专题16 矩形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(原卷版)

专题16矩形的判定与性质
★知识归纳
●矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点梳理：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
●矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点梳理：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形
的对角线互相平分且相等.
●矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点梳理：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
★实操夯实
一．选择题（共11小题）
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）
A．4B．5C．6D．8
2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC
3．下列说法正确的是（）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）
A．3B．C．D．4
5．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）
A．B．C．D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）
A．10B．9.6C．4.8D．2.4
7．如图，ABCD是矩形，AC、BD相交于O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）
A．2B．3C．4D．6
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）
A．2B．4C．8D．16
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
12．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．
13．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．
14．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是．
三．解答题（共12小题）
15．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．
16．在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，点P为四边形外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：四边形ABCD为矩形．
17．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．
18．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
19．如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
20．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．求证：▱ABCD是矩形．
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
24．如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
26．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．。