【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修三学案：第一章 4 数据的数字特征

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高中数学第一章统计数据的数字特征学案北师大版必修3

百度文库 - 好好学习，天天向上数据的数字特征-备课资料学习导航学习提示根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的数字特征，如平均数和标准差是本节重点考平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等.通过实例理解数据查对象.信息科学技术是运算的主要标准差的意义和作用.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达工具.数据的信息.教材习题探讨方法点拨习题 1—4从上面的数据不易直接看出各1.（1）茎叶图.自的分布情况，为此可以将以上数27 31 8 9 43 4 5 6 7 7 8 9 50 0 1 2 2 3 4 5 60 1 4 82图 1－4－8据按不同方式进行表示，不同的统计图都有各自的特点和用途，此题可分别用茎叶图、折线图或条形图来表示.折线图.个数100 80 60 40 200 1图 14－4－79 10 13 1619 22营业（2）该组数据的平均数 x =；中位数是 49；众数是 47、50、52. （3）该面包店每天生产的新鲜面包应该是在 50 个左右. 2.解：（1）男子 1500 m 速滑的冠军成绩的平均数是 1′″；中位数是 1′″. 女子 1500 m 速滑的冠军成绩的平均数是 2′″；中位数是 2′″. （2）男子 1500 m 速滑冠军成绩的标准差是″；女子 1500 m 速-1百度文库 - 好好学习，天天向上滑冠军成绩的标准差是″.平均数和标准差是刻画一组数（3）从两方面描述：一方面男子速滑成绩优于女子速滑成绩；据的数学特征中最重要的两个统计另一方面女子速滑冠军的成绩起伏较大，不稳定，而男子速滑冠军量.的成绩起伏性小，稳定性大.3.解：（1）条形图.降水量(mm) 500 400 300 200 1000 图1 12－43－140 5 6 7 8 9 10 11 12月份折线图.选择用条形图和折线图来分别表示两地的降水量.图形可以帮助我们获取有用的信息，直观地理解各自降水量的特征.降水量(mm) 500 400 300 200 1000 图11－24－3114 5 6 7 8 9 10 11 12月份（2）西安 2000 年月降水量的平均数是 44.9 mm，标准差是；桂林 2000 年月降水量的平均数是 171.3 mm，标准差是.（3）桂林的月降水量平均值大而且差别大，西安的降水量较小而且较平均.互动学习知识链接在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表所示：在一组数据中出现次数最多的数据叫众数.成绩-2百度文库 - 好好学习，天天向上（单位：m）人数23234111 将一组数据按大小次序排列，处分别求这些运动员成绩的众数、中位数和平均数（平均数的计在最中间位置的数据（或最中间两算结果保留到小数点后第 2 位）.个数据的平均数）叫这组数据的中解：在这 17 个数据中，出现了 4 次，出现的次数最多，即这位数.组数据的众数是；上面表里的 17 个数据可看成按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是；这组数据的平均数是1 x = 17 （×2+×3+…+×1）=（m）.答：17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 m、 1.70 m、1.69 m.在以上例子中，运动员成绩的众数是 1.75 m，说明成绩为 1.75 m 的人数最多；运动员成绩的中位数是 1.70 m，说明成绩在 1.70 m 以下和 1.70 m 以上的人数各占一半；运动员成绩的平均数是 1.69 m，说明所有参赛运动员的平均成绩是 1.69 m.知识总结描述数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数，平均数作为一组数据的代表，比较靠得住和稳定，是反映数据集中趋势最常常利用的量;中位数更实际地描述了数据的中心，它不受极端数据的影响;众数作为一组数据的代表，靠得住性较差，但由于其求法较简便，所以在现场检查中常被用到. 刻画数据离散程度的统计量有极差、中位数和标准差，由于标准差能充分利用所得数据，且仅用一个数值来刻画数据的离散程度，而且当该数值越大时，其离散程度也越大. 所以，在实际中，咱们往往应用平均数和标准差来刻画数据的集中和离散趋势.-3。

高中数学必修三北师大版数据的数字特征教案

1.4数据的数字特征(设计者阜阳三中侯斌斌)【教学背景分析】本节课是高中数学必修3，第一章第4节。

在初中，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

【教学目标】1、知识与技能能结合具体情境理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。

3、情感态度与价值观通过对现实生活和其他学中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学问题的方法，认识数学的重要性。

【教学重、难点】教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征表达数据的信息。

【教学过程】教学环节一：创设情境引入新课教学内容提出问题：甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？教师点出课题：数据的数字特征师生互动：引导学生讨论、质疑、并提出问题设计意图：通过实例引起学生对平均数的实际意义产生质疑从而引出课题，引导学生从多角度观察数据的数字特征。

教学环节二：巩固复习提出问题1、什么叫平均数？有什么意义？2、什么叫中位数？有什么意义？3、什么叫众数？有什么意义？4、什么叫极差？有什么意义？5、什么叫方差？有什么意义？讨论结果： 1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。

数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++= 。

平均数代表该组数据的平均水平。

2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。

2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章统计 5-1 估计总体的分布-5-2 估计总体的数字特征精品

