四川省遂宁市2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

四川省遂宁市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数z 满足1i z =-，则z 的共轭复数的虚部为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．i -
D ．i
2．双曲线2
212
y x -=的渐近线方程为（ ）
A ．y x =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =± 3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）．
A ．12.25%
B ．11.25%
C ．10.25%
D ．9.25% 4．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆ2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量度数约为（ ）
A ．64
B ．65
C ．68
D ．70
5．设p ：实数a ，b 满足1a >，且1b >；q ：实数a ，b 满足21
a b ab +>⎧⎨>⎩；则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．二项式()
()1n x n N *+∈的展开式中2x 项的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7 7．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”
B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题
C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题
D ．“22x x ax +≥在[]
1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立 8．设函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数a 的取值范围是( )
A ．e e,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．e ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．()e,-+∞
D ．e e,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
9．设点F 和直线l 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B C D 10．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数()321233g x x x =
+-在区间(),5c c +上存在最大值，则a b c -+的最大值为（ ）
A ．-6
B ．-9
C ．-11
D ．-4
11．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的
中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值
为（ ）
A ．
B ．2
C
D ．1
12．定义在[,)t +∞上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，
存在()1212,x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[,)t +∞上的
“追逐函数”.若2()f x x =，则下列四个命题：①()21x g x =-是()f x 在[1,)+∞上的
“追逐函数”；②若()ln g x x m =+是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”，则1m =；③1()2g x x
=-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；④当m 1≥时，存在t m ≥，使得()21g x mx =-是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ） A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
二、填空题
13．已知复数12(z i i i ⋅=-是虚数)，则复数z 的模等于__________.
14．抛物线214
y x =的焦点坐标是______． 15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．
16．若函数22cos ()1
x f x x m x m x =-+++有且只有一个零点，,A B 是222O x y m +=-：上两个动点（O 为坐标原点），且1OA OB =-， 若,A B 两点到
直线34100l x y +-=：
的距离分别为12,d d ，则12d d +的最大值为__________.
三、解答题
17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆22
14924
x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． （2）求顶点在原点，准线方程为4x =的抛物线的方程．
18．已知函数21()2ln (2)2
f x x a x a x =-+-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴.
（1）求实数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间.
19．已知命题p :函数321()3
f x x ax =+对任意1212,()x x x x <均有1212
()()0f x f x x x ->-; 命题: 0x q e a +>在区间[)0,+∞上恒成立. （1）如果命题p 为真命题，求实数a 的值或取值范围；
（2）命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.
20．为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，
期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）
（1）由以上统计数据填写下面的2×
2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X ，求X 的分布列和期望． 参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 临界值表
21．椭圆长轴右端点为A ，上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且
21MF FA ⋅=，离心率为2
. （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l 交椭圆于P 、Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
22．设函数()()2
ln 2f x x a x a a R =-+∈ （1）若函数()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，
上递减，求实数a 的值. （2））讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；
（3）若方程ln 0x x m --=有两个不等实数根12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明121x x <.
参考答案
1．A
【分析】
先求解出z 的共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可.
【详解】
因为1z i =-，所以1z i =+，所以z 的虚部为1.
故选：A.
【点睛】
本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b .
2．B
【分析】
先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据,a b 的值直接写出渐近线方程.
【详解】
因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为a y x b =±
，
又因为1a b =
=，所以渐近线方程为y =.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，若焦点在x 轴上，则渐近线方程为b y x a =±，若焦点在y 轴上，则渐近线方程为a y x b
=±；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的1变为0，由此得到的,x y 关系式即为渐近线方程.
3．B
【分析】 结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为
450200450150
++ ×20%=11.25%，得解．
【详解】
由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为
450200450150
++×20%=11.25%， 故选B ．
【点睛】 本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．
4．C
【分析】 先求解出气温和用电量的平均数,x y ，然后将样本点中心()
,x y 代入回归直线方程，求解出a 的值，即可预测气温为4C -︒时的用电量.
