2.3节直线的交点坐标与距离公式练习

2.3节直线的交点坐标与距离公式练习
一、单选题
1．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）
A
B ．2
C ．4 D
．
2．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ）
A ． 21y x =+
B ．21y x =-
C ．22y x =-
D ． 22y x =+
3．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）
A ．[2,6]-
B ．[]2,4-
C ．[]1,4
D ．[1,4]-
4．一束光线从(3,2)P 发出，经x 轴反射后过(7,2)Q -，则反射光线在x 轴上的截距是（ ）
A ．3-
B ．2
C ．2-
D ．3
5．已知直线210x y -+=与直线220x my m --=平行，则它们之间的距离为（ ）
A
B
C
D ．4
6．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）
A ．无论12,,k P P 如何，总是无解
B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解
C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩
是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解
7．已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为A ，B ，与函数lg y x =图像的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD （ ）
A ．相交，且交点在坐标原点
B ．相交，且交点在第一象限
C ．相交，且交点在第二象限
D ．相交，且交点在第四象限
8．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )
A ．4a ≤
B ．46a -≤≤
C ．4a ≤或6a ≥
D ．6a ≥
二、填空题 9．(),P x y 是曲线2cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点，则()()2231x y -++的最大值为____． 10．直线l ：12x at y t =⎧⎨=-⎩
（t 为参数），圆C ：4sin 4cos ρθθ=-（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则实数a =_______．
11．在直角坐标系xoy 中，圆M 的参数方程为12cos 22sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩ （t
为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos m ρθρθ-=，()m R ∈.若直线l
与圆M 相交于A ，B 两点，MAB ∆的面积为2，则m 值为_______．
12．已知P 为函数ln y x =图象上任意一点，点Q 为圆()2221
1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度
的最小值为___．
三、解答题
13.已知 △ABC 中，点 A(1,3),B(2,1),C(−1,0) .
（1）求直线 AB 的方程； （2）求 △ABC 的面积.
14.已知点A （﹣2，1），B （2，4），点P 是直线l ：y ＝x 上的动点.
（1）若PA⊥PB，求点P 的坐标；
（2）设过A 的直线l1与过B 的直线l2均平行于l ，求l1与l2之间的距离.
15.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 {x =2−t −t 2，y =2−t +t 2
(t 为参数且t≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.
（1）求| AB |： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.
16.已知抛物线Γ:y2=8x和圆Ω:x2+y2−4x=0，抛物线Γ的焦点为F .
（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；
（2）若点T(x,y)在抛物线Γ上，且满足x∈[1,4]，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A、B，求四边形TAFB的面积的取值范围；
|PQ|的（3）如图，若直线l与抛物线Γ和圆Ω依次交于M、P、Q、N四点，证明: |MP|=|QN|=1
2
充要条件是“直线l的方程为x=2”
参考答案
1．B2．A3．A4．C5．A6．B7．A8．D9．322
+10．426
-±11．1-或5-12．
13.【答案】（1）解：直线AB的斜率为1−3
2−1
=−2，
直线AB的方程为：y−1=−2(x−2)，即2x+y−5=0
（2）解：点C到直线AB的距离d=
√12+22=
5
，
|AB|=√(2−1)2+(1−3)2=√5，
故△ABC的面积S=1
2|AB|⋅d=7
2
.
【解析】（1）求出直线AB斜率，由点斜式写出直线方程并整理一般式；（2）求出C到直线AB的距离，即三角形的高，再求出边AB的长，可得面积．
14.【答案】（1）解：∵点P是直线l：y＝x上的动点，∴设点P（a，a），
∵PA⊥PB，∴ a−1
a+2×a−4
a−2
=−1，解得：a＝0或5
2
，∴点P（0，0）或（5
2
，5
2
）；
（2）解：设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），
∴﹣2+m＝1，2+n＝4，∴m＝3，n＝2，
∴直线l1的方程为：y＝x+3，即x﹣y+3＝0，直线l2的方程为：y＝x+2，即x﹣y+2＝0，
∴l1与l2之间的距离为：
12=√2
2
.
【解析】（1）设点P（a，a），利用PA⊥PB得a−1
a+2×a−4
a−2
=−1，解得：a＝0或5
2
，从而求出点P的坐标；
（2）设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），代入点A，B的坐标，求出m ＝3，n＝2，再利用两平行线间的距离公式即可求出结果.
15.【答案】（1）解：令x=0，则t2+t−2=0，解得t=−2或t=1（舍），则y=2+6+4=12，即A(0,12) .
令y=0，则t2−3t+2=0，解得t=2或t=1（舍），则x=2−2−4=−4，即B(−4,0) .
∴|AB|=√(0+4)2+(12−0)2=4√10
（2）解：由（1）可知k AB=12−0
0−(−4)
=3，
则直线AB的方程为y=3(x+4)，即3x−y+12=0 .
由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得，直线AB的极坐标方程为3ρcosθ−ρsinθ+12=0
【解析】【分析】（1）由参数方程得出A,B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出|AB|的值；（2）由A,B的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
16.【答案】（1）解：由x2+y2−4x=0可得: (x−2)2+y2=4，∴Ω的圆心与Γ的焦点F重合，
∴Ω的圆心(2,0)到Γ的准线x=−2的距离为4
（2）解：四边形TAFB的面积为: S=2×1
2
×2×√|TF|2−4=2√(x−2)2+y2−4
=2√(x−2)2+8x−4=2√x2+4x，
∴当x∈[1,4]时，四边形TAFB的面积的取值范围为[2√5,8√2]
（3）解：证明(充分性) :若直线l的方程为x=2，将x=2分别代入y2=8x
x2+y2−4x=0得M(2,4)，P(2,2)，Q(2,−2)，N(2,−4) .
∴|MP|=|ON|=1
2|PQ|=2，∴|MP|=|QN|=1
2
|PQ| .
(必要性) :若|MP|=|QN|=1
2
|PQ|，则线段MN与线段PQ的中点重合，
设l的方程为x=ty+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，则y1+y2=y3+y4，将x=ty+m代入y2=8x得y2−8ty−8m=0，
y1+y2=8t，Δ=64t2+32m>0即2t2+m>0，
同理可得，y3+y4=−2t(m−2)
1+t2
，
∴−2t(m−2)
1+t2
=8t即t=0或m=−4t2−2，
而当m=−4t2−2时，将其代入2t2+m>0得−2t2−2>0不可能成立； . 当t=0时，由y2−8m=0得：y1=2√2m，y2=−2√2m，
将x=m代入x2+y2−4x=0得y3=√−m2+4m，y4=−√−m2+4m，
∵|MP|=1
2|PQ|，∴2√2m−√−m2+4m=1
2
⋅2√−m2+4m，
∴m2−2m=0，∴m=2或m=0（舍去）
∴直线l的方程为x=2 .
|MP|=|QN|=1
2
|PQ|的充要条件是“直线l的方程为x=2”
【解析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形TAFB的面积S=
2√x2+4x，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线l的方程为x=2，分别求出M、P、
Q、N四点坐标后即可证明|MP|=|QN|=1
2
|PQ|；必要性：设l的方程为x=ty+m，M(x1,y1)，
N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，由|MP|=|QN|=1
2
|PQ|可得y1+y2=y3+y4，即可得出t与m 的关系，进而可得出直线l的方程为x=2 .。