5．1 估计总体的分布 5．2 估计总体的数字特征[学习目标] 1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并作出合理解释.3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程．知识点一频率分布表与频率分布直方图 1．用样本估计总体的两种情况 (1)用样本的频率分布估计总体的分布． (2)用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差；(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．思考为什么要对样本数据进行分组？答不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．知识点二频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．题型一频率分布直方图的绘制例1调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165 171169167169151168170168160174 165168174159167156157164169180 176157162161158164163163167161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．解(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：(2)反思与感悟 1.组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地，当n≤50，则分为5～8组；当50≤n≤120时，则分为8～12组较为合适．2．分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．3．画频率分布直方图小长方形高的方法是：假设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k 的小长方形高为kh.跟踪训练1美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51, 60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．解(1)以4为组距，列表如下：(2)从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．题型二频率分布直方图的应用例2 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.反思与感悟 1.频率分布直方图的性质：(1)因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)频数相应的频率＝样本容量． 2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．跟踪训练2 如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内频数为8. (1)求样本在[15,18)内的频率； (2)求样本容量；(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数．解由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于475×3＝425.(2)样本在[15,18)内频数为8，由(1)可知，样本容量为8425＝8×254＝50.(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，∴样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)内频数为8，故在[18,33)内的频数为47－8＝39. 题型三频率分布与数字特征的综合应用例3 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解 (1)(2)(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.(2)图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 1.利用频率分布直方图估计数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点； (2)中位数左右两侧小矩形的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．跟踪训练3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数． (2)高一参赛学生的平均成绩．解 (1)由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，x＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分．1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是()A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确答案 C解析由用样本估计总体的性质可得．2．频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A．组距B．频率C．组数D．频数答案 B解析根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140答案 D解析设所求人数为N ，则N ＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.4．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30、0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________．答案 100 0.15解析设参赛的人数为n ，第二小组的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.4，依题意40n＝0.4，∴n ＝100，优秀的频率是0.10＋0.05＝0.15.1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．2．用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本的平均数和标准差仍然可能互不相同．如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，样本容量越大，越接近总体的真实情况．。