【详解】 因为()10131813834246410,4044
x y +++-+++====，所以样本点中心()10,40， 所以40210a =-⨯+，所以60a =，所以回归直线方程为：ˆ260y
x =-+， 当4x =-时，68y =.
故选：C.
【点睛】
本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心()
,x y .
5．A
【分析】
利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果.
【详解】 当1a >，且1b >时，显然21a b ab +>⎧⎨>⎩
成立，故充分性具备； 反之不然，比如：a=100，b=0.5满足21a b ab +>⎧⎨
>⎩
，但推不出1a >，且1b >，故必要性不具备，所以p 是q 的充分不必要条件.
故选A
【点睛】
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．C
【解析】
二项式()1n x +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r
得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，
故选C ．
【考点定位】二项式定理．
7．B
【分析】
A ．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；
B ．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；
C ．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；
D ．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假.
【详解】
A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；
B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；
C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”，
因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误； D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min
2x a x ⎛⎫+
≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.
8．B
【分析】
函数()2e +x f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，即为()0f x '=在R 上有两个不同的解，
进而转化为两个图像的交点问题进行求解．
【详解】
解：因为函数()2e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点， 所以()0f x '=在R 上有两个不同的解，
即2ax ＋e x ＝0在R 上有两解，
即直线y ＝－2ax 与函数y ＝e x 的图象有两个交点，
设函数()g x kx =与函数()x
h x e =的图象相切，切点为(x 0，y 0)，
作函数y ＝e x 的图象，
因为()x h x e '=
则0x e k =， 所以00000
x x y e k e x x ===， 解得x 0＝1，即切点为(1，e )，此时k ＝e ，
由图象知直线()y g x kx ==与函数y ＝e x 的图象有两个交点时，
有k e >即－2a ＞e ，
解得a ＜e 2-
， 故选B.
【点睛】
本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题．
9．
C
【分析】
取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值． 【详解】
如图所示，取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，
直线l 与线段PF 的交点为A ，因为点P 与F 关于直线l 对称，
则l PF ⊥，且A 为PF 的中点，所以,,22AF b OA a PE AO a ====， 根据双曲线的定义，有2PF PE a -=，则222b a a -=，即2b a =，
所以c e a === 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 10．C 【分析】
利用函数()322
3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，即则'
(1)0,(1)0f f -=-=，解
得,a b ，再利用函数3212
()33
g x x x =
+-的导数判断单调性，在区间(,5)c c +上存在最大值可得74c -<≤-，从而可得a b c -+的最大值． 【详解】
由函数()3
2
2
3f x x ax bx a =+++，则()'
236f
x x ax b =++，
因为在1x =-，处有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，
即2130360
a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得1a =或2a =， 当1a =时，3b =，此时()'
223633(1)0f
x x x x =++=+≥，
所以函数()f x 单调递增无极值，与题意矛盾，舍去； 当2a =时，9b =，此时，()'
23693(1)(3)f
x x x x x =++=++，
则1x =-是函数的极值点，符合题意， 所以7a b -=-； 又因为函数3212
()33
g x x x =
+-在区间(,5)c c +上存在最大值， 因为'
2
()2(2)g x x x x x =+=+，
易得函数()g x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 则极大值为2(2)3g -=
，且()2
13
g =，所以251c -<+≤， 解得74c -<≤-，则a b c -+的最大值为：7411--=-. 故选C ． 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 11．D 【分析】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得121
2
k k =，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得22
11224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得1211212142
2y y k x x y y t t
-====-+，
又由24t k =
，所以1212
k k =， 则2
2
211221k k k k ≥=+
，当且仅当122
k k ==
时取等号， 即22
12k k +的最小值为1.
