备战历届高考数学真题汇编专题10_圆锥曲线_理(2000-2006).pdf

（C）充分不必要条件
（D）既非充分也非必要
28．（上海春）抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为(
（A） ( 0, 1) .
（B） (1, 0 ) .
) （C） ( 0, 2 ) .
（D） ( 2, 0 ) .
解：（直接计算法）因为 p=2 ，所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为
．应选
B．
29．（上海春）若 k R ，则“ k 3 ”是“方程 x 2 − y 2 = 1表示双曲线”的( ) k −3 k +3
A． 4 3
B． 7 5
C． 8 5
D． 3
解 ： 设 抛 物 线 y = −x2 上 一 点 为 (m ， － m2) ， 该 点 到 直 线 4x + 3y − 8 = 0 的 距 离 为
| 4m − 3m2 − 8 | ，当 m= 2 时，取得最小值为 4 ，选 A.
5
3
3
16．（全国 II）已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，
形的面积等于 4π，选 B.
22．（四川卷）直线 y = x − 3 与抛物线 y2 = 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线
的准线作垂线，垂足分别为 P, Q ，则梯形 APQB 的面积为
（A）48
（B）56
（C）64
（D）72
23．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (−3,0) 、F2 (3,0) ，一条渐近线方程为 y = 2x ，
9 | x |2 −18 x + 4 = 0 ，显然该关于| x| 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4
个，故选择答案 D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根
分布也进行了简单的考查。
13．（辽宁卷）方程 2x2 − 5x + 2 = 0 的两个根可分别作为（ ）
B. (- 3 , 3 )
C.[ − 3 , 3 ] 33
D. [- 3 , 3 ]
解析：双曲线 x 2 − y 2 = 1 的渐近线 y = 3 x 与过右焦点的直线平行，或从该位置绕焦
12 4
3
点旋转时，直线与双曲线的右支有且只有一个交点，∴ 3 ≥k，又 k≥ − 3 ，选 C
3
3
4.（广东卷）已知双曲线 3x2 − y2 = 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P
C. 3
23 D. 3
解：双曲线
x2 a2
−
y2 2
= 1(a>
2)的两条渐近线的夹角为π3
，则
2 a
= tan 6
=
3 ，∴ a2=6， 3
23 双曲线的离心率为 3
，选 D．
学海无涯
21．（四川卷）已知两定点 A(−2, 0), B (1, 0) ，如果动点 P 满足 PA = 2 PB ，则点 P
且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是
学海无涯
（A）2 3
（B）6
（C）4 3
（D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得
ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C
17．（全国 II）已知双曲线xa22－yb22＝1的一条渐近线方程为 y＝43x，则双曲线的离心率为
F1，F2
为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0，b 0且a
b) 的两个焦点，P 为
双曲线右支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点．下面四个命题
Ａ． △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x = a 上；
Ｂ． △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x = b 上；
Ｃ． △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上；
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
3．（福建卷）已知双曲线 x 2 − y 2 = 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只 12 4
有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( − 3 , 3 ) 33
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充要条件.
（D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当 k>3 时，有 k-3>0,k+3>0，所以方程
表
示双曲线；当方程
表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在 k>3 里．故应该选 A．
学海无涯
二、填空题（共 8 题）
30．（江西卷）已知
那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． 6 3
B． 4
C． 2
D．1
解析：如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (−3,0) 、 F2 (3,0) ，一条渐近线方程为 y = 2x ，
∴
a2 + b2
b
= a
= 2
9
，解得
a2 b2
= =
3 6
，所以它的两条准线间的距离是 2
a2 c
= 2 ，选 C.
24．（天津卷）椭圆的中心为点 E(−1，0) ，它的一个焦点为 F (−3，0) ，相应于焦点 F 的准
－4，则点 A 的坐标是（ ）
A．（2，2 2 ）
B. (1，2)
C.（1，2）
D.(2，2 2 )
解：F（1，0）设
A（
y
2 0
uuur ，y0）则 OA ＝（
y02
uuur ，y0）， AF
＝（1－
y02
，－y0），由
4
4
4
uuur uuur OA • AF ＝－4y0＝2，故选 B
9．（江西卷）P 是双曲线 x2 － y2 ＝1 的右支上一点，M、N 分别是圆（x＋5）2＋y2＝4 和 9 16
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程 2x2 − 5x + 2 = 0 的两个根分别为 2， 1 ，故选 A 2
14．（全国卷 I）双曲线 mx2 + y2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m =
A． − 1 4
B． −4
C． 4
x− y 0 (C) x + y 0
0 x 3
x− y 0
(D)
x
+
y
0
0 x 3
【解析】双曲线 x2 − y2 = 4 的两条渐近线方程为 y = x ，与直线 x = 3 围成一个三角形
x− y 0
区域时有
x
+
y
0
。
0 x 3
11．（辽宁卷）曲线 x2 + y2 = 1(m 6) 与曲线 x2 + y2 = 1(5 m 9) 的
（C） 1 8
（D） 9 8
解：双曲线 x2 − y2 = 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 1 ，则离心率 e=3，∴
m
3
m +1 = 9 ，m= 1 ，选 C.