最新北师大版高中数学必修三全册精品教案

北师大版高中数学必修3第一章《统计》全部教案第一课时§1.1随机选取数字一、教学目标1、知识与技能：（1）使学生认识统计活动所要研究的问题，如何分析数据资料；（2）明确为什么要随机选取数字，随机选取数字的困难性，精心设计调查方案的重要性.2、情感、态度与价值观：让学生体会学习统计，参与统计活动的使用价值，提高学生参与意识以及理论与实际相结合的能力.二、教学重点、难点与关键1、重点、难点：随机选取数字把握的困难性及其原因；2、关键：通过对具体是；事例的分析来说明对随机选取数字的困难性.三、教学方法：讨论探究法四、教学过程（一）创设情景，引入新课在日常生活中常遇到如下一些问题（1）学校国庆节期间要举行一次大型的文艺汇演，限于演出场所的原因，每个班只有3张票，如何进行分配呢？（2）某工厂要检验一批产品质量，决定从这批产品中任意抽取10个进行检验，以判断产品的质量如何？（3）为了评选本年度先进学生代表，学校对候选人进行量化，让全体学生去评选你是如何看待和参与呢？你认为人为因素的干扰大吗？真正作到公平、公正难度大吗？上面一些生活中的事例看似简单，但要真正作到“随机”，“任意”都困难很大，为什么呢，本节课将通过具体事例认真地研究这个问题.（二）统计活动及其对选取数据的分析例：北京市某中学通过对343名学生做了下面一项统计活动，调查的过程如下（1）调查者事先做好问卷；（2）给每个被调查者发放问卷，并进行回收；（3）对所有的调查数据进行汇总.数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10统计结果：正正正正▔正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正正ˉ 正正正人数 21 24 29 25 45 45 54 35 46 19根据上面的数据回答下面问题：（1）计算出选择各个数的百分比（用四舍五入方法保留到百分数的整数位）.（2）用下面的统计图表示上面的数据时，你觉得哪种统计图最合适？说明理由.（3）请你分析这些数据的集中趋势与离散程度.（4）从上面的数据能否看出，选哪些数的人少些，由此你能得到什么结论？解：（1）计算出选择各个数的百分比（要求学生用计数器算出后汇总）数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10人数/人 21 24 29 25 45 45 54 35 46 19百分比/% 6 7 8 7 13 13 16 10 14 6（2）数据汇总后呈现往往用统计图.统计图有三种形式：条形统计图，折线统计图，扇形统计图，它们各有特点（让学生交流后汇总）本题所所关心的问题是选择各个数的人占总人数的百分比情况，因此选择扇形统计图比较合适，它能够比较清楚地表示百分比的情况.（3）分析数据的集中趋势，离散程度往往以平均数，众数，方差，中位数等方面进行分析（请大家回顾一下平均数，众数，方差，中位数有关概念，并用计数器计算）平均数 .众数为.方差为（4）从扇形统计图上可以看出，选1，2，3，4，10的人比较少，选其它数字的人较多.而随机选取这些数的理想状态，应当是选择到每个数的人数基本相当，且方差很小.由此，我们可以看出，由于个人偏好，人很难达到随机地选择数.（三）如何做到随机性从上面的分析可以看出，对随机性把握困难较大，主要原因是在选择处理时往往受到各种各样的主观因素的干扰，如何避免出现干扰，做到随机性就成为统计活动中必须注意解决的问题. （1）对统计方案进行仔细地设计，避免一些外界因素干扰，要确定调查对象，调查方案与策略，精心设计调查问卷.做好统计的前期工作，收集数据方法.（2）对采集到的数据要进行分析（汇总与呈现）做出统计判断.（四）、课堂小结1、统计活动中，要做到随机性，困难很大.主要原因是主观因素的干扰.2、要做到随机性必须仔细地设计调查方案及做好统计的前期工作.3、采集到的数据要进行汇总、呈现与分析.往往用条形统计图，折线统计图，扇形统计图呈现；分析数据往往用平均数，众数，方差，中位数分析，方差越小，统计准确性越高.（五）、练习：P6练习题（六）、作业： P7 2五、教后反思：第二课时§1.2从普查到抽样一、教学目标：1．了解普查的意义．2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重难点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．三、教学方法：阅读材料、思考与交流四、教学过程（一）、普查1、【问题提出】 P7通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数据可以提供大量的信息，为国家的宏观决策提供有关的支持．教科书通过对人口普查的有关新闻报道，让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛．教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是针对人口普查的作用，人口普查可以了解一个国家人口全面情况，比如，人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等．人口普查是对国家的政府决策实行情况的一个检验，比如，国家计划生育政策，经济发展战略，国家“普及九年义务教育”政策，人民群众的生活水平等．第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的，以加深学生对于普查的理解．学生可能有一个误解，普查就是100%的准确，其实不然，即使是最周全的调查方案，在实际执行时都会产生一个误差．教科书通过这个问题，目的是让学生理解在人口普查中出现漏登是正常情况，调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小．同时，也要让学生理解人口普查的工作，即使出现漏登现象，人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重要的作用．第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的，让学生体会人口普查数据得来不易，要尊重人口普查人员的劳动，对人口普查工作要大力支持．2、【阅读材料】 P4“阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作的特点和重要性，以及我国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的主要不足之处，这是从一个方面说明了抽样调查的必要性．普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．（二）、抽样调查【例1和其后的“思考交流”】 P8～9紧接着，教科书通过例1和“思考交流”的两个问题，让学生了解普查有时候难以实现．这主要有两个方面的原因，其一，被调查对象的量大；其二，普查对被调查对象本身具有一定的破坏性．这从另一个方面说明了抽样调查的必要性．然后，教科书通过抽象概括总结出抽样调查的两个主要优点．【例2和其后的“思考交流”】 P9～10主要是讨论在抽样调查时，什么样的样本才具有代表性．在抽样时，如果抽样不当，那么调查的结果可能会出现与实际情况不符，甚至是错误的结果，导致对决策的误导．在抽样调查时，一定要保证随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰；并且要保证每个个体以一定的概率被抽取到；同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差．由于检验对象的量很大，或检验对检验对象具有破坏性时，通常情况下，所以采用普查的方法有时是行不通的．通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力．例1为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？解：统计的总体是指该地10 000名学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200．若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．例2为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的小班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？解：选C方案．理由：方案C采取了随机抽样的方法，随机样本比较具有代表性、普遍性，可以被用来估计总体．例3中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？解：综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．（三）、课堂小结：1、普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2、通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力.（四）、作业：P10练习题；P10【习题1―2】五、教后反思：第三课时§1.3抽样方法（一）——简单随机抽样一、教学目标：1、知识与技能：正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；2、过程与方法：（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本.3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性.二、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本.三、教学方法：观察、思考、交流、讨论、概括.四、教学过程（一）创设情景，揭示课题假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本.（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？（二）、探究新知1、简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.【小结】简单随机抽样必须具备下列特点：（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N.（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的.（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样.（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N.思考？下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本.（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子.2、、抽签法和随机数法（1）、抽签法的定义：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n 的样本.【小结】抽签法的一般步骤：（1）将总体的个体编号.（2）连续抽签获取样本号码.思考？你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？（2）、随机数法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法.怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行.第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001， (799)第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 7533 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 3857 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 6287 35 20 96 43 84 26 34 91 6421 76 33 50 25 83 92 12 06 7612 86 73 58 07 44 39 52 38 7915 51 00 13 42 99 66 02 79 5490 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本.【小结】随机数表法的步骤：（1）将总体的个体编号.（2）在随机数表中选择开始数字.（3）读数获取样本号码.（三）、例题精析例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样.例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径.解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本.（四）、课堂练习P13练习题（五）、课堂小结 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误.（六）、作业布置：1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是A．总体是240 B、个体是每一个学生C、样本是40名学生D、样本容量是402、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A、总体B、个体是每一个学生C、总体的一个样本D、样本容量3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 .4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 .五、教后反思：第四课时§1.3抽样方法（二）——系统抽样一、教学目标1、知识与技能：（1）正确理解系统抽样的概念；（2）掌握系统抽样的一般步骤；（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系.二、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题.三、教学方法：观察、思考、交流、讨论、概括.四、教学过程（一）、创设情境某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？(二)、探究新知1、系统抽样的定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.【小结】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：（1）当总体容量N 较大时，采用系统抽样.（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k ＝[n N].（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.思考？（1）你能举几个系统抽样的例子吗？（2）下列抽样中不是系统抽样的是（）A 、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样B 工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C 、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D 、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈点拨:（2）c 不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样.2、系统抽样的一般步骤：（1）采用随机抽样的方法将总体中的N 个个编号.（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k ∈N,L ≤k).（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L （L ∈N,L ≤k ）.（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L 加上间隔k 得到第2个个体编号L+K ，再加上K 得到第3个个体编号L+2K ，这样继续下去，直到获取整个样本.【小结】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.（三）、例题精析例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k ≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293.例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25B 、3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D 、2，4，6，16，32[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k 是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B 满足要求，故选B. （四）、课堂练习P49 练习1. 2. 3（五）、课堂小结：1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：（1）采用随机的方法将总体中个体编号；（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k ∈N)；（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L ；（4）按照事先预定的规则抽取样本.2、在确定分段间隔k 时应注意：分段间隔k 为整数，当n N不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k. （六）、作业：1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（）A ．99B 、99，5C ．100D 、100，52、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A ．1，2，3，4，5B 、5，16，27，38，49C ．2, 4, 6, 8, 10D 、4，13，22，31，403、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为（）A ．8 B.8，3 C ．8.5 D.94、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是抽样方法.。

