第六章 平面电磁波的传播
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第 六 章
平面电磁波的传播
空间任一点处的电场及磁场能量密度相等) 对于入射波 空间任一点处的电场及磁场能量密度相等
总电磁能量密度
'
2 1 2 1 + + +2 +2 w = ε Ey (x, t) + µ HZ (x, t) = ε Ey = µ HZ 2 2
入射波功率流密度
+ + +
图6.0.1 沿 x 方向传播的一 组均匀平面波
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第 六 章
平面电磁波的传播
电磁场基本方程组 电磁波动方程
理想介质中均匀平面波
导电媒质中均匀平面波
均匀平面电磁波的传播特性 正弦电磁波的传播特性 平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射· 平面电磁波的正入射·驻波
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+ z − z
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v返 回 上 页 v 下
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第 六 章
+ y − y
平面电磁波的传播
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v v （1）
+ Ey (x, t) − Ey (x, t)
v = c/n
大于1） （n为介质的折射率 µr ε r ，大于 ） 为介质的折射率 见p219证明 证明
µ Zo = + =− − = （Ω） ε Hz (x, t) Hz (x, t)
(4) 均匀平面波，能量的传播方向与波的传播 均匀平面波， 方向一致。 方向一致。
& & & & & Ey = Ey+e−kx + Ey−ek x = Ey+e−j β x + Ey−ej β x
& = H +e−j β x + H −ej β x= 1 (Ey+e−j β x − Ey−ej β x ) & & & Hz & z z
ω 2π 波数、 β = = —波数、相位常数 ( phase constant)rad/m ， ν λ
平面电磁波的传播
电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。 电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。 电磁场 平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。 平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。 均匀平面电磁波 ：等相位面是 平面，等相位面上任一点的 平面，等相位面上任一点的 E 相同、 相同 相同的电磁波 相同、H相同的电磁波 。 若电磁波沿 x 轴方向传播 H=H( x, t )，E=E (x , t)。与y,z 无关
∂t
∂H ∂2H ∇(∇⋅ H) −∇2H = −µγ − µε ∂t ∂t 2 ∇⋅ B = 0 ∂H ∂2H ∇2H − µγ − µε =0 2 返 回 ∂t ∂t
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第 六 章
平面电磁波的传播
∂H ∂2H ∇2H − µγ − µε =0 2 ∂t ∂t
电磁波动方程
∇ × E = −∂B / ∂t
第 六 章
平面电磁波的传播
∇⋅ H = 0
∂Η x =0 ∂x
∂ ∂ Η x = C (t) ( = 0 , = 0) 1 ∂y ∂z
∂H x 式 (4) =0 ∂t
∇⋅ E = 0
式 (1) γ Ex +ε
无恒定场存在） Ηx =C = 0 （无恒定场存在） 1 常数c1在波动问题中无 常数 在波动问题中无 意义通常取为0 意义通常取为 ∂ Εx =0 Εx = D (t) 1 ∂x
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第 六 章
6.1 电磁波动方程及均匀平面波
平面电磁波的传播
Electromagnetic Wave Equation and Uniform Plane Wave
6.1.1 电磁波动方程（ Electromagnetic Wave Equation） ） ∂D 设媒质均匀,线性, 设媒质均匀,线性,各向同性 ∇ × H = J + ∂t ∂E 1） ∇×∇× H = ∇×(γ E +ε ) ∂t ∂H ∇× E = −µ 因为 ∇ × ∇ × H = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
H ( x, t )
− z
第 六 章
平面电磁波的传播
(2)（单一频率） (2)（单一频率）电磁波的相速
v =C = 3×10 m /s
8
v = 1 ，真空中 µε
