；
（2）ABC 和EFC 是等边三角形，
,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，
ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，
在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACE BCF SAS ∴≅，
60CBF CAE ∴∠=∠=︒，
CBF ACB ∴∠=∠，
//BF AC ∴；
（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，
DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，
ED EC =，
D AC
E ∴∠=∠，
由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，
D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，
60ABC EFC ∠∴∠==︒，
在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， 在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，
在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADE BEF AAS ∴≅，
AD BE ∴=，
AB BE AE AD BF ∴=+=+．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．
4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.
（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.
①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。

探究：当ACB ∠多少度时，CE BC ⊥？小明通过（1）的探究，猜想45ACB ∠=︒时，CE BC ⊥.他想过点A 做AC 的垂线，与CB 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。

小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.
答案：（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当时，
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE ，BA=CA ，AD=AE ，运用“SAS”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角
解析：（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当45ACB ∠=︒时，CE BD ⊥
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD =∠CAE ，BA =CA ，AD =AE ，运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系； ②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE ，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE =B D ．
理由：如图1，∵∠BAD =90°-∠DAC ，∠CAE =90°-∠DAC ，
∴∠BAD =∠CAE ．
又 BA =CA ，AD =AE ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）
∴∠ACE =∠B =45°且 CE =B D ．
∵∠ACB =∠B =45°，
∴∠ECB =45°+45°=90°，即 CE ⊥B D ．
故答案为：垂直，相等；
②都成立
∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠，
∴BAD CAE ∠=∠，
在DAB ∆与EAC ∆中，
AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAB EAC ∆∆≌，
∴,CE BD B ACE =∠=∠，
∴90ACB ACE ∠+∠=︒，即CE BD ⊥；
（2）当45ACB ∠=︒时，CE BD ⊥（如图）．
理由：过点A 作AG AC ⊥交CB 的延长线于点G ，
则90GAC ∠=︒，
∵45,90ACB AGC ACB ∠=︒∠=︒-∠，
∴904545AGC ∠=︒-︒=︒，
∴45ACB AGC ∠=∠=︒，
∴AC AG =，
在GAD ∆与CAE ∆中，
AC AG DAG EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴GAD CAE ∆∆≌，
∴45ACE AGC ∠=∠=︒，
∴454590BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，即CE BC ⊥．
【点睛】
此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
5．已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 边所在的直线交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP<PD ）
（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD 、PF 分别交射线DA 于点H 、G ．
①求证：PG=PF ；
②探究：DF 、DG 、DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），过点P 作PG ⊥PF ，交射线DA 于点G ，你认为（1）中DE 、DG 、DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
答案：（1）①详见解析；②DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG-DF=DP
【解析】
【分析】
（1）①根据矩形性质证△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD为等腰直
解析：（1）①详见解析；
；（2）不成立，数量关系式应为：DG-
【解析】
【分析】
（1）①根据矩形性质证△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD为等腰直
角三角形，△HPG≌△DPF，根据直角三角形性质可得
DP；（2）过点P作PH⊥PD
交射线DA于点H，得到△HPD为等腰直角三角形，证△HPG≌△DPF，得HG=DF，DH=DG-
HG=DG-DF，
DP．
【详解】
（1）①∵由矩形性质得∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵
PHG PDF PH PD
GPH FPD ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；
②结论：
DP，
由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴
DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴
DP；
（2）不成立，数量关系式应为：
，
如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，
∵PF ⊥PG ，
∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD ，
∵DE 平分∠ADC ，且在矩形ABCD 中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD 为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD ，HD=2DP ，
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，
在△HPG 和△DPF 中，
∵GPH FPD GHP FDP PH PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△HPG ≌△DPF ，
∴HG=DF ，
∴DH=DG-HG=DG-DF ，
∴DG-DF=2DP ．
【点睛】
考核知识点：矩形性质的运用,等腰直角三角形.综合运用全等三角形判定和等腰直角三角形性质是关键.