2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章统计 4-1 平均数、中位数、众数、极差、方差-4-2 标准差精品

4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差[学习目标] 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想．知识点一众数、中位数、平均数 1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )称为这n 个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )，则用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数x ；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一众数、中位数、平均数的简单运用例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解 (1)平均数是：x ＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是x ′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)，新的中位数是：1 500元，新的众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 题型二平均数和方差的运用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．题型三数据的数字特征的综合应用例3在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．反思与感悟要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．跟踪训练3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.42 25．39 25.43 25.39 25.40 25.44 25．40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.48 25．47 25.49 25.49 25.36 25.34 25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位) 解用计算器计算可得 x 甲≈25.405，x 乙≈25.406； s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲<s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．分类讨论思想例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论．解该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去；(3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数答案 C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 答案 A解析根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．答案 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．。

北师大版数学必修三课件.4数据的数字特征4

众数：一组数据中，出现次数__最__多___的数
[特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有好几个众数. 2．极差、方差、标准差刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．极差：把一组数据中最大值与最小值的__差___ 叫作这组数据的极差．极差对极值非常敏锐，一定程度上表明了该组数据的分散程度．
[解析] (1)平均数 x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋ 120×2)＝320(件)，中位数为 210 件，众数为 210 件．
(2)不合理．因为 15 人中就有 13 人的销售额达不到 320 件，也就是说 320 虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为 210 件要合理些，这是由于 210 既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．
1．下列刻画一组数据离散程度的是( B )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．
2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：
件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5
B．5,5
C．3,7
『规律总结』 (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质．
(2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反应问题.
(3) 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中．

北师大版数学高一-数学必修三导学案 1.4 数据的数字特征 2

课题：数据的数字特征个性笔记【学习重点】根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.【考纲要求】1能结合具体情境理解不同数字特征的意义2能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

【学法指导】1 请同学们认真阅读课本25----28页，规范完成导学案内容，用红笔做好疑难标记。

2 本学案案分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个层次，其中ＡＢ必须熟练记忆、理解；Ｃ层供有余力的同学选作。

３在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成导学案上的内容，组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

４及时整理展示、点评结果，规范完成巩固提高部分，改正完善并落实好导学案的所有内容。

５把导学案中自己的疑难问题和易忘、易错的知识点及解题方法规律，及时整理在笔记本上，多复习记忆。

【学习过程】（一）基础学习(A)1.你能说出平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念吗？它们能反映出一组数据的什么特征？能否举例说明2.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，由于粗心将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是什么？<<<，则这组数据的众数，中3．已知数据,,,,,,,a abcd b c c且a b c d位数，平均数各是什么？你能独立完成吗？（二）学习探究(B)1：从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？(B)2. 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？(三)巩固提高(C)1某公司员工的月工资情况如表所示：月工资/元8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2 （1 ）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

【精品推荐】2019-2020学年高中数学北师大版必修3 第一章 4 数据的数字特征课件(33张)

训练题
1. ［2019·山西太原高一联考］某人为了检测自己的解题速度，记录了5
次解题所花的时间（单位：分）分别为x，y，55，60，50.已知这组数据的平均数为55，方差为 52 ，则|x-y|＝（）
5
A.4 B.3 C.2 D.1
C 解析：因为这组数据的平均数为55，方差为 52 ，
5
所以x+y＝110，（x-55）2+（y-55）2＝2.设x＝55+t，y＝55-t，因为（ x-55）2+（y-55） 2＝2，所以2t 2＝2，即t2＝1.则|x-y|＝2|t|＝2.
2. ［2019·河南信阳高级中学高一模拟］某班20位女同学平均分为甲、
乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下（单位：分）：甲组 60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙组 85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. （1）试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；（2）哪一组的成绩较稳定？
参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为
me，众数为mo，平均值为 x ，则（）
A.me＝mo＝ x
B.me＝mo< x C.me<mo<x
D.mo<me< x
（2）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 xA 和 xB ，样本标准差分别为sA和sB，则（）
（3）∵ x甲＝ x乙，s甲 > s乙，∴ 甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比
甲的成绩稳定一些，∴ 从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛.（答
案不唯一，合理即可）
◆极差、方差、标准差的选择标准（1）极差反映了一组数据变化的最大幅度，求解简单易行，但对极端值非常敏感，因此很少使用. （2）方差、标准差反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了与样本数据的单位保持相同，通常采用标准差. 注意：方差、标准差的计算量较大，计算时要注意数据的特点，选择适当的计算方法，使得运算简便. 【点拨】在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定.

