重庆市南岸区2016_2017学年高一数学下学期期中试题理

重庆市南岸区2016-2017学年高一数学下学期期中试题 理
考试时间：120分钟 总分：150分
今天努力学习的你,是为将来要想读懂“自然界这本用数学语言写成的伟大的书” 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（ ）
A.写下对定理或公式的验证方法 B .把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来
C .用自己的语言来表述，不能照抄书上的
D .把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上 2.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量)3,4(=CA ，则向量BC =（ ） A. (7,4)-- B .(7,4) C .(1,4)- D .(1,4)
3. 已知向量a ，b 满足||a =1，|b |=2，(3)a b -⊥(+)a b ，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为（ ） A.
14 B .12 C .21- D .4
1
- 4. 已知等比数列{}n a 中，3a ，7a 是方程2
890x x -+=的两个根，则5a 等于（ ） A.3 B .3- C . 3或3- D . 3或3-
5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，若该匹马继续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总路程为（ ）
A ．350里
B ．1050里
C ．
32175里 D ． 32
575
里 6.已知等差数列{}n a , 公差0>d ，前n 项和为n S ，若()OC a OA a OB 941++=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），n S 取最小值时=n （ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．13 7. 在△ABC 中，若2
222
2222a c b b c a b a -+-+=，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 8.已知数列{}n a 的前n 项和()
*∈+=N n p a S n n
2,若315=S ,则实数p 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．-1
D ．-2
9.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论不正确的是（ ）
A 2=b
B ．1-=•
C 7=
+b a D ．()
⊥+4
10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S 都是等差数列，且公差相等，则2S = ( )
A ．
34 B ．1 C ．43 D ．12
11. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c , C 为B A ,的等差中项 , 若3c =且sin sin 26sin A B A B +=，则ABC ∆的面积为( )
A ．
338 B ．2 C ．3
2
D ．334 12. 2017年禽流感来袭，某人感染禽流感住院，入院时经检查发现体内有m 个病毒粒子，并不在增加，根据临床治疗的结果显示，第一次治疗杀死体内一半加一个病毒粒子，第二次治疗杀死体内剩余一半加一个病毒粒子，第三次治疗杀死体内剩余一半加一个病毒粒子，以后每次按此规律，若病人治疗()3≥k k 次恰好杀死所有病毒粒子，则m 的值可表示为( )
A ．数列{}k
2
第k 项 B ．数列{}k
2前k 项的和 C ．数列{}k k
+2第k 项 D ．数列{}12+k
前k 项的和
阅读能力是各种能力中最基本的能力,一切解题的根本方法源于对问题的解读能力. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
= ．
14．O 为ABC ∆的外心，D 为AC 的中点，6AC =，DO 交AB 边所在直线于N 点，则AC CN ⋅的值为 .
15. 《写给全人类的数学魔法书》第3部——遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路，解题思路6“相对比较”中有这样一道例题.我们把数列中相邻两项的差恰好构成等差数列的
数列称为差分数列。

那么该差分数列,16,11,7,4,2,1……的第100项的数字为 . 16. 有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos
2
A ＋C
2
＝(2－1)cos B ，________，求角A .
