2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含解析
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5
3 解析：因为 α 为第三象限角，cos α＝－ ，
5
4 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ ，
5
4
2×
4
2tan α
3 24
tan α＝ ，tan 2α＝
＝
＝－ .
3
( ) 1－tan2α
4
7
1－ 2
3
答案：－24 7
类型一 二倍角的正用、逆用
例 1 (1)若 sin α＝1，则 cos 2α＝( ) 3
2sin 20°
2 sin 40°·cos 40°·cos 80° ＝
4sin 20°
2sin 80°·cos 80° sin 160° 1
＝
＝
＝.
8sin 20°
8sin 20° 8
( )π
2 1－tan2 12 2
(3)原式＝
＝ ＝2 3.
π
π
2tan
tan
12
6
1 【答案】 (1)B (2) (3)2 3
2
1
1
A.
B.
4
8
1
1
C.
D.
16
2
1
1
1
解析：原式＝ ×2sin 15°cos 15°＝ ×sin 30°＝ .
4
4
8
答案：B
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于( )
1
2
A.
B.
2
2
3 C.
3
3 D.
2
2 解析：1－2sin222.5°＝cos 45°＝ .
2
答案：B
3 4．已知 α 为第三象限角，cos α＝－ ，则 tan 2α＝________.
2
5
25 所以 cos α＝－ ，
5
( ) 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5 ×
2 －
54 ＝－ ，
5
5
5
( ) cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 2＝3， 55
sin 2α 4
43 4
tan 2α＝ ＝－ ，故填－ ，，－ .
cos 2α 3
55 3
( ) ( ) π
ππ π
2sin cos sin
12 12 6 1
【解析】 (1)原式＝
＝ ＝.
2
24
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
1 ＝cos 60°＝ .
2
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
2tan α
T2α
tan 2α＝ 1－tan2α
状元随笔 细解“倍角公式”
cos2α 令α＝β
T(α＋β) ――→
T2α
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的
情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是3α的 2 倍……这里蕴含着换元 2
8
(1)cos 2α＝1－2sin2α.
(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为 1，分子分母同时乘以 2sin
20 °.
(3)运用二倍角的正切化简求值．
方法归纳
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”
着手分析，消除差异．
1 (2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ sin 2α，
8 A.
9
7 B.
9
C．－7 9
D．－8 9
(2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________；
π
1－tan2
12
(3)计算：
＝________.
π
tan
12
( )1 7
【解析】 (1)cos 2α＝1－2 sin2α＝1－2× 2＝ . 39
2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° (2)原式＝
思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋cos
2α ；
2
sin2α＝1－cos
2α .
2
[小试身手]
π
π
(2)因为 x∈ 0， ，所以 －x∈ 0， ，
4
4
4
( ) ( ) π
5
π
12
又因为 sin －x ＝ ，所以 cos －x ＝ ，
1.二倍角公式 记法 S2α
C2α
公式 sin 2α＝2sin_αcos_α
cos 2α＝cos2α－sin2α cos 2α＝1－2sin2α
推导 令α＝β
S(α＋β) ――→
S2α 令α＝β C(α＋β) ――→
C2α 利用 cos2α＋
cos 2α＝2cos2α－1
sin2α＝1
消去 sin2α 要点
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
倍角公式的应用 知识导图
学考要 求
c b
高考要 求
c b
学法指导 1.二倍角公式就是上一节所讲的和(差)角公式的特殊情形(α＝β)． 2．本节所讲的二倍角具有相对性，注意体会公式的本质． 3．公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式.
( )π
5
例 2 (1)已知 α∈ ，π ，sin α＝ ，则 sin 2α＝__________，cos
2
5
2α＝____________，tan 2α＝____________；
( )π
5
π
(2)已知 sin －x ＝ ，0<x< ，求 cos 2x 的值．
4
13
4
( )π
5
【解析】 (1)因为 α∈ ，π ，sin α＝ ，
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( )
(3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
1 2. sin 15°cos 15°的值等于( )
π π 2π 2sin cos cos
55 5 (4)原式＝
π 2sin
5
2π 2π 4π π
sin cos sin sin
55
5
51
＝
＝ ＝ ＝.
π
π
π4
2sin
4sin 4sin
5
5
5
ππ 利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如 是 的二倍，
6 12
2π π 是 的二倍． 55
类型二 给值求值
2
cos
sin α＝
2α，cos2α－sin2α＝cos
2α，
2tan α
＝tan 2α.
2sin α
1－tan2α
跟踪训练 1 求下列各式的值．
ππ (1)sin cos ；
12 12 (2)1－2sin2750°；
2tan 150°
(3)
；
1－tan2150°
π 2π (4)cos cos .