高中数学 1.4 数据的数字特征学案北师大版必修3

学案必修三第一章第四节数据的数字特征一、学习目标1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

二、重点、难点重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

难点：正确理解样本的随机性，合理选择抽签法与随机数法. 根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

三、课前预习1一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的。

数据12,,,n x x x 的平均数为。

平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平。

2一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于的数称为这组数据的中位数。

一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的。

3一组数据中出现次数的数称为这组数据的众数。

一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的。

4一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的，表示该组数据之间的差异情况。

5 是样本数据到平均数的平均距离，一般用表示，通常用公式来计算。

反映了数据的。

方差越大，数据的离散程度。

6 等于方差的正的平方根，即s 围绕平均数的波动程度的大小。

四、堂中互动【教师点拨】：描述数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数。

要正确理解各种数的意义根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。

【教师点拨】刻画数据离散程度的统计量有极差、方差和标准差。

2017-2018学年高中数学北师大版三教学案：第一章§4数据的数字特征含答案

[核心必知]1．众数、中位数、平均数（1）众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法:把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．（3）平均数：①平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、x n，那么错误!＝错误!,叫作这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1）标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝错误!［（x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］．其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝错误![(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)－n错误!2]＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）－错误!2.3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考］1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示:不一定．若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数；不是,可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．（2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1。

据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元）如下：（1)(2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元)（3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答］(1)平均数是错误!＝1 500＋错误!≈1 500＋591＝2 091（元）．中位数是1 500元,众数是1 500元．(2)新的平均数是错误!′＝1500＋错误!≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下:(1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2）假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：（1)平均数为错误!（1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2）＝320(件)，中位数为210件,众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额。

【配套K12】2018北师大版高中数学必修三学案：第一章 4 数据的数字特征

学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．知识点一众数、中位数、平均数思考1平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？思考2在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？梳理众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数________的数．(2)中位数：把一组数据按____________的顺序排列，处在________位置的数(或中间两个数的________)叫作这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝________________叫作这n个数的平均数．知识点二方差、标准差思考1当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？思考2标准差、方差的意义是什么？梳理标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种_____________________，一般用s表示．s＝________________________________________________________________________. (2)标准差的平方s2叫作方差．s2＝________________________________________________________________________ (x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为x.知识拓展平均数、方差公式的推广：1．若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a.2．设数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则a．s2＝1n[(x 21＋x22＋…＋x2n)－n x2]；b．数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差也为s2；c．数据ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.知识点三用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征1．样本的基本数字特征包括________、________、________、________.2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的________程度．3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有________性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的________好，这样做就是合理的，也是可以接受的．类型一众数、中位数和平均数的理解与应用例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人，周工资2 200元；高层管理人员6人，周工资均为250元；高级技工5人，周工资均为220元；工人10人，周工资均为200元；学徒1人，周工资为100元．(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．跟踪训练1对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4类型二标准差、方差的应用例2计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)．反思与感悟(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(3)若样本数据都相等，则s＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．跟踪训练2甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．1．某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A．19 B．20 C．21.5 D．232．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．5．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．答案精析问题导学知识点一思考1平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．思考2为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分．梳理(1)最多(2)从小到大(或从大到小)中间平均数(3)1n(x1＋x2＋…＋x n)知识点二思考1当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等．思考2标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．梳理(1)平均距离1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2](2)1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]知识点三1．众数中位数平均数标准差2．分散3．随机代表性题型探究例1解(1)众数为200，中位数为220，平均数为2 200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×11＋6＋5＋10＋1＝300.(2)虽然平均数为300，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平．跟踪训练1A[在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数x＝2×2＋3×6＋6×2＋1011＝4.故只有①正确．] 例2 解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90； ②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3；③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9；④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5； ⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.跟踪训练2 解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13， x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．当堂训练1．B2．A [∵x 1，x 2，…，x 10的平均数x ＝1，方差s 21＝4，且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的平均数y ＝110·(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110·[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4.故选A.]3．6 4.165．解这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5. 这10个学生体重数据的方差为s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.。

高中数学第一章统计 14 数据的数字特征教案1 北师大版必修3 教案

一、教材分析1、教学内容北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第1章《4.数据的数字特征》教学设计.2、内容分析《普通高中数学课程标准》中要求数学学习应倡导教师在学习中起主导作用,而学生是学习的主体,自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式。

提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，本节课将使学生经历数学知识产生的过程性体验，发展学生的数学思维。

《课标》提倡利用信息技术来呈现以往数学学习中难以呈现的课程内容，在教学评价中要求体现评价的多元化。

《课标》中对本节教学内容的要求是：1通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

2、能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

教材通过3个实例的分析，在初中统计学习的基础上理解平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差，对数据的刻画特点，例1目的在于使学生理解不同的人根据需要会选择不同的统计量来说明数据，例2要求学生根据茎叶图的分布特征来估计两组数据数字特征的大小、例3是对标准差计算的复习.动手实践部分意义在于使学生体会一次完整收集数据、整理数据、分析数据、得到统计结论的完整统计活动。