m
8
26．（浙江卷）抛物线 y2 = 8x 的准线方程是
(A) x = −2
(B) x = −4
(C) y = −2
(D) y = −4
Ｄ． △PF1F2 的内切圆必通过点 (a，0) ．
其中真命题的代号是
线方程为 x = − 7 ，则这个椭圆的方程是（ ） 2
Ａ． 2(x −1)2 + 2 y2 = 1
21
3
Ｂ． 2(x +1)2 + 2 y2 = 1
21
3
Ｃ． (x −1)2 + y2 = 1 5
Ｄ． (x +1)2 + y2 = 1 5
解析：椭圆的中心为点 E(−1, 0), 它的一个焦点为 F (−3, 0), ∴ 半焦距 c = 2 ，相应于焦
D． 3 x2 + 3y2 = 1(x 0, y 0) 2
6．（湖南卷）过双曲线
M: x2
−
y2 b2
= 1的左顶点
A
作斜率为
1
的直线 l ,若 l 与双曲线
M
的两条
渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 (
)
A. 10
B. 5
C. 10 3
D. 5 2
7．（江苏卷）已知两点 M（－2，0）、N（2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足
（A）53
(B)43
(C)54
(D)32
解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 b = 4 ,可得e = c = 32 + 42 = 5 ,故选 A
a3
a
3
3
19．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1 ， 2
则该双曲线的离心率为
(A) 2
(B)2
（x－5）2＋y2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
10．（辽宁卷）双曲线 x2 − y2 = 4 的两条渐近线与直线 x = 3 围成一个三角形区域,表示该区域
的不等式组是
x− y 0
(A)

+
y
0
0 x 3
x− y 0
(B)
x
+
y
0
0 x 3
点 Q 与点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP = 2PA 且 OQgAB = 1 ，则点 P 的轨迹方
程是
A． 3x2 + 3 y2 = 1(x 0, y 0) 2
B． 3x2 − 3 y2 = 1(x 0, y 0) 2
C． 3 x2 − 3y2 = 1(x 0, y 0) 2
2
(C) 2
(D)2 2
解：不妨设双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a0，b0），则依题意有 2b2 a
=
2且c − a2 = 1 ， c2
据此解得 e＝ 2 ，选 C
x2
y2
π
20．(陕西卷)已知双曲线a2 － 2 =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 3 ,则双曲线的离心
率为
26
A.2
B. 3
到右准线的距离之比等于
A. 2 B. 2 2
C. 2
D. 4
3
解析：依题意可知 a = 3,c = a2 + b2 = 3 + 9 = 2 3 ， e = c = 2 3 = 2 ，故选 a3
C.
学海无涯
5．（湖北卷）设过点 P(x, y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点， uuur uuur uuur uuur
D． 1 4
解 ： 双 曲 线 mx2 + y2 = 1 的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍 ， ∴ m<0 ， 且 双 曲 线 方 程 为
− x2 + y2 = 1，∴ m= − 1 ，选 A.
4
4
15．（全国卷 I）抛物线 y = −x2 上的点到直线 4x + 3y − 8 = 0 距离的最小值是
点 F 的准线方程为 x = − 7 . ∴ a2 = 5 ， a2 = 5,b2 = 1 ，则这个椭圆的方程是 (x +1)2 + y2 = 1，选
2 c2
5
D.
学海无涯
25．（浙江卷）若双曲线 x2 − y2 = 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 1 ，则 m=
m
3
（A） 1 2
（B） 3 2
| MN | | MP | +MN MP ＝0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为
（A） y 2 = 8x
（B） y 2 = −8x
（C） y 2 = 4x
（D） y 2 = −4x
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
学海无涯
uuur uuur 8．（江西卷）设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 OA • AF ＝
的轨迹所包围的图形的面积等于
（A）
（B） 4
（C） 8
（D） 9
解：两定点 A(−2, 0), B (1, 0) ，如果动点 P 满足 PA = 2 PB ，设 P 点的坐标为(x，y)，
则 (x + 2)2 + y2 = 4[(x −1)2 + y2 ] ，即 (x − 2)2 + y2 = 4 ，所以点 P 的轨迹所包围的图
学海无涯
【2006 高考试题】
一、选择题（共 29 题）
1．（安徽卷）若抛物线 y2 = 2 px 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1的右焦点重合，则 p 的值为 62
A． −2
B． 2
C． −4
D． 4
2．（福建卷）已知双曲线 x 2 − y 2 = 1(a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的 a2 b2
10 − m 6 − m
5−m 9−m
(A)焦距相等
(B) 离心率相等
(C)焦点相同
(D)准线相同
学海无涯
12．（辽宁卷）直线 y = 2k 与曲线 9k 2x2 + y2 = 18k 2 x (k R,且k 0) 的公共点的个数为
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】将 y = 2k 代入 9k 2x2 + y2 = 18k 2 x 得： 9k 2x2 + 4k 2 = 18k 2 x
解：2p＝8，p＝4，故准线方程为 x＝－2，选 A
27．(重庆卷)设
A( x1 ,
y1
),
B(4,
9 5
),
C
(
x2
,
y2 ) 是右焦点为 F
的椭圆
x2 25
+
y2 9
= 1 上三个不
同的点，则“ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1 + x2 = 8 ”的
（A）充要条件
（B）必要不充分条件