55
3 解析：因为 α 为第三象限角，cos α＝－ ，
5
4 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ ，
5
4
2×
4
2tan α
3 24
tan α＝ ，tan 2α＝
＝
＝－ .
3
( ) 1－tan2α
4
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1－ 2
3
答案：－24 7
类型一 二倍角的正用、逆用
例 1 (1)若 sin α＝1，则 cos 2α＝( ) 3
2sin 20°
2 sin 40°·cos 40°·cos 80° ＝
4sin 20°
2sin 80°·cos 80° sin 160° 1
＝
＝
＝.
8sin 20°
8sin 20° 8
( )π
2 1－tan2 12 2
(3)原式＝
＝ ＝2 3.
π
π
2tan
tan
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1 【答案】 (1)B (2) (3)2 3
2
1
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A.
B.
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1
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C.
D.
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1
1
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解析：原式＝ ×2sin 15°cos 15°＝ ×sin 30°＝ .
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答案：B
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于( )
1
2
A.
B.
2
2
3 C.
3
3 D.
2
2 解析：1－2sin222.5°＝cos 45°＝ .
2
答案：B
3 4．已知 α 为第三象限角，cos α＝－ ，则 tan 2α＝________.
2
5
25 所以 cos α＝－ ，
5
( ) 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5 ×
2 －
54 ＝－ ，
5
5
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( ) cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 2＝3， 55
sin 2α 4
43 4
tan 2α＝ ＝－ ，故填－ ，，－ .
cos 2α 3
55 3
( ) ( ) π
ππ π
2sin cos sin
12 12 6 1
【解析】 (1)原式＝
＝ ＝.
2
24
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
1 ＝cos 60°＝ .
2
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
2tan α
T2α
tan 2α＝ 1－tan2α
状元随笔 细解“倍角公式”
cos2α 令α＝β
T(α＋β) ――→
T2α
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的
情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是3α的 2 倍……这里蕴含着换元 2
8
(1)cos 2α＝1－2sin2α.
(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为 1，分子分母同时乘以 2sin
20 °.
(3)运用二倍角的正切化简求值．
方法归纳
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”
着手分析，消除差异．
1 (2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ sin 2α，
8 A.
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7 B.
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C．－7 9
D．－8 9
(2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________；
π
1－tan2
12
(3)计算：
＝________.
π
tan
12
( )1 7
【解析】 (1)cos 2α＝1－2 sin2α＝1－2× 2＝ . 39
2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° (2)原式＝
思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋cos
2α ；
2
sin2α＝1－cos
2α .
2
[小试身手]
π
π
(2)因为 x∈ 0， ，所以 －x∈ 0， ，
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( ) ( ) π
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π
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又因为 sin －x ＝ ，所以 cos －x ＝ ，
1.二倍角公式 记法 S2α
C2α
公式 sin 2α＝2sin_αcos_α
cos 2α＝cos2α－sin2α cos 2α＝1－2sin2α
推导 令α＝β
S(α＋β) ――→
S2α 令α＝β C(α＋β) ――→
C2α 利用 cos2α＋
cos 2α＝2cos2α－1
sin2α＝1
消去 sin2α 要点
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
倍角公式的应用 知识导图
学考要 求
c b
高考要 求
c b
学法指导 1.二倍角公式就是上一节所讲的和(差)角公式的特殊情形(α＝β)． 2．本节所讲的二倍角具有相对性，注意体会公式的本质． 3．公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式.
( )π
5
例 2 (1)已知 α∈ ，π ，sin α＝ ，则 sin 2α＝__________，cos
2
5
2α＝____________，tan 2α＝____________；
( )π
5
π
(2)已知 sin －x ＝ ，0<x< ，求 cos 2x 的值．
4
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( )π
5
【解析】 (1)因为 α∈ ，π ，sin α＝ ，
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( )
(3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
1 2. sin 15°cos 15°的值等于( )
π π 2π 2sin cos cos
55 5 (4)原式＝
π 2sin
5
2π 2π 4π π
sin cos sin sin
55
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＝
＝ ＝ ＝.
π
π
π4
2sin
4sin 4sin
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ππ 利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如 是 的二倍，
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2π π 是 的二倍． 55
类型二 给值求值
2
cos
sin α＝
2α，cos2α－sin2α＝cos
2α，
2tan α
＝tan 2α.
2sin α
1－tan2α
跟踪训练 1 求下列各式的值．
ππ (1)sin cos ；
12 12 (2)1－2sin2750°；
2tan 150°
(3)
；
1－tan2150°
π 2π (4)cos cos .
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