经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整
数学阅读能力的提高不能简单的依靠“阅题无数”
三、解答题: 本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤 17. (本小题满分10分, （I ）小问5分，（Ⅱ）小问5分)
已知()t a ,1=，(3,2)b =-且1=•b a ，求当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直 （Ⅱ）ka b +与3a b -平行
18.(本小题满分12分, （I ）小问6分，（Ⅱ）小问6分)
在平面直角坐标系xOy 中有一△ABC ，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知坐标原点和顶点B 重合，且满足.cos cos 2cos A c A b C a -=
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝23，顶点A 的坐标为A (2，2)，求△ABC 的面积．
19. (本小题满分12分, （I ）小问4分，（Ⅱ）小问8分)
设数列{}n a 的前n 项和42
2
-=+n n S ，数列{}n b 满足n a n b n
n +=4log 1
．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20. (本小题满分12分, （I ）小问6分，（Ⅱ）小问6分)
设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，递增等比数列{}n b 的公比为q ． 已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n
n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ．
21. (本小题满分12分, （I ）小问6分，（Ⅱ）小问6分)
在△ABC 中，a ，b ，c ，分别为角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝ (sin B,1－cos B )与向量n ＝(0,1)的夹角为
6
π
. （Ⅰ）角B 的大小；（Ⅱ）求
b
c
a +的取值范围．
22. (本小题满分12分, （I ）小问4分，（Ⅱ）小问8分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝pa n －2n ，n ∈N *
，其中常数p >2. （Ⅰ）证明：数列{a n ＋1}为等比数列；
（Ⅱ）若a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋1)(n ∈N *
)，在b k 与b k
＋1
之间插入2
k －1
(k ∈N *
)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }
的前m 项的和T m ＝2 017？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．
数学试题卷（理科）答案
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的． 题
号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
D
A
A
B
C
A
D
C
C
B
D
B
二、填空题（每小题5分，共20分） （13）
32
； （14）18； (15)4951； （16）2
2
6+=c . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.解: 2=t ………2分 19=k ………6分 3
1-=k ………10分
18．解:0
60=A ………6分 32=S ………12分
19.解:1
2+=n n a ………4分 ()2
112+++=
n n n n T n ………12分 20．解：（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即11
2920,
2,a d a d +=⎧⎨=⎩
解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
(舍去) 故1
21,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩………6分 （Ⅱ）由21n a n =-，12n n b -=，故1
21
2n n n c --=
，于是 234
1357921
122222n n n T --=+
+++++
， ① 234511357921
222222
2n n
n T -=++++++
. ② ①-②可得22
1111212323222
222n n n n n n T --+=+++
+
-
=-，故n T 1
23
62
n n -+=-.………12分
21. 解：(1)1－cos B ＝2－2cos B ×
32，1－cos B ＝32
， ∴cos B ＝－12 ∵0<B <π，∴B ＝2π
3
.………6分
(2)由正弦定理得，a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝2
3
＝
2
3(sin A ＋32cos A －12sin A )＝23
sin(A ＋π
3)
∵0<A <π3， ∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin(A ＋π
3
)≤1，
∴1<a ＋c b ≤233，故a ＋c b 的取值范围为(1，233
]．………12分 22.
解 (1)∵2S n ＝pa n －2n ， ∴2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)，两式相减．
∴2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2， ∴a n ＋1＝
p p －2a n ＋2
p －2
，
∴a n ＋1＋1＝p
p －2(a n ＋1)， ∵2a 1＝pa 1－2，且p ＞2，∴a 1＝2
p －2
＞0，∴a 1＋1＞0， ∴
a n ＋1＋1a n ＋1＝p p －2
≠0， ∴数列{a n ＋1}为等比数列．………4分 (2)由(1)知a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n ， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫p p －2n －1(n ∈N *)
又∵a 2＝3，∴⎝
⎛⎭
⎪⎫p p －22－1＝3， ∴p ＝4，∴a n
＝2n －1. ………6分 (3)由(2)得b n ＝log 22n
，即b n ＝n ，(n ∈N *
)， 在数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是： (1＋2＋3＋…＋k )＋(20
＋21
＋22
＋…＋2
k －2
)×2＝
k k ＋1
2
＋2k
－2. ………8分
当k ＝10时，其和是55＋210
－2＝1 077＜2 017， 当k ＝11时，其和是66＋211
－2＝2 112＞2 017， 又∵2 017－1 077＝940＝470×2，是2的倍数， ∴当m ＝10＋(1＋2＋22
＋…＋28
)＋470＝991时，
T m ＝2 017，
∴存在m ＝991，使得T m ＝2 011. ………12分。