2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习:微专题03 导数及其应用 Word版含解析
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【例 4】 已知函数 f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x.
(1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调递增区间;
[ ] (2)当
a<0
时,求函数
f(x)在
1
2,1
上的最小值.
解析▶ (1)由函数 f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x,可得 f'(x)=2ax+(1-
2a)-1=(2������������ + 1)(������ - 1).
解析▶ ∵函数 ye=x 的导函数为 y'e=x,
∴曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e0=1.
设 P 的坐标为(x0,y0)(x0>0),
∵函数 y=1的导函数为 y'=- 1 ,
������
������2
∴曲线
y=1(x>0)在点
������
P
处的切线的斜率
k2=-���1���20,
由题意得 f'(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),
e
令 f'(x)<0,解得 0<x< ,
e
( ) 所以函数
f(x)的单调递减区间为
0,
e e
.
故选 D.
(2)由题意得 f'(x)=1+2ax,
������
( ) 若
f(x)在
1
2,2
内存在单调递增区间,
( ) ( ) 则
f'(x)≥0
( ) 由题意知 k1k2=-1,即 1·
-
1 ������20
=-1,解得������20=1,
又 x0>0,∴x0=1. ∵点 P 在曲线 y=1������(x>0)上,∴y0=1, 故点 P 的坐标为(1,1). 答案▶ (1,1) 2.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= .
在
1
2,2
上有解,即
a≥
-
1 2������2
Hale Waihona Puke .min( ) ( ) 又
g(x)=- 1 在
2������2
1
2,2
上是单调递增函数,所以
g(x)>g
1 2
=-2,所以
a>-2.故选 D.
答案▶ (1)D (2)D
利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实 质上是求 f'(x)>0,f'(x)<0 的解集,求单调区间应遵循定义域优先的 原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函 数的单调性;(3)注意两种表述“函数 f(x)在(a,b)上为减函数”与“函 数 f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
������ + 1
1,则实数 a 的值为( ).
A.2 B.-3 C.-3 D.4
3
2
4
3
(2)曲线 f(x)=x2+ln x 在点(1,f(1))处的切线方程为 .
解析▶ (1)对函数 f(x)= ������������2 求导,可得 f'(x)=2������������(������ + 1) - ������������2.
03 导数及其应用
1.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程为 x-y+2=0,则 f(1)+f'(1)=( ).
A.1 B.2 C.3 D.4 解析▶ 由条件知(1,f(1))在直线 x-y+2=0 上,且 f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=3+1=4,故选 D. 答案▶ D 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则������的值为
∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴f'(x)=������������ - 1≥0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,
������������2
∴ax-1≥0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立, 即 a≥1对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.
������
答案▶ [1,+∞) 2.已知函数 f(x)=1x2-2aln x+(a-2)x.
������
( ).
A.-2 B.-2
3
C.-2 或-2 D.2 或-2
3
3
解析▶ 由题意知 f'(x)=3x2+2ax+b,
则 f'(1)=0,f(1)=10,
{即
1
+
������
3+ + ������
2������ -
+ ������ = 0, ������2 - 7a =
10,
{ { 解得
������
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切
线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点 坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.
1.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y=1(x>0)上点 P 处的切
������
线垂直,则点 P 的坐标为 .
������ + 1
(������ + 1)2
因为曲线 f(x)= ������������2 在点(1,f(1))处切线的斜率为 1,
������ + 1
所以 f'(1)=3������=1,得 a=4,故选 D.
4
3
(2)因为 f'(x)=2x+1,
������
所以曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 f'(1)=2+1=3.
A.-1 B.3 C.-2e3 D.6e-1 解析▶ ∵函数 f(x)=(x2+ax+1e)x, ∴f'(x)=[x2+(2+a)x+a+1]ex. ∵x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+1)ex 的极值点, ∴f'(3)=0,解得 a=-4, 故 f'(x)=(x2-2x-3)ex, ∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(-1)=6e-1.故选 D. 答案▶ D
又 a������20+(a+2)x0+1=2x0-1,即 a������20+ax0+2=0,当 a=0 时,显然不满足
此方程,
∴x0=-12,此时 a=8. (法二)求出曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y=2x-1.
{由
������
=
������ = 2������ ������������2 + (a
= ������
=-12,或
������ = - 6, ������ = 9,
{ 经检验
������
= ������
=-96,满足题意,故������������=-23,故选
A.
答案▶ A 3.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足1 - ������≤0,则必有( ).
