2019高考数学二轮专题复习小题提速练五文

小题提速练(五)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2
，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1} C ．∅
D ．{－1}
解析：选D.∵A ＝{x |x ＝m 2
，m ∈U }＝{0，1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D. 2．已知复数z ＝10
3＋i －2i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝( )
A ．2 3
B ．2 2
C ．3 2
D ．3 3
解析：选C.复数z ＝3－i －2i ＝3－3i ，则|z |＝32，故选C. 3．已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.充分性：若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要而不充分条件，故选B.
4．已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1，则(OD →－OA →)·(BA →＋BC →
)＝( ) A. 3 B ．12 C ．2
D ．1
解析：选D.(OD →－OA →)·(BA →＋BC →)＝AD →·BD →
＝1×2×cos 45°＝1.
5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD ­A
1B 1C 1D 1(底面
ABCD 是正方形，侧棱AA 1⊥底面ABCD )中，点P 是正方形A 1B 1C 1D 1内一点，
则三棱锥P ­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )
A.3
2 B ．1 C ．2
D ．54
解析：选A.由题易知，其正视图面积为1
2
×1×2＝1.当顶点P 在底
面ABCD 上的投影在△BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，最小值为S △BCD ＝1
2
×1×1
＝12，所以三棱锥P ­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋12＝3
2
，故选A. 6．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则m ＝x －y 的
最小值为( )
A ．－1
B ．1
C ．4
D ．0
解析：选D.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0
所表示的平面区域为图中阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝x －m 经过点B 时，m 取
得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，3x ＋y －8＝0可得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝2，故B (2，2)．将点B (2，2)代入目标函数m ＝x －y ，得m ＝0.故选D.
7．执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x
的值为( )
A.3
4 B ．78 C.1516
D ．4
解析：选B.i ＝1，x ＝2x －1，i ＝2；x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3；x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4，退出循环．此时8x －7＝0，解得x ＝7
8，故选
B.
8．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2
＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2
，化简得：勾2
＋股2
＝弦2
.设勾
股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A ．866
B ．500
C ．300
D ．134
解析：选D.设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2
，小正方形的面积为(3－1)2a 2
，所以小正方形与大正方形的面积比为（3－1）2
4＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32×1
000≈134.
9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的最小正周期为π，则函数f (x )的一个单调递增区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，5π6
解析：选 A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∵最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由－π2＋
2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得，－5π12＋k π≤x ≤π
12
＋k π(k ∈Z )，故选A.
10．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )＞2的解集为( )
A ．(2，＋∞)
B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)
解析：选B.因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )＞2＝f (1)⇔f (|log 2x |)＞f (1)⇔|log 2x |＞1⇔log 2x ＞1或log 2x ＜－1⇔x ＞2或0＜x ＜1
2
.故选B.
11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右顶点分别为A ，B ，
点P 是双曲线上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，则k PA ·k PB ＝( )
A ．1
B ．
22
C.36
D ．3
解析：选A.由双曲线的离心率为2得b ＝a ，所以双曲线的方程可化为x 2
－y 2
＝a 2
，左顶点A (－a ，0)，右顶点B (a ，0)，设点P (m ，n )(m ≠±a )，则直线PA 的斜率k PA ＝n
m ＋a
，直
线PB 的斜率k PB ＝
n
m －a
，所以k PA ·k PB ＝
n 2
m 2
－a
2
①，又P (m ，n )是双曲线x 2－y 2＝a 2
上的点，所
以m 2
－n 2
＝a 2
，得n 2
＝m 2
－a 2
，代入①式得k PA ·k PB ＝1.
12．锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2
＋c 2
的取值范围是( )
A ．(3，6]
B ．(3，5)
C ．(5，6]
D ．[5，6]
解析：选C.由(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，及正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )
＝(c －b )c ，即b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π2，∴A ＝π3
.∵a
＝3，∴b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝33
2
＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∵C ＝π－B －π3＝
2π
3－B ，∴b
2
＋c
2
＝4(sin 2B ＋sin 2
C )＝4⎣
⎢⎡⎦
⎥
⎤sin 2B ＋sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝
4⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1－cos 2 B
2＋
1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2B 2 ＝4＋2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3－cos 2 B
＝4－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6， ∵在锐角△ABC 中，0＜B ＜
π2，0＜C ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π
6
， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴b 2＋c 2
∈(5，6]，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x ≤1，
f （x －1），x ＞1，则f (f (3))＝________．
解析：∵f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝f (1)＝21
＝2. 答案：2
14．若tan θ＝－3，则cos 2
θ＋sin 2θ＝________．
解析：cos 2
θ＋sin 2θ＝cos 2
θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝1＋2tan θtan θ＋1＝1－69＋1＝－1
2
. 答案：－1
2
15．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2
5，a 2＝1，则a 1＝________． 解析：∵a 3·a 9＝a 2
6，∴a 2
6＝2a 2
5，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2
＝2，由于q ＞0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q
＝
12
＝
22
. 答案：
22
16．已知三棱锥S ­ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积为________．
解析：将三棱锥S ­ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S ­ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S ­ABC 的外接球，所以三棱锥S ­ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2
＋SC 2
＝10，即三棱锥S ­ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2
＝100π.
答案：100π。