6．感知：如图①，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连结AE 、CG ，
易证AED CGD ≌
△△．（不需要证明）
探究：将图①中正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图②．连结AE 、CG ，证明：AE=CG ．
应用：如图③，正方形ABCD 中，AD =3，点E 在CB 的延长线上，BE =1，DE=DF ，∠EDF =90°．直接写出点F 与点C 的距离．
答案：探究：证明见解析；应用：点F 与点C 的距离为．
【分析】
探究：结合旋转模型，利用“边角边”证明即可得出结论；
应用：连接FC ，根据前序问题中的方法证明△AED ≌△CFD ，从而得到CF=AE ，即在Rt
解析：探究：证明见解析；应用：点F 与点C 的距离为10． 【分析】
探究：结合旋转模型，利用“边角边”证明AED CGD ≌
△△即可得出结论； 应用：连接FC ，根据前序问题中的方法证明△AED ≌△CFD ，从而得到CF =AE ，即在Rt △AED 中求解AE 即可．
【详解】
探究：证明：在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，
AD =CD ，DE =DG ，90ADC EDG ∠=∠=︒，
∴ADE CDG ∠=∠，
∴AED CGD ≌△△，
∴AE CG =；
应用：连接FC ，
∵∠EDF =∠ADC =90°，
∴∠ADE =∠CDF ，
又∵AD =CD ，DE=DF ，
∴△AED ≌△CFD ，
∴CF =AE ，
在Rt △AED 中，2210AE AB BE =+=，
∴点F 与点C 的距离为10．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握基本的旋转模型，根据全等三角形的性质求解问题是解题关键．
7．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为
____________；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．
答案：（1）CD+CF=AC；（2）不成立，CD-CF=AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得
∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△B
解析：（1）2AC；（2）不成立，2AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可得出BC=CD+CF，根据等腰直角三角形的性质可得2AC，进而可得答案；
（2）同（1）可证明△BAD≌△CAF，可得BD=CF，即可得出CD=BC+CF，根据等腰直角三角形的性质可得2AC，可得2AC，即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAF+∠DAC=90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB AC
BAD CAF AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD+CF=CD+BD=BC，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=2AC，
∴CD+CF=2AC．
故答案为：CD+CF=2AC
（2）不成立，CD-CF=2AC．理由如下：
同（1）可证△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD=BC+BD=BC+CF，
∵BC=2AC，
∴CD-CF=2AC．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
8．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.
(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2
(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=13，CD=1，则AD的长为▲ .(直接写出答案）
答案：（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.
（2）由（1）中的条件可得∠
解析：（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（36
【分析】
（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.（2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出
BD2+CD2=2
ED,再根据勾股定理可得出结果.
（3）作AE⊥AD,使AE=AD，连接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE（SAS）,所以13再
根据勾股定理求得DE.
【详解】
解：（1）结论：BC=DC+EC
理由：如图①中,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE,
在△BAD 和△CAE 中,
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）;
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即：BC=DC+EC.
（2）BD 2+CD 2=2AD 2,
理由如下：连接CE,
由（1）得，△BAD ≌△CAE,
∴BD=CE ，∠ACE=∠B,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,
∴CE 2+CD 2=ED 2,
即：BD 2+CD 2=ED 2;
在Rt △ADE 中,AD 2+AE 2=ED 2,又AD=AE,
∴ED 2=2AD 2;
∴BD 2+CD 2=2AD 2;
（3）AD 6(学生直接写出答案）.
作AE ⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD 与△CAE 中,
AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE.
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）,
∴BD=CE=13, ∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE 2=CE 2-CD 2=（13）2-12=12,
∴DE=23,
∵∠DAE=90°,AD 2+AE 2=DE 2,
∴AD=6.
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．在直线上次取A ，B ，C 三点，分别以AB ，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D ，E ．
（1）如图①，连结CD ，AE ，求证：CD AE =；
（2）如图②，若1AB =，2BC =，求DE 的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC 绕B 点作适当的旋转，连结AE ，若有222DE BE AE +=，试求∠DEB 的度数．
答案：（1）见解析；（2）；（3）∠DEB ＝30°.
【分析】
（1）欲证明CD＝AE，只要证明△ABE≌△DBC即可；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，首先证明△DBF是等边三角形，然后证明△BD
解析：（1）见解析；（2）3
DE=；（3）∠DEB＝30°.
【分析】
（1）欲证明CD＝AE，只要证明△ABE≌△DBC即可；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，首先证明△DBF是等边三角形，然后证明△BDE是直角三角形，再利用勾股定理计算即可；
（3）如图③，连接DC，先证明△ABE≌△DBC，再利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得到∠DEC＝90°即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB BD
ABE DBC BE BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD＝AE；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°，
∵∠BFD＝∠FED＋∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED＝30°
∴∠EDB＝180°−∠DBE−∠DEB＝90°，
∴DE＝2222
213
BE BD；
（3）如图③，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB BD
ABE DBC BE BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，
∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC−∠BEC＝30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，要学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．
10．探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D 为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D 为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA 于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．
答案：(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)结论：(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)满足条件的DE的值为或4．
【解析】
【分析】
①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠EC
解析：(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)结论：(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)满足条
件的DE的值为43
3
或43．
【解析】
【分析】
①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=45°，易证△CBD≌△CBE，即可得出BD=BE；
②由CD=CE即可得出BC⊥DE.
（2）由CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=1
2
α，易证△CBD≌△CBF，
即可得出BD=BE，再由等腰三角形的性质得出BC⊥DE.