故理想介质中波的传播速度可以写为： 故理想介质中波的传播速度可以写为： 波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射） ——入射 (3) 波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射） 磁场的比值
E y ( x, t ) H z ( x, t )
=
E + y ( x, t ) H z ( x, t )
+
=
+ 2 E y cos(ωt − β x + φE )
2 H z+ cos(ωt − β x + φH )
µ = = Z0 ε
无限大均匀理想介质，无反射波。故上式成立。 无限大均匀理想介质，无反射波。故上式成立。 Z0为常数，由上式可知，只有 φE = φH 才能满足。 为常数，由上式可知， 才能满足。 为常数
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Z0
第 六 章
平面电磁波的传播
在无限大均匀介质中，不存在反射波， 在无限大均匀介质中，不存在反射波，故有
& = E +e−kx = E +e−j β x & Ey &y y
& = H +e− j β x Hz & z
与它们相对应的瞬时值表达式为: 与它们相对应的瞬时值表达式为
平面电磁波的传播
均匀平面电磁波的电场方向、 均匀平面电磁波的电场方向、磁场方向以及波的传播 方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。且电场磁 场两者也相互垂直 若电场只有y轴分量，则磁场仅有 轴分量 轴分量。 若电场只有 轴分量，则磁场仅有z轴分量。 轴分量
∂ Ey ∂ Hz ∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε = −µ ∂x ∂t ∂x ∂t
+ z − z
x x Ey (x, t) = E (x, t) + E (x, t) = f1(t − ) + f2 (t + ) v v
E + ( x, t ) y
H z+ ( x, t )
E − ( x, t ) y
表示沿+x方向前进的波的电场及磁场分量， 表示沿 方向前进的波的电场及磁场分量， 方向前进的波的电场及磁场分量 称为入射波。 称为入射波。 表示沿-x方向前进的波的电场及磁场分量， 表示沿 方向前进的波的电场及磁场分量， 方向前进的波的电场及磁场分量 称为反射波。 称为反射波。
电磁波动方程
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第 六 章
平面电磁波的传播
6.1.2 均匀平面波（Uniform Plane Wave） ） 均匀平面波条件： 1 均匀平面波条件： = E(x, t), H = H(x, t) E 轴方向传播。等相位面与yoz平面平行 假设波沿着沿 x 轴方向传播。等相位面与 平面平行 即
第 六 章
第6章 平面电磁波的传播 章
Plane Wave Propagation
平面电磁波的传播
序 电磁波动方程及均匀平面波 理想介质中的均匀平面波 导电媒质中的均匀平面波 平面波的极化 平面波的反射与折射 平面电磁波的正入射、 平面电磁波的正入射、驻波
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第 六 章
6.0 序 Introduction
图 6.0 平面电磁波知识结构
第 六 章
平面电磁波的传播
本 章 要 求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的 传播特性及基本规律。 传播特性及基本规律。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性， 掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性，重点 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。
γ － t Ex = E0e ε
∂ Ex = 0 解得 ∂t
由于一般介质中
电场、磁场的x分量都为零故 由于 电场、磁场的 分量都为零故 沿波传播方向上无场的分量， 沿波传播方向上无场的分量，称之为 TEM 波 返 回 上 页 横电磁波） （横电磁波）。
γ ε
> 1 近似认为 Ex为零 >
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第 六 章
波的传播速度v大小方向都相同。 波的传播速度 大小方向都相同。反射波也有类似结论 大小方向都相同
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第 六 章
平面电磁波的传播
6.2.2 理想介质中正弦均匀平面电磁波 波动方程相应的复数表达形式为： 波动方程相应的复数表达形式为： & & d2 Ey d2 Hz 2 2 & & & = ( jω) µε Ey = k Ey , = k2Hz d x2 d x2 式中 k = jω µε = jβ k—传播常数 ( propagation constant)， ， 通解
∂ Hy
∂ Ez = γ Ez +ε （3） ∂x ∂t
第 六 章