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 12．B 【分析】
由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及(1)(1)1f g ==，再假设是 “追逐函数”，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案. 【详解】
对于①，可得()2f x x =，()21x
g x =-在[
)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若
()21x g x =-是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，
即21211222log 1x x k x x k -==⇒=+ ，此时当k=100时，
不存在12x x <，故①错误；
对于②，若()ln g x x m =+是()f x 在[
)1,+∞上的“追逐函数”，此时(1)(1)1f g ==，解得
1m =，当1m =时，()2
f x x =，()ln 1
g x x =+在[)1,+∞是递增函数，若是“追逐函数”
则211212ln 1k x x k x x e -=+=⇒==
122k k e k e --<⇒<，
设函数22
22(),()120x x h x x e
h x e ---'=-=<
即22x x e -<，则存在12x x <，所以②正确； 对于③()2
f x x =，()12
g x x =-
在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()12g x x
=-是()f x 在[
)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得
()()12f x g x k ==
成立，即2
11221122x k x x x k
=-
=⇒==- ，当k=4时，就不存在12x x <，故③错误；
对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
()2f x x =，()21g x x =-在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()21g x x =-是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，
即2
1
2121212k x x k x x +=-=⇒==
2
1(1)24
k k k ++<⇒<
取2(1)1
()(1),()1042x x h x x x h x ++-'=->=<
即2
(1)4
x x +<，故存在存在12x x <，所以④正确；
故选B 【点睛】
本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题. 13
【分析】
先根据复数除法计算出z ，然后根据复数模的计算公式计算出z 的模即可. 【详解】
因为12z i i ⋅=-，所以122i
z i i
-==--，所以z ==
【点睛】
本题考查复数的除法计算以及复数模的求解，难度较易.已知复数z a bi =+，所以
z =.
14．(0,1)F 【解析】 抛物线21y x 4=即2x 4y =，2,12
p
p ∴== ，所以焦点坐标为()0,1. 15．60 【解析】
试题分析：每个城市投资1个项目有3
3
43C A 种，有一个城市投资2个有2
1
2
423C C C 种，投资方
案共33
43C A 212423243660C C C +=+=种.
考点：排列组合.
16．4【分析】
根据函数的奇偶性先求解出m 的值，然后根据1OA OB =-判断出AB 中点的轨迹，再根据转化关系将12d d +的最大值转化为圆上点到直线的距离最大值，由此求解出结果. 【详解】
因为2
2cos ()1
x
f x x m x m x =-+
++的定义域为R ，且()()()
()
()2
2
cos 1
x x m x m f f x x x ----+
+=-+-=，所以()f x 是偶函数，
又因为()f x 有唯一零点，所以()00f =，所以1m =-，所以
222O x y +=：，
因为1OA OB =-，所以cos ,1OA OB OA OB <>=-，所以1
cos ,2
OA OB <>=-
，所以2,3
OA OB π<>=
， 设,A B 的中点为M ，111,,AA l BB l MM l ⊥⊥⊥，如下图所示：
所以121112d d AA BB MM +=+=，
又因为1602AOM AOB ∠=
∠=︒，所以122
OM OA ==，所以M 的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为2
r
的圆， 所以当1MM 取最大值时，1M 为过O 垂直于l 的线段与l 的交点，
所以1max 2O l MM d r -=+==+
所以()12max 4d d +=.
故答案为：4【点睛】
本题考查函数奇偶性、圆中的轨迹方程、圆上点到直线的距离最值，属于综合型题型，难度较难.圆上点到一条与圆相离直线的距离最值求解方法：先计算出圆心到直线的距离d ，则距离最大值为d r +，距离最小值为d r -.