（3）分两种情况，根据三角形全等的性质及三角函数即可得出.【详解】
(1)如图①中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠DCF=45°，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBE(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
故答案为BD=CE，BD⊥CE．
(2)结论：(1)中的结论仍然成立．
理由：如图②中，
∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=1
α，
2
∵∠ECD=α，
∴∠ECF=∠DCF=1
α，
2
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBF(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
(3)如图③中，
当△AFE≌△AMD时，AF=AM，
∵∠AFD=∠AMD=90°，
∵AD=AD ，
∴Rt △ADF ≌Rt △ADM(HL)，
∴∠DAF=∠DAM=30°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴DA=DB ，
∵DF ⊥AB ，
∴∠BDF=60°，BF=AF=2，
∵BD=BE ，
∴△BDE 是等边三角形，
∴DF=EF=BF•tan30°=233， ∴DE=2EF=433
． 如图③-1中，当点D 在AM 的延长线时，易证AF=AM=2，DE=2DF=43．
综上所述，满足条件的DE 的值为
33
或3. 【点睛】 本题考查了等腰三角形，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握性质定理.
二、全等三角形手拉手模型
11．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现： 如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；
（2）拓展探究：
如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．
解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2
【分析】
（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =
，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：
①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；
②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．
【详解】
解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，
∴
ABC 是等边三角形，
同理可得ADE 是等边三角形
6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB AC
EAC DAB ACE ABD SAS BD CE
AEC ADB ADE AEC AED CEB
CEB ∠+∠=∠+∠=︒
∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
∴∴=∠=∠=︒-∠=︒
∠=∠+∠∴∠=︒
＝≌（）
故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．
（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：
在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，
45AB CAB ∴∠︒，＝ ，
同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴
AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，
ACE ABD ∴∽ ，
∴BD AD CE AE
== ∴
AEC ADB BD ∠∠＝，，
点B 、D 、E 在同一条直线上:
180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝
135AEC ∴∠︒＝
45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；
（3）由（2）知，ACE ABD ∽，
BD ∴，
在Rt ABC 中，AC ＝
AB ∴＝，
①当点E 在点D 上方时，如图③，
过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，
DE BD ⊥，
PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，
∴四边形APDE 是矩形，
AE DE ＝ ，
∴矩形APDE 是正方形，
2AP DP AE ∴＝＝＝，
在Rt APB △中，根据勾股定理得，6BP ，
4BD BP AP ∴-＝＝，
CE BD ∴＝ ②当点E 在点D 下方时，如图④
同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，
∴BD ＝BP +DP ＝8，
CE ∴＝
综上CE 的长为或．
【点睛】
本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．
12．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则
CF= ；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到
CF=CD+BC，然后求出答案；
（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD=AF ，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF ，
在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴BD=CF ，
（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；
∴BD=CF ，
∴CF=BC+CD ，
∵AC=AB=2，CD=1，
∴BC ==
∴
CF=1；
（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：
BD=CF ，
即：CD=BC+CF
②△AOC 是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，
又∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD 为直角三角形．
又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，
∴OC=12
DF ， ∴OC=OA
∴△AOC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．
13．如图，AOB 和COD △都是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，连接AC ，BD ． （1）如图1，试判断AC 与BD 的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若点D 哈好在AC 上，且D 为AC 的中点，5AB =，求BOD 的面积．
（3）如图3，设AC 与BD 的交点为E ，若AE CE =，60AOD ∠=︒，4AB =，求CD 的长．
解析：（1）AC BD =，AC BD ⊥，见解析；（2）12
BOD S =△；（3）252CD =．
【分析】
(1) 结论: AC=BD ，AC ⊥BD .如图1中，设AC 交BD 于K ，OA 交BD 于 E .证明△AOC ≌△BOD (SAS )即可解决问题.
(2)如图2中，作OH ⊥CD 于H .首先证明OH=DH=CH ，设OH=DH=CH=m ，构建方程求出m 即可解决问题.
(3)如图3中，连接BC ，作BH ⊥CO 交CO 的延长线于H .依次求出OB ，OH ，BH ，CH ，再求出 OC 即可解决问题.
