人教版高三数学下学期导数及其应用多选题单元 期末复习测试综合卷学能测试试题

一、导数及其应用多选题
1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）
A ．cos 2
x x π
+<
B ．22x
x <
C ．22
sin 2
4
x x x >+ D ．1
ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，即可得sin 22x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，()2
24
x h x x =
+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+， 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+ ()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数， 令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2
4
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出
函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
2．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
3．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x
在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点 C
．(2)f f f <<
D ．若21
()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，则2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
431ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x
在x =
1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x
在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x
在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x
在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x
在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>
>
(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x >-在(0,)+∞上有解，故221ln 1
()x k f x x x +<+=有解，
所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x +=，则32ln 1
()x g x x --'=，
令()0g x '=，解得x
=
当x
>
()0f x '<，故()f x 在
)+∞上为单调递减函数． 当0x
<<
时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()
22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
，
令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e
，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2
(4)41f e -<--，故D 正确,
故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
5．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；
（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）
A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =
B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2
:1C y x =+
C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =
D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】
分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，由3
y x =，可得2
3y x '=，则0
0x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，
当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧，
A 选项正确；
对于B 选项，由()2
1y x =+，可得()21y x '=+，则1
0x y =-'
=，
而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；
对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则0
1x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos x
y x x ==
，可得2
1cos y x
'=，0
1x y ='=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()222
1sin 10cos cos x
g x x x
=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减.
当02
x π
-
<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；
当02
x π
<<
时，()()00g x g <=，即tan x x <.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.
6．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>， 当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误；
对于D ，
函数()f x 和()h x 的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e
y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
7．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有
一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''
是
()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【答案】ABC 【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
故选：ABC. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
8．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x +++
+的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若163
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD
【分析】 求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.
【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x x
f -+=-+='， 则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a
=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=-
-， 所以()()121212x x x x f x f x +++
+的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确； 当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()f x 在14
x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.
【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
9．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x
'<
，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()2f e >
B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．()1,x e ∀∈，()2f x <
D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+>
⎪⎝⎭- 【答案】BCD
【分析】
令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x
'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x
'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减，
(1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，
对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；
以B ，111(1)()110e F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 正确；
对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+， (1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；
对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭
， 1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭
，故D 正确；
【点睛】
根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.
10．已知函数()21,0log ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点
C ．当0k >时，有4个零点
D ．当0k <时，有1个零点 【答案】CD
【分析】
令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，
①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，
∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，
由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，
即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．
②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，
由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．。