17．（1）22
1169x y -
=（2）216y x =- 【分析】
（1）根据题意双曲线方程可设为()22
2210,0x y a b a b
-=>>,可得关于,a b 的方程组，进而求
出双曲线的方程．
（2）根据抛物线的顶点在原点，准线方程为4x =,可设抛物线方程为()2
20y px p =>,从
而可求得抛物线的方程． 【详解】
（1）解:依题意，双曲线的焦点坐标是()()125,0,5,0F F -
故双曲线的方程可设为()22
2210,0x y a b a b
-=>>
又∵双曲线的离心率54
e =
∴
554
a = 解得4,3a
b ==
∴双曲线的方程为22
1169
x y -
= （2）解:∵抛物线的顶点在原点，准线方程为4x = ∴可设抛物线方程为()2
20y px p =>
∵42
p
-
= ∴216p =-
∴抛物线方程为2
16y x =- 【点睛】
本题考查圆锥曲线的综合，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的相关性质，是基础题.解题时需要认真审题.
18．（1）1a =-（2）单调增区间为：()0,1,(2,)+∞ 函数单调减区间为()1,2 【分析】
（1）根据题可知()10f '=，由此计算出a 的值；
（2）写出()f x '并因式分解，讨论x 取何范围能使()()0,0f x f x ''><，由此求出单调递增、递减区间. 【详解】
（1）由题意，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.
2()2a
f x x a x
'=-
+-， (1)1220f a a '=-+-=，
所以1a =-；
（2）由（1）知，1a =-，2232(1)(2)
()+3(0)x x x x f x x x x x x
-+--'=-==>，
当()0,1x ∈时，()0f x '>， 当()1,2x ∈时，()0f x '<， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，
所以函数单调增区间为：()0,1,(2,)+∞；函数单调减区间为：()1,2. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的运用以及求解具体函数的单调区间，难度较易.已知曲线某点处切线斜率求解参数时，可通过先求导，然后根据对应点处切线斜率等于导数值求解出参数. 19．（1）0a =（2）()()1,00,-+∞
【分析】
（1）根据p 为真命题先判断出()f x 的单调性，然后利用()0f x '≥分析a 的取值或取值范围；
（2）先分别求解出,p q 为真时a 的取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断出,p q 的真假，从而求解出a 的取值范围. 【详解】
（1）
121212
()()
0 ()()f x f x x x f x x x -><⇔-在R 上单调递增 则2()20'=+≥f x x ax 对(),x ∈-∞+∞恒成立 ∴2=400a a ∆≤⇒=；
（2）0x e a +>在区间[)0,+∞上恒成立，即x a e >-在区间[)0,+∞上恒成立， 命题q 为真命题：即()
max
x
a e
>-，所以1a >-，
由命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假
若p 真q 假，a φ∈ 若p 假q 真，则()()1,00,-+∞
综上所述，()()1,00,a ∈-+∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据含逻辑联结词的复合命题真假求解参数范围，其中涉及到用分离参数法解决恒成立问题，属于综合型问题，难度一般.（1）注意定义法判断函数单调性的转换：
121212
()()
0 ()()f x f x x x f x x x ->≠⇔-在定义域内单调递增，
121212
()()
0 ()()f x f x x x f x x x -<≠⇔-在定义域内单调递减；（2）根据含逻辑联结词的复合
命题的真假求解参数范围时，注意先判断各命题的真假.
20．（1）有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.（2）见解析. 【分析】
（1）根据以上统计数据填写22⨯列联表,根据列联表计算2K 的观测值k ,对照临界值得出结论；
（2） 由题意知X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列,求期望即可. 【详解】
（1）补充的22⨯列联表如下表：
根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()2
4094161125152020
k ⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>，
所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
（2）X 的可能取值为0，1，2，3，
()3113150C P X C == 16533
45591==， ()21
1143151C C P X C == 22044
45591==， ()12
1143
15
2C C P X C == 66
455=， ()3P X == 3
43154
455
C C =，
所以X 的分布列为
33446644012391914554555
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列与期望问题， 是中档题 ．
21．（1）2
212x y +=；（2）存在直线l ：43
y x =-满足要求.