二、学情分析1、基础知识:学生在初中已经学习了平均数、众数、中位数、极差、方差和标准差这几个数字特征，并且会给出一组数据，计算其这几个统计量。

2、学习能力和态度：在基础知识学习的基础上，本节学生要理解各个数字特征的特点,同时理解标准差对数据刻画的优势，并且更进一步理解各数字特征对数据刻画的意义。

三、教学目标１、知识与技能理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

２、过程与方法通过实例，能结合具体情境理解数据标准差的意义和作用，培养学生解决问题的能力，提高学生的运算能力。

３、情感、态度与价值观通过探求反映数据波动情况的统计量，培养学生开放性思维，培养学生的动手操作能力和实践能力。

2018版高中数学北师大版必修三学案第一章+疑难规律方法：第一章+统计+整理版

1例析简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．适用于总体中的个体数较少且抽取的样本容量较小时．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．简单随机抽样中用的是不放回抽取．下面让我们一同来看如下的例题：例1 判断下面的抽样方法是不是简单随机抽样？(1)从不确定个体数的总体中抽取20个个体作为样本．(2)从30瓶果汁中一次性随机抽取3瓶进行质量检查．(3)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．(4)从装有编号为1～36的大小、形状都相同的号签的盒子中逐个不放回地抽出6个号签．分析简单随机抽样的定义，抓住以下特点来理解：①它要求被抽取的样本所在总体的容量确定且有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④每个个体被抽到的可能性是相同的，是等可能抽样．解(1)不是简单随机抽样．因为总体的个体数是不确定的，从而不能保证每个个体等可能入样．(2)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样的定义要求的是逐个抽取．(3)不是简单随机抽样．因为该例是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回地、等可能地进行抽样．点评要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的上述四个特点．例2 若将例1(2)中的字眼“一次性”改为“逐个”，则该例便为简单随机抽样．即从30瓶果汁中逐个随机抽取3瓶进行质量检查．请选用合适的抽样方法，写出抽样过程．分析简单随机抽样分为两种：抽签法和随机数法．当总体容量和样本容量都较小时，可采用抽签法进行抽样．解(1)将30瓶果汁进行编号，号码为1,2,3， (30)(2)将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；(3)将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；(4)从容器中每次抽取一个号签，连续不放回地抽取3次，并记录下上面的编号；(5)所得号码对应的3瓶果汁就是要抽取的样本．点评抽签法(也叫抓阄法)是简单随机抽样的一种方法，一个抽样试验是否能用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被“搅拌均匀”．本题中，总体中个体数(30)较少，制作号签比较方便，并且容易被“搅拌均匀”，所以可以采用抽签法．将例2中的总体容量增大，我们该如何解决呢？比如例3.例3 现在要考察某公司生产的2.5 L的果汁质量是否达标，欲从400瓶果汁中抽取6瓶进行质量检查．请选用合适的方法抽样，并写出抽样过程．分析当总体容量较大，而样本容量较小时，因制签麻烦，故不宜用抽签法，可采用随机数法．解选用随机数法．步骤如下：第一步，先将400瓶果汁编号，可以编为001,002， (400)第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，比如第6行第1个数，取出072作为抽取的6瓶果汁中的第一个代号(见课本后的附表随机数表)；第三步，继续向右读，每次读取三位，凡不在001～400中的数或重复的数跳过去不读，取到末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去直到得出在001到400之间的6个三位数，分别为072,170,133,199,291,105；第四步，找出与072,170,133,199,291,105对应的果汁作为样本．点评当总体中的个体较多，制作号签比较复杂，并且把号签搅拌均匀比较困难时，可以选择使用随机数法，本题将个体编号的位数统一为3位．使用随机数法应注意以下两点：(1)随机数法要求对个体编号且每个个体的号码位数必须相同．如对100个个体编号时应从00编到99(或者从001编到100)，而不能用1,2，…，100.可见在总体中的个体进行编号时要视总体中个体的数目而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码．(2)选定开始读的数后，读数的方向可左、可右、可上、可下，即任意方向均可．读数的方向不同可能导致不同的结果，但这一点不影响样本的公平性和合理性.2系统抽样题型全析在三种随机抽样中，系统抽样是较为重要的一种．当总体中的个体数较多时，可将总体分成均匀的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，又称等距抽样．在抽样调查中，由于系统抽样简便易行，所以应用普遍．下面举例说明系统抽样的常见题型．一、系统抽样的选取问题例1 某商场想通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样分析上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n (n ∈N ＋)号，符合系统抽样的特点．答案 C点评将总体分成均匀的几部分，按照预先定出的规则在各部分中抽取是系统抽样的常用步骤．二、间隔问题例2 为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为________．分析要抽取n 个个体入样，需将N 个编号均分成n 组．(1)若N n 为整数，则抽样间隔为N n；(2)若N n 不是整数，则先剔除多余个体，再均分成n 组，此时抽样间隔为[N n]．解析根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k ＝1 20030＝40. 答案 40点评将总体号码平均分组时，应先考虑总体容量N 是否能被样本容量n 整除．三、抽取的个数问题例3 为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )A ．2B ．4C ．5D ．6分析因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．答案 A点评 (1)用系统抽样法抽取多少个个体就需将总体均分成多少组；(2)当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要剔除个体．需要注意的是，即使是被剔除的个体，被抽到的机会和其他个体也是一样的．四、综合问题例4一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码(即在第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k 的后两位数)．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取的10个号码中某个数的后两位数是87，求x的取值范围．分析按系统抽样的规则计算求解．解(1)所分组为0～99,100～199，…，900～999共10组，从每组中抽一个，第0组取24，则第1组取100＋(24＋33×1)＝157，依次错位地从每组中取出，所取的号码为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)①若抽取的样本为两位数，当k＝0，取得号码为87时，x＝87；②若抽取的样本为三位数，则87为x＋33k(k＝1,2，…，9)的后两位数．如当k＝5时，x＋33×5＝□87，可以求出x＝22，这样令k取不同的值可以求得x的值分别为：21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.综上：x∈{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．点评本题是系统抽样法的逆向综合问题，体现了知识间的联系和数学思想的运用.3辨析分层抽样的解题方法若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本．这种抽样方法就是分层抽样．分层抽样尽量利用事先掌握的信息，并充分考虑了保持样本结构和总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是很重要的．一、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，层面之间的样本差异要大，且互不重叠．即遵循不重复、不遗漏的原则．(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．即所有层应采用同一抽样比等可能抽样．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．二、一般地，分层抽样的操作步骤：第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数应当调节样本容量，剔除个体．