平面电磁波的传播
∂H ∇× E = −µ ∂t
得
∂ Hx =0 ∂t
∂ Hy ∂ Ez =µ ∂x ∂t
∂ Ey ∂ Hz = −µ ∂x ∂t
（4） E的x分量方程（这里无 分量） 的 分量方程 这里无x分量 分量方程（ 分量）
（5） Y分量方程 分量方程 （6） Z分量方程 分量方程
波的传播速度
+ y + z
v=1 µε
µ +2 ' S = E (x,t)× H (x,t) = E H ex = Hz ex = vwex ε
+ '
速度的乘积， 速度的乘积，即 S = veω ex 比较两式可知入射波中的电磁能量传播速度
由功率流密度的定义可知应为电磁能量密度和能量流动
ve
与
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（6） (6-9) （5）
若电场只有z轴分量，则磁场仅有 轴分量 轴分量。 若电场只有 轴分量，则磁场仅有y轴分量。 轴分量
∂ Hy ∂ Ez = γ Ez +ε （3） ∂x ∂t
∂ Hy ∂ Ez =µ ∂x ∂t
讨论中使 Ez=0 , Hy=0 ,仅考虑 E y H z 构成的一组平面波以此来研究波的传播特性
同理
∂ Ey
2
∂x
2
− µγ
∂ Ey ∂t
− µε
∂ Ey
2
∂t
2
=0
这就是均匀平面波的波动方程。 这就是均匀平面波的波动方程。
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第 六 章
6.2 理想介质中的均匀平面波
平面电磁波的传播
Uniform Plane Wave in Perfect Dielectric 6.2.1 波动方程的解及其传播特性
∂H 2） ∇×∇× E = ∇×(−µ ) ∂t
∇ × ∇ × E = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
∂E ∇× H = γ E +ε ∂t
∂E ∂2E 因为∇(∇⋅ E) −∇2E = −µγ − µε 2 ∂t ∂t
∇⋅ D = 0
∂E ∂2E 2 ∇ E − µγ − µε 2 = 0 ∂t ∂t
(Solutions and Propagation Characteristic )
波动方程 理想介质中
γ =0
及
∂2Hz 1 ∂2 Hz = 2 2 ∂x v ∂ t2
∂2 Ey
∂2 Ey 1 =µε = 2 2 2 ∂x ∂t v ∂ t2
+ y − y
∂2 Ey
令 v = 1 µε
x x 通解 Ey (x, t) = E (x, t) + E (x, t) = f1(t − ) + f2 (t + ) v v
∂ ∂ =0 , =0 ∂y ∂z
得 γ Ex +ε
∂E ∇× H = γ E +ε ∂t ∂ Ex （1）
∂t =0
由 Maxwell 方程推导
H的x分量方程（这里无 分量） 的 分量方程 这里无x分量 分量方程（ 分量） Y分量方程 分量方程 Z分量方程 分量方程
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∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
+ E y ( x, t ) = 2 E y cos(ωt − β x + φE )
初相位 推导220
H z ( x, t ) = 2 H
+ z
cos(ωt − β x + φH )
此为无限大理想介质中的均匀平面波的正弦稳态解。 此为无限大理想介质中的均匀平面波的正弦稳态解。
第 六 章
平面电磁波的传播
∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
∂ Ey ∂ Hz （6） = −µ ∂x ∂t
返 回
上 页
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第 六 章
平面电磁波的传播
∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
∂ Ey
∂ Hz （6） = −µ ∂x ∂t
则波动方程简化为： 则波动方程简化为：
∂2Hz ∂ Hz ∂2Hz − µγ − µε 2 = 0 2 ∂x ∂t ∂t
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平面电磁波的传播
空间任一点处的电场及磁场能量密度相等) 对于入射波 空间任一点处的电场及磁场能量密度相等
总电磁能量密度
'
2 1 2 1 + + +2 +2 w = ε Ey (x, t) + µ HZ (x, t) = ε Ey = µ HZ 2 2
入射波功率流密度
+ + +
图6.0.1 沿 x 方向传播的一 组均匀平面波
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平面电磁波的传播
电磁场基本方程组 电磁波动方程
理想介质中均匀平面波
导电媒质中均匀平面波
均匀平面电磁波的传播特性 正弦电磁波的传播特性 平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射· 平面电磁波的正入射·驻波