【分析】
（1）由条件布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由F 为MPQ ∆的垂心可知MF PQ ⊥，利用韦达定理表示此条件即可得到结果. 【详解】
解：
（1）设椭圆的方程为22
221(0)x
y a b a b +=>>，半焦距为c .
则(),0A a 、()0,M b 、,0)F
c （、(),MF c b =-、(),0FA a c =- 由=2-1MF FA ⋅，即2ac c -=
，又
2
c a =
，222a b c =+
解得2221
a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的方程为2212x y += （2）F 为MPQ ∆的垂心，MF PQ ∴⊥
又()0,1M ，()1,0F
1MF K ∴=-，1PQ K ∴=
设直线PQ ：y x m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 将直线方程代入2
212
x y +=，得223+4220x mx m +-= 1243m x x +=-，212223
m x x -⋅= ()()
22412220m m ∆=-->
，m <1m ≠
又PF MQ ⊥，()111,PF x y =--，()22,1MQ x y =- 2121210x x x y y y ∴--+=，即212121))20m x x x x m m -⋅+-+-=（（
由韦达定理得：2340m m +-= 解之得：43
m =-
或1m =（舍去） ∴存在直线l ：43y x =-使F 为MPQ ∆的垂心. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（1）a =2）见解析（3）(1,)m ∈+∞，见解析
【分析】
（1）根据单调区间判断出12
x =
是极值点，由此根据极值点对应的导数值为0求解出a 的值，并注意验证是否满足；
（2）先求解出()f x '，然后结合所给区间对a 进行分类讨论，分别求解出()f x 的单调性；
（3）构造函数()ln (0),()h x x x x g x m =->=，分析()h x 的取值情况，由此求解出m 的取值范围；将证明121x x <通过条件转化为证明222
12ln 0x x x -->，由此构造新函数1()2ln (1)p x x x x x
=-
->进行分析证明. 【详解】 （1）由于函数函数()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，
上递减， 由单调性知12x =是函数的极大值点，无极小值点，所以1()02f '=， ∵21()f x a x
'=-，
故220a a -=⇒=12()x f x x
-'=满足12x =是极大值点，
所以a =
（2）∵()2ln 2f x x a x a =-+， ∴()()211a x f x x x
-'=>， ①当0a =时，()()10,f x f x x
>'=在()1,+∞上单调递增. ②当21a ≥，即1a ≤-或1a ≥时，()0f x '<，
∴()f x 在()1,+∞上单调递减.
③当11a -<<且0a ≠时，
由()0f x '= 得2
1x a =
. 令()0f x '>得211x a <<；令()0f x '<得21x a >. ∴()f x 在211,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上，当0a =时，()f x 在()1,+∞上递增；
当1a ≤-或1a ≥时，()f x 在()1,+∞上递减；
当11a -<<且0a ≠时，()f x 在21
1,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减. （3）令()ln (0),()h x x x x g x m =->=，11()1x h x x x -'=-
= 当(0,1)x ∈时，11()10x h x x x
-'=-=<，()ln (0)h x x x x =->单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，11()10x h x x x
'-=-=>，()ln (0)h x x x x =->单调递增； 故()h x 在1x =处取得最小值为(1)1h =
又当0,();,()x h x x h x →→+∞→+∞→+∞，由图象知：(1,)m ∈+∞
不妨设12x x <，则有122
101,01x x x <<<<<， 121122
111()()x x x h x h x x <⇔⇔>< 121222
2222222
11()(),()()()()111(ln )(ln )2ln h x h x m h x h h x h x x x x x x x x x ==∴-=-=---=-- 令221121()2ln (1),()1(1)0p x x x x p x x x x x
'=-->=+-=-> ()p x ∴在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0p x p >= 即22212ln 0x x x -->，1122
1()(),1h x h x x x ∴>∴< 【点睛】
本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知0x 是()f x 的极值点，利用()00f x '=求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2
）导数中的双变量证明问题，一般的求解
思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.。