三、分层抽样的优点使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．下面举例解析分层抽样的方法．例1某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20.答案3720点评简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的．例2某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36解析设老年职工人数为x，则2x＋x＋160＝430，所以x＝90，因此，该单位老年职工共有90人，样本中老年职工人数为90×32160＝18，所以用分层抽样的比例应抽取该样本中的老年职工人数为18.答案 B点评分层抽样要正确计算各层在总体中所占的比例，每层采用简单随机抽样法．分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌握的各种信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使样本更具代表性，在实际调查中被广泛应用.4浅析3种抽样方法的合理选取一、简单随机宜少量例1 据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴这10个城市．某天文小组从这10个城市中随机抽取4个城市进行观测，宜采用的抽样方法是______________，每个城市被选中的可能性是______________．解析由于总体中个体数目较少，所以宜采用简单随机抽样的方法进行抽样．每个城市被选中的可能性均相等，均为410＝0.4.答案简单随机抽样0.4点评本题中个体总数较少，使用简单随机抽样中的抽签法即可．可以直接把10个城市名分别写在10个大小相同的纸条上，将纸条放在一个盒子里摇匀，逐个随机抽出4个即可．在整个抽样过程中可以保证每个个体被抽到的可能性相等，也可以进一步计算出相应的值．二、差别明显选分层例2 网络上有一种“QQ农场”游戏，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了解某小区不同年龄层次的居民对此游戏的态度(小区中居民的年龄具有一定的差别)，现从中抽取100人进行调查，结果如下表：请问随机抽取这100人较合理的抽样方法是________，调查结果得出后，若想从这100人中再选取20人进行座谈，较合理的抽样方法是____________．若这个小区共有2 000人，则每个人被抽到参加座谈的可能性为______．解析因为小区居民的年龄存在明显差异，故抽取这100人宜采用分层抽样．根据调查结果，有三种明显不同的态度，因此，选取20人参加座谈，也宜采用分层抽样．在整个抽样过程中，每个人被抽到的可能性是相同的，均为202 000＝0.01.答案分层抽样分层抽样0.01点评分层抽样的过程是先把有差别的个体进行分层，在每一层中可以采用简单随机抽样或系统抽样的方法，这样也能保证每个个体被抽到的可能性相同．三、大量抽取选系统例3 2017年春节来临之际，某超市进行促销活动，为购买商品顾客分发了编号为0000～9999的奖券，超市计划从中抽取100张作为中奖号码，较合理的抽样方法是__________，每张奖券中奖的可能性为________．解析由于奖券数量较大，有10 000张奖券，所以宜采用系统抽样方法进行抽取．在抽样过程中，每张奖券被抽到的可能性是相等的，均为10010 000＝0.01.答案系统抽样0.01点评当总体中个体数目较多时，首先把个体编号，进行平均分组(若不能整除，则随机剔除多余的个体)，然后采用简单随机抽样的方法从第一组中抽取一个个体，即可知道应抽取的其他编号的个体.5频率分布图中的统计问题分类解析频率分布直方图将数理统计的数据直观化、形象化．关于统计一般可分为三步，第一步抽样，第二步根据抽样所得结果，画成图形，第三步根据图形，分析结论．在第二步中可画成两种图形，一个是频率分布直方图，另一个是频率分布条形图，两者有很大的不同，前者是以面积表示频率，频率分布条形图是以高度表示频率．下面就频率分布图中的统计问题分类解析．一、求样本中限制条件下的个体所占频率例1观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700,3 000)的频率为()A．0.001B．0.1C．0.2 D．0.3解析由直方图的意义可知，在区间[2 700,3 000)内取值的频率为(3 000－2 700)×0.001＝0.3. 答案 D点评频率为相应直方图的面积，即频率＝纵坐标×横坐标差的绝对值．二、求样本中限制条件下的个体的频数例2某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布条形图如图所示．若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为________．解析由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130～140分数段的频率为p ，则0.45＋0.25＋0.15＋0.10＋p ＝1，即0.95＋p ＝1，则p ＝0.05.设该样本总体共有n 个学生的分数，且设90～100分数段的人数为x ，则由频率概念得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.05×n ＝90，0.45×n ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1 800，x ＝810，故90～100分数段的人数为810. 答案 810点评本题是频率分布条形图．由于各分数段的人数与频率成正比，则可由x 90＝0.450.05，求出x ；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆．例3 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．解析由直方图可得[2 500,3 000)(元)月收入段共有10 000×0.000 5×500＝2 500(人)，按分层抽样应抽出2 500×10010 000＝25(人)．答案 25点评先求频数，频数＝频率×样本容量，再按比例进行抽样．三、求频率分布直方图中的参数问题例4 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图如图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83解析注意到纵轴表示频率组距，由图像可知，前4组的公比为3，最大频率a ＝0.1×33×0.1＝0.27，设后六组公差为d ，则0.01＋0.03＋0.09＋0.27×6＋5×62·d ＝1，解得d ＝－0.05，即后四组频率的公差为－0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为(0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78，故选A.答案 A点评解答本题关键是要利用直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系.6 学习变量的相关关系的注意点一、相关关系不一定是因果关系函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，它仅是一种伴随关系．例1 下列各组关系中，不属于相关关系的是( )A ．降雪量与交通事故的发生之间的关系B ．正方体的体积与棱长之间的关系C ．日照时间与小麦的亩产量之间的关系D ．人的身高与体重之间的关系解析选B ，正方体的体积与棱长之间的关系是一种确定的函数关系．答案 B点评本题易错选D.在人的身高与体重之间确实具有相关性，但人有胖瘦，所以，人的身高与体重之间没有因果关系，但有相关关系．二、注意区分回归方程中a 、b 的意义线性回归方程为y ＝bx ＋a ，其中b 是回归系数，而一次函数的习惯写法为y ＝ax ＋b ，不要把它们混淆了．另外，对于线性回归方程y ＝bx ＋a 有a ＝y －b x ，即y ＝b x ＋a .例2 一蚊香销售公司进行了一次市场调查，并统计了某品牌电热蚊香片的销售单价x (元/盒)与平均日销量y (盒)，得到如下的数据资料：若由相关资料知，y 与x 呈线性相关关系．试求y 与x 的线性回归方程．解由表中数据知x ＝16.8，y ＝29.8， ∑i ＝15x i y i ＝2 099，∑i ＝15x 2i ＝1 558，∴b ＝2 099－5×16.8×29.81 558－5×16.82≈－2.75， a ＝y －b x ＝29.8＋2.75×16.8＝76.所以所求的线性回归方程为y ＝－2.75x ＋76.点评在写回归方程时，容易误写为y ＝76x －2.75，其原因是求出a 、b 后，把回归方程公式y ＝bx ＋a 中的a 、b 位置搞错了．三、注意建立回归方程的前提条件当数据之间具有线性相关关系时才可以求回归方程．若数据之间不具有线性相关关系，即使用最小二乘法求出了回归方程，其回归方程也是没有实际意义的，不能用来作为估计的根据．所以求回归方程前一定要判断两个变量是否线性相关．例3 下表给出了x ，y 之间的一组数据：变量x ，y 之间是否具有相关关系？若有，求出线性回归方程．解画出变量x ，y 的相关数据对应的散点图如图所示：由散点图可以看出，各点并不在一条直线附近，所以变量x ，y 之间不具有线性相关关系，不能用回归直线进行拟合，即使用样本数据求得回归方程也是没有意义的．点评此题易产生如下错解，求得b ＝0，a ＝1.5，所以线性回归方程为y ＝1.5.产生错解的原因是没有考察变量x ，y 之间是否具有相关关系．。