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+ z − z
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v返 回 上 页 v 下
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+ y − y
平面电磁波的传播
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v v （1）
+ Ey (x, t) − Ey (x, t)
v = c/n
大于1） （n为介质的折射率 µr ε r ，大于 ） 为介质的折射率 见p219证明 证明
µ Zo = + =− − = （Ω） ε Hz (x, t) Hz (x, t)
(4) 均匀平面波，能量的传播方向与波的传播 均匀平面波， 方向一致。 方向一致。
& & & & & Ey = Ey+e−kx + Ey−ek x = Ey+e−j β x + Ey−ej β x
& = H +e−j β x + H −ej β x= 1 (Ey+e−j β x − Ey−ej β x ) & & & Hz & z z
ω 2π 波数、 β = = —波数、相位常数 ( phase constant)rad/m ， ν λ
平面电磁波的传播
电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。 电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。 电磁场 平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。 平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。 均匀平面电磁波 ：等相位面是 平面，等相位面上任一点的 平面，等相位面上任一点的 E 相同、 相同 相同的电磁波 相同、H相同的电磁波 。 若电磁波沿 x 轴方向传播 H=H( x, t )，E=E (x , t)。与y,z 无关
∂t
∂H ∂2H ∇(∇⋅ H) −∇2H = −µγ − µε ∂t ∂t 2 ∇⋅ B = 0 ∂H ∂2H ∇2H − µγ − µε =0 2 返 回 ∂t ∂t
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平面电磁波的传播
∂H ∂2H ∇2H − µγ − µε =0 2 ∂t ∂t
电磁波动方程
∇ × E = −∂B / ∂t
第 六 章
平面电磁波的传播
∇⋅ H = 0
∂Η x =0 ∂x
∂ ∂ Η x = C (t) ( = 0 , = 0) 1 ∂y ∂z
∂H x 式 (4) =0 ∂t
∇⋅ E = 0
式 (1) γ Ex +ε
无恒定场存在） Ηx =C = 0 （无恒定场存在） 1 常数c1在波动问题中无 常数 在波动问题中无 意义通常取为0 意义通常取为 ∂ Εx =0 Εx = D (t) 1 ∂x
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6.1 电磁波动方程及均匀平面波
平面电磁波的传播
Electromagnetic Wave Equation and Uniform Plane Wave
6.1.1 电磁波动方程（ Electromagnetic Wave Equation） ） ∂D 设媒质均匀,线性, 设媒质均匀,线性,各向同性 ∇ × H = J + ∂t ∂E 1） ∇×∇× H = ∇×(γ E +ε ) ∂t ∂H ∇× E = −µ 因为 ∇ × ∇ × H = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
H ( x, t )
− z
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平面电磁波的传播
(2)（单一频率） (2)（单一频率）电磁波的相速
v =C = 3×10 m /s
8
v = 1 ，真空中 µε
故理想介质中波的传播速度可以写为： 故理想介质中波的传播速度可以写为： 波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射） ——入射 (3) 波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射） 磁场的比值
E y ( x, t ) H z ( x, t )
=
E + y ( x, t ) H z ( x, t )
+
=
+ 2 E y cos(ωt − β x + φE )
2 H z+ cos(ωt − β x + φH )
µ = = Z0 ε
无限大均匀理想介质，无反射波。故上式成立。 无限大均匀理想介质，无反射波。故上式成立。 Z0为常数，由上式可知，只有 φE = φH 才能满足。 为常数，由上式可知， 才能满足。 为常数
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Z0
