双曲线形根轨迹的证明
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某些特殊形状根轨迹的解析
【例1】 已知某负反馈系统的开环传递函数为
k G( s) s s 3 s 5
试证明其闭环系统根轨迹的复数部分为双曲线， 并求出该双曲线的顶点坐标。
1
【证明】
根轨迹方程为
k G( s) 1 s s 3 s 5
即
s 8s 15s k 0
3 2
假设在复数部分根轨迹上有一点 s x jy ， 则它必满足上述方程，即
x jy
3
8 x jy 15 x jy k 0
2
2
x jy
3
8 x jy 15 x jy k 0
2
3 2 2 2 2 3 x 3 xy 8 x 8 y 15 x k j 3 x y y 16 xy 15 y 0
3 2 2 2 x 3xy 8 x 8 y 15 x k 0 2 3 3 x y y 16 xy 15 y 0
3
由上述第二个方程可得
3x y y 16xy 15 y 0
2 3
3x2 y 2 16x 15 0
该双曲线的两个顶点坐标分别为：
8 19 , 0 及 3 3 8 19 , 0 3 3
4.12,0
1.21,0
5
Im 2
8 x 2 y 3 1 19 19 9 3
2
-4.12
-1.21
-5
-4
-3
8 3
-2
-1
0
Re
-2
k G( s) s s 3 s 5
6
证明根轨迹方程为k135kgssss?即328150sssk假设在复数部分根轨迹上有一点sjxy2jy则它必满足上述方程即328150xyxyjjjxyk328150xyxyjjjxyk32222338815316150xxyxyxkxyyxyyj???3322223388150316150xxyxyxkxyyxyy????????由上述第二个方程可得23316150xyyxyy?22316150xyx?422831191993xy???????双曲线标准方程该双曲线的中心坐标为803???????该双曲线的半实轴长191453a22831191993xy???????3该双曲线的半虚轴长192523b该双曲线的两个顶点坐标分别为
8 x 2 y 3 1 19 19 9 3
2
双曲线标准方程
4
8 x 8 2 该双曲线的中心坐标为 , 0 ， y 3 1 3 19 19 19 9 3 1.45 ， 该双曲线的半实轴长 a 3
2
19 2.52 ， 该双曲线的半虚轴长 b 3
【例1】 已知某负反馈系统的开环传递函数为
k G( s) s s 3 s 5
试证明其闭环系统根轨迹的复数部分为双曲线， 并求出该双曲线的顶点坐标。
1
【证明】
根轨迹方程为
k G( s) 1 s s 3 s 5
即
s 8s 15s k 0
3 2
假设在复数部分根轨迹上有一点 s x jy ， 则它必满足上述方程，即
x jy
3
8 x jy 15 x jy k 0
2
2
x jy
3
8 x jy 15 x jy k 0
2
3 2 2 2 2 3 x 3 xy 8 x 8 y 15 x k j 3 x y y 16 xy 15 y 0
3 2 2 2 x 3xy 8 x 8 y 15 x k 0 2 3 3 x y y 16 xy 15 y 0
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由上述第二个方程可得
3x y y 16xy 15 y 0
2 3
3x2 y 2 16x 15 0
该双曲线的两个顶点坐标分别为：
8 19 , 0 及 3 3 8 19 , 0 3 3
4.12,0
1.21,0
5
Im 2
8 x 2 y 3 1 19 19 9 3
2
-4.12
-1.21
-5
-4
-3
8 3
-2
-1
0
Re
-2
k G( s) s s 3 s 5
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证明根轨迹方程为k135kgssss?即328150sssk假设在复数部分根轨迹上有一点sjxy2jy则它必满足上述方程即328150xyxyjjjxyk328150xyxyjjjxyk32222338815316150xxyxyxkxyyxyyj???3322223388150316150xxyxyxkxyyxyy????????由上述第二个方程可得23316150xyyxyy?22316150xyx?422831191993xy???????双曲线标准方程该双曲线的中心坐标为803???????该双曲线的半实轴长191453a22831191993xy???????3该双曲线的半虚轴长192523b该双曲线的两个顶点坐标分别为
8 x 2 y 3 1 19 19 9 3
2
双曲线标准方程
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8 x 8 2 该双曲线的中心坐标为 , 0 ， y 3 1 3 19 19 19 9 3 1.45 ， 该双曲线的半实轴长 a 3
2
19 2.52 ， 该双曲线的半虚轴长 b 3