信号与系统-第2章 连续信号与系统的时域分析

这类函数的数学定义不是象普通函数
那样，由对应于自变量的变化值所取的函 数值来定义，而是由它对另一个函数（常 称为测试函数）的作用效果来定义的，也 就是说，不是用它“是”什么来定义，而 是用它能“做”什么来定义的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)dt
(0)
（2.1-4）
任意函数x(t)与单位冲激函数(t)卷积 的结果仍然是本身，根据式（2.3-3）和卷 积的定义，有

x( ) (t t1) d x(t t1) （2.5-17）

由此可见任意函数x(t)与一个延迟时间 为t1秒的单位冲激函数(t-t1)的卷积，只是 使x(t)在时间上延迟了t1，而波形不变。
2.5.1 卷积代数
通常，卷积积分与代数中的乘法运算 性质相类似。
（1）卷积运算满足交换律 （2）卷积积分满足分配律 （3）卷积积分满足结合律
2.5.2 卷积的微分与积分
上述卷积代数运算的规律与普通乘法 类似，但卷积的微分或积分运算却与普通 两函数的乘积的微分、积分运算不同。
（1）卷积的微分性质 （2）卷积的积分性质 （3）卷积的微积分性质
y(t) x( )h(t )d（2.3-13）

若t<t1时，x(t)=0，而t<t2时，h(t)=0， 式（2.3-10）积分上,下限为
t t2
y(t) x( )h(t )d （2.3-14）
t1
更一般的确定卷积积分的积分限的方 法将在下一节中进一步进行分析讨论。
这一性质称为重现特性（replication property）。
2.5.3 卷积的时移
若 y(t) x(t) h(t) ， 则
x(t) h(t t0 ) x(t t0 ) h(t) y(t t0 ) (2.5-22)
2.6 卷积的数值计算
卷积积分除通过直接积分或查表的方 法进行求解外，还可以利用计算机求解， 这就是卷积积分的数值计算。
2.1.2 冲激函数的性质
作为广义函数，冲激函数除了式（2.14）和式（2.1-16）所描述的取样性质（或 称筛选性质）外，还具有如下常用性质：
1.加权特性 2.单位冲激函数为偶函数 3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数 4.尺度变换 5.冲激函数的导数及其性质
单位冲激函数及其各阶导数和积分是 一族最常用的奇异函数。
卷积的图解能够直观地理解卷积积分 的计算过程。
卷积的图解归纳起来有下列五个步骤： 1. 换元：将和中的变量t更换为变量τ； 2. 折叠：作出相对于纵轴的镜象；
3. 位移：把平移一个t值；
4. 相乘：将位移后的函数乘以；
5. 积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的 卷积值。
由于卷积积分的计算步骤包括换元、
2. 先计算系统的阶跃响应s(t)，然后利用冲 激响应和阶跃响应的关系计算冲激响应 h(t) 。
3. 从系统的微分方程求解冲激响应。
2.3 信号的时域分解和卷积积分
上一节讨论了系统对于单位冲激信号 这一特殊激励下的零状态响应，本节将研 究任意波形信号可以分解为连续的冲激信 号之和，以及任意信号作用下的零状态响 应问题，进而说明卷积积分的物理意义。
2.3.1 信号的时域分解
任意波形的信号可以分解为连续的加 权冲激信号之和。
任意波形的信号也可以分解为无限多 个连续的加权阶跃信号之和。
2.3.2 零状态响应---卷积积分
任意波形信号作用于线性系统引起 的零状态响应，为

y(t) x( )h(t )d （2.3-10）
式（2.3-10）是卷积积分的一般形式， 当与受到某种限制时，其积分上、下限会 有所变化。
2.2 系统的冲激响应
线性时不变时间系统的单位冲激响应， 是指系统初始状态为零，激励为单位冲激 信号作用下的响应，简称冲激响应，用 h(t) 表示。
它反映了系统的特性，同时也是利用 卷积积分进行系统时域分析的重要基础。
1. 对于简单电路，直接计算该电路在单位 冲激信号作用下的零状态响应，即可求得 冲激响应h(t) 。
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
上一节讨论了一般形式的卷积积分， 以及x(t)和h(t)均为有始函数时积分上下限 的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两 者或两者之一是分段定义的函数时，图解 能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.1 卷积的图解
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.1
冲激函数及其性质
2.2
系统的冲激响应
2.3 信号的时域分解和卷积积分
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.5
卷积积分的性质
2.6
卷积的数值计算
2.1 冲激函数及其性质
2.1.1 冲激函数
冲激函数是对于集中于一个瞬间（或 一点）出现的物理量的一种理想描述。
单位冲激函数的工程定义:
折叠、位移、相乘与积分，故卷积也称为 褶积或卷乘等。
2.4.2 卷积的另一种计算方法
如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 连续的函数时，采用式（2.3-14）进行卷积 计算也是一卷积积分具 有某些特殊的性质。
利用这些性质可使卷积运算大为简化。

(t)

0
t0 t 0
和

(t)dt 1

单位冲激函数的工程定义直观地反映 了它出现时间极短和面积为1两个特点。
从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看 出，不是通常意义下的函数。
人们将这类非常规函数称为广义函数 （generalized function），或称分配函数 （distribution function）。
若t<t1时，x(t)=0，式（2.3-10）中 的积分下限应从t1开始，式（2.3-10）应 表示为

y(t) x( ) h(t )d （2.3-12）
t1
相反，若x(t)不受此限，而t<t2时， h(t)=0，积分上限应取t-t2 ，式（2.3-10） 应表示为
t t2