������'(������)
3
解析▶ y'=-x2+a,若 y=-1x3+ax 有三个单调区间,则方程-x2+a=0
3
应有两个不等实根,Δ=4a>0,故 a 的取值范围是(0,+∞).
答案▶ (0,+∞)
能力 1 ▶ 会应用导数的几何意义
【例 1】 (1)已知曲线 f(x)= ������������2 在点(1,f(1))处切线的斜率为
+
1, 2)x
+
1,得
ax2+ax+2=0,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8 或 a=0(显然不成立). 答案▶ 8
能力 2 ▶ 会利用导数解决函数的单调性问题
【例 2】 (1)函数 f(x)=x2ln x 的单调递减区间为( ).
( ) A.(0, e)
B.
e
e,+∞
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 解析▶ 当 x<1 时,f'(x)<0,此时函数 f(x)单调递减;当 x>1 时,f'(x)>0,此时函数 f(x)单调递增.即当 x=1 时,函数 f(x)取得极小 值同时也取得最小值 f(1).所以 f(0)>f(1),f(2)>f(1),则 f(0)+f(2)>2f(1).故选 A. 答案▶ A 4.若函数 y=-1x3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围是 .
∴g'(x)=f'(x)-a=x-2������-2≥0 恒成立.
������
������2
即
-
2x
-
2a
≥0
对任意的
x∈(0,+∞)恒成立.
������
∴x2-2x-2a≥0 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤1(x2-2x)=1(x-1)2-1(x∈(0,+∞))恒成立.
2
2
2
又 φ(x)=1(x-1)2-1,x∈(0,+∞)的最小值为-1,
已知 a<0,令 f'(x)=0,得 x1=-21������,x2=1.
( ) [ ] ①当- 1 >1,即-1<a<0 时,x∈
2������
2
1
2,1
,f'(x)<0,因此
f(x)在
1
2,1
上
是减函数,
[ ] ∴f(x)在
1
2,1
上的最小值为
f(1)=1-a.
②当1≤- 1 ≤1,即-1≤a≤-1时,
������
������
=(������ - 1)(������ - 2).
������
当 0<x<1 或 x>2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 1<x<2
时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
(2)假设存在实数 a,使函数 g(x)=f(x)-ax 在(0,+∞)上单调递增,
2
(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数 a,使函数 g(x)=f(x)-ax 在(0,+∞)上单调递增?
若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
解析▶ (1)当 a=-1 时,f(x)=1x2+2ln x-3x,
2
则 f'(x)=x+2-3=������2 - 3x + 2
1.已知函数 f(x)=1 - ������+ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,
������������
则正实数 a 的取值范围为 .
解析▶ ∵f(x)=1 - ������+ln x,
������������
∴f'(x)=������������ - 1(a>0).
������������2
解析▶ (法一)令 f(x)=x+ln x,求导得 f'(x)=1+1,则 f'(1)=2.
������
又 f(1)=1,∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x1),即 y=2x-1.
设直线 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切的切点为 P(x0,y0), 则当 x=x0 时,y'=2ax0+a+2=2,得 a(2x0+1)=0,∴a=0 或 x0=-12.
������
������
令 f'(x)>0,∵a>0,x>0,∴2������������ + 1>0,
������
∴x-1>0,得 x>1, ∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
( )1
2������ ������ - - 2������ (x - 1)
(2)由(1)可得 f'(x)=
.
������
2
2
2
∴当 a≤-1时,g'(x)≥0 恒成立.
2
又当
a=-1时,g'(x)=(������
-
1)2
,当且仅当
x=1
时,g'(x)=0.
2
������
( ] 故当 a∈
-
∞,
-
1 2
时,g(x)=f(x)-ax 在(0,+∞)上单调递增.
能力 3 ▶ 会利用导数解决函数的极(最)值问题
【例 3】 若 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+1)ex 的极值点,则 f(x)的 极大值等于( ).
( ) ( ) C.
e
- ∞, e
D.
e
0, e
( ) (2)若函数 f(x)=ln
x+ax2-2 在
1
2,2
内存在单调递增区间,则实
数 a 的取值范围是( ).
( ) A.(-∞,-2] B.
1
- 8, + ∞
( ) C.
1
- 2, - 8
D.(-2,+∞)
解析▶ (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
2 2������
1
因为 f(1)=1, 所以切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. 答案▶ (1)D (2)3x-y-2=0
1.求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的切线方程:先求出切线的斜率 f'(x0),由 点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率 k,求 y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f'(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切 线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程:设切点 P(x0,y0),利用导数 求得切线斜率 f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解 得 x0,再由点斜式或两点式写出方程.