高中数学北师大版必修3教案-4_数据的数字特征

教学准备1. 教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。

23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。

2. 教学重点/难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。

教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。

3. 教学用具4. 标签教学过程（一）课题引入数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。

（二）探求新知请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。

平均数：平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标。

它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据。

众数：众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量；注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以不止一个或者没有。

中位数：中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心。

2018年数学同步优化指导北师大版必修3课件：1-4 数据

答案：(1)B (2)11
极差、方差、标准差的计算
将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则 7 个剩余分数的方差为( 116 A． 9 C．36
)
36 B． 7 6 7 D． 7
1 解析：去掉的最高分为 99，最低分为 87，由题意7(87＋94 1 ＋91×2＋90×2＋90＋x)＝91.∴x＝4，剩余 7 个数的方差为7 36 [(87－91) ＋(94－91) × 2＋(90－91) × 2＋(91－91) × 2] ＝ 7 . 答案：B
(2)已知样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数－ x ＝5，则数据 2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1 的平均数为________．
解析：(1)去掉一个最高分和一个最低分后， 1 － x 甲＝5(81＋85＋85＋84＋85)＝84， 1 － x 乙＝5(84＋84＋86＋84＋87)＝85.∴－ x 甲＜－ x 乙． (2)由样本数据平均数的性质，得 2x1＋1,2x2＋1，…，2xn ＋1 的平均数为 2－ x ＋1＝2×5＋1＝11.
1．(1)如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0～9 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为－ x 甲，－ x 乙，则一定有( A．－ x 甲＞－ x乙 )
B．－ x 甲＜－ x乙 C．－ x 甲＝－ x乙 D．－ x 甲，－ x 乙的大小不确定
(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；
(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？

高中数学第一章统计 14 数据的数字特征教案2 北师大版必修3 教案

平均数、中位数、众数、极差、方差一、教学教法分析1、教学目标：【知识与技能】（1）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、方差），并做出合理的解释。

（2）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特。

（3）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

【过程与方法】通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度。

【情感、态度与价值观】通过本节的学习，感受数据的数字特征的意义和作用，从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的信息能力。

2、重点难点【重点】会求一组数据的平均数、方差【难点】方差在实际问题的应用3、教学方法探究法二、课堂互动探究【课前自主导学】知识1：众数、中位数、平均数1．众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一．2．中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．它不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．3．平均数样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，它与每一个样本数据有关，仅有一个．【问题导思】由初中知识，你能完成下列填空吗？（1）、已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_______（2）已知样本数据x1， x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________知识2：极差、方差极差：一组数值中最大值与最小值的差，它反映一组数据的波动情况，但极差只考虑两个极端值，可靠性极差方差：考查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差。

【课堂探究】类型1：众数、中位数、平均数的计算与应用例1：为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A药， B药）的疗效，随机地选取 40位患者服用药，20 位患者服用 A药，20 位患者服用 B药,这 40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：服用A 药的位患者日平均增加的睡眠时间：服用 B药的位患者日平均增加的睡眠时间：（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据用茎叶图表示，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【规律方法】平均数受数据中的极端值影响较大，它的可靠性不如众数和中位数，这三个数据是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势变式训练：某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如图：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分众数及平均数分别是多少；；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．例2：甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．【规律方法】方差越小，样本数据越稳定，波动越小；方差(标准差)越大，样本数据越不稳定，波动越大．变式训练：1、某车间20名工人年龄数据如表：年龄(岁)工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.2、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

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