【详解】
（1）如图，设AC 交BD 于点K ，OA 交BD 于点E ，
图1
所以90DOC AOB ∠=∠=︒，
∴AOC BOD ∠=∠，
∴OA OB =，OC OD =，
∴AOC △≌BOD （SAS ），
∴AC BD =，OAC OBD ∠=∠，
∴90OBD BEO ∠+∠=°，BEO AEK ∠=∠，
∴90OAC AEK ∠+∠=°，
∴90AKB ∠=︒，
∴AC BD ⊥．
（2）如图，作OH CD ⊥于点H ，
图2
∵OD OC =，90COD ∠=︒，OH CD ⊥，
∴OH DH CH ==，
设OH DH CH m ===，
则2CD AD m ==， ∵5AB =OA OB =，90AOB ∠=︒， ∴102
OA =， 在Rt AOH 中，
∵222OA OH AH =+，
∴()
2221032m m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得12m =
或12m =-（舍）， ∴12
OH =，2AC =， ∵AOC △≌BOD ，
111122222
BOD AOC S S AC OH ==⋅⋅=⨯⨯=△△． （3）如图，连接BC ，
图3
作BH OC ⊥交CO 的延长线于点H ，
∵OA OB =，90AOB ∠=︒，4AB =， ∴22OA OB ==，
∵AC BD ⊥，AE EC =，
∴4AB BC ==，
∵60AOD ∠=︒，90AOB COD ∠=∠=︒，
∴120COB ∠=︒，
∴18060BOH BOC ∠=-∠=°°，
∴122
OH OB ==，6BH =， 在Rt BCH 中，
()22224610CH BC BH =-=-=
∴102OC CH OH =-=
∵2=CD OC ，
∴252CD =．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，30°角的直角三角形
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.
14．如图，已知等边ABC ，点D 为ABC 内的一点，连接
,150DA DB DC ADB ∠=︒、、，以CD 为边向CD 上方作等边CDE △，连接AE （060ACE ︒<∠<︒）．
（1）求证：BDC AEC △≌△．
（2）请判断ADE 的形状，并证明你的结论．
（3）若,2AD AE CD a ==，求ACD ∠的度数及ABD △的面积（用含a 的代数式表示）．
解析：（1）见解析；（2）△ADE 为直角三角形，理由见解析；（3）2ADB 12S
a =． 【分析】
（1）利用“SAS”即可证明△BDC ≅△AEC ；
（2）设∠ABD =x ，求得∠EAC=∠DBC =60x ︒-，∠DAB=30x ︒-，∠DAC 30x =︒+，从而推出△ADE 为直角三角形；
（3）可证明△EDA 为等腰直角三角形，求得2a ，过点B 作AD 的垂线交AD 的延长线于点F ，再推出DB=DA 2a =，求得BF=
12DB=22a ，即可求得2ADB 12
S a =． 【详解】
（1）∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB=60︒，CB=CA ，
∵△EDC 为等边三角形，
∴∠ECD=60︒，CD=CE ，
∴∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD ，
∴∠DCB =∠ECA ，
在△BCD 和△ACE 中， CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≅△AEC(SAS)；
（2）△ADE 为直角三角形，理由如下，
设∠ABD =x ，则∠DBC=60x ︒-，
由（1）可知：∠EAC=∠DBC =60x ︒-，
∵∠ABD =150︒，
∴∠DAB=18015030x x ︒-︒-=︒-，
∴∠DAC=∠CAB-∠DAB =60()3030x x ︒-︒-=︒+，
∴∠DAE=∠EAC+∠DAC=60()3090x x ︒-+︒+=︒，
∴△ADE 为直角三角形；
（3）∵△EDC 为等边三角形，
∴∠ECD=60︒，CD=CE=DE=2a ，
在△ADC 和△AEC 中，
AD AE DC EC CA CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≅△AEC(SSS)；
∴∠EAC=∠DAC=45︒，
又∵AE=AD ，∠EAD=90︒，DE=2a ，
∴△EDA 为等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠BAC-∠DAC =60︒-4515︒=︒，
根据勾股定理求得AE=AD=2a ，
过点B 作AD 的垂线交AD 的延长线于点F ，
∵∠ADB =150︒，
∴∠BDF=18015030︒-︒=︒，
∴∠DAB=∠DBA 15=︒，
∴DB=DA 2a =， ∴BF=12DB=22a ， ∴2ADB 112122222
S AD BF a a a =⋅=⋅⋅=． 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，判断出△EDA 为直角三角形是解本题的关键．
15．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．
（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；
（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积． 解析：（1）详见解析；（2）18
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，
AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，
ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD CBF ∠=∠
在ABD ∆和FBC ∆中，
AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；
图1 图2
（2）
ABD FBC ∆≅∆，
BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，
180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠
1809090=︒-︒=︒
AD CF ∴⊥
-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形 11112222
AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822
CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．
16．问题发现：如图1，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边所在直线上的动点(不与点B 、C 重合)，连结AD ，以AD 为边作Rt ADE ∆，且AD AE =，根据
BAC CAD CAD DAE ∠+∠=∠+∠，得到BAD CAE ∠=∠，结合AB AC =，AD AE =得出BAD CAE ∆≅∆，发现线段BD 与CE 的数量关系为BD CE =，位置关系为BD CE ⊥；
（1）探究证明：如图2，在Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，AB AC =，AD AE =，且点D 在BC 边上滑动(点D 不与点B 、C 重合)，连接EC ．
①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为_____；
②求证: 2222BD CD AD +=；。