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平面电磁波的传播
在无限大均匀介质中，不存在反射波， 在无限大均匀介质中，不存在反射波，故有
& = E +e−kx = E +e−j β x & Ey &y y
& = H +e− j β x Hz & z
与它们相对应的瞬时值表达式为: 与它们相对应的瞬时值表达式为
平面电磁波的传播
均匀平面电磁波的电场方向、 均匀平面电磁波的电场方向、磁场方向以及波的传播 方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。且电场磁 场两者也相互垂直 若电场只有y轴分量，则磁场仅有 轴分量 轴分量。 若电场只有 轴分量，则磁场仅有z轴分量。 轴分量
∂ Ey ∂ Hz ∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε = −µ ∂x ∂t ∂x ∂t
+ z − z
x x Ey (x, t) = E (x, t) + E (x, t) = f1(t − ) + f2 (t + ) v v
E + ( x, t ) y
H z+ ( x, t )
E − ( x, t ) y
表示沿+x方向前进的波的电场及磁场分量， 表示沿 方向前进的波的电场及磁场分量， 方向前进的波的电场及磁场分量 称为入射波。 称为入射波。 表示沿-x方向前进的波的电场及磁场分量， 表示沿 方向前进的波的电场及磁场分量， 方向前进的波的电场及磁场分量 称为反射波。 称为反射波。
电磁波动方程
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第 六 章
平面电磁波的传播
6.1.2 均匀平面波（Uniform Plane Wave） ） 均匀平面波条件： 1 均匀平面波条件： = E(x, t), H = H(x, t) E 轴方向传播。等相位面与yoz平面平行 假设波沿着沿 x 轴方向传播。等相位面与 平面平行 即
第 六 章
第6章 平面电磁波的传播 章
Plane Wave Propagation
平面电磁波的传播
序 电磁波动方程及均匀平面波 理想介质中的均匀平面波 导电媒质中的均匀平面波 平面波的极化 平面波的反射与折射 平面电磁波的正入射、 平面电磁波的正入射、驻波
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6.0 序 Introduction
图 6.0 平面电磁波知识结构
第 六 章
平面电磁波的传播
本 章 要 求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的 传播特性及基本规律。 传播特性及基本规律。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 了解均匀平面电磁波在工程中的应用。 掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性， 掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性，重点 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。 掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。
γ － t Ex = E0e ε
∂ Ex = 0 解得 ∂t
由于一般介质中
电场、磁场的x分量都为零故 由于 电场、磁场的 分量都为零故 沿波传播方向上无场的分量， 沿波传播方向上无场的分量，称之为 TEM 波 返 回 上 页 横电磁波） （横电磁波）。
γ ε
> 1 近似认为 Ex为零 >
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波的传播速度v大小方向都相同。 波的传播速度 大小方向都相同。反射波也有类似结论 大小方向都相同
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平面电磁波的传播
6.2.2 理想介质中正弦均匀平面电磁波 波动方程相应的复数表达形式为： 波动方程相应的复数表达形式为： & & d2 Ey d2 Hz 2 2 & & & = ( jω) µε Ey = k Ey , = k2Hz d x2 d x2 式中 k = jω µε = jβ k—传播常数 ( propagation constant)， ， 通解
∂ Hy
∂ Ez = γ Ez +ε （3） ∂x ∂t
第 六 章
平面电磁波的传播
∂H ∇× E = −µ ∂t
得
∂ Hx =0 ∂t
∂ Hy ∂ Ez =µ ∂x ∂t
∂ Ey ∂ Hz = −µ ∂x ∂t
（4） E的x分量方程（这里无 分量） 的 分量方程 这里无x分量 分量方程（ 分量）
（5） Y分量方程 分量方程 （6） Z分量方程 分量方程
波的传播速度
+ y + z
v=1 µε
µ +2 ' S = E (x,t)× H (x,t) = E H ex = Hz ex = vwex ε
+ '
速度的乘积， 速度的乘积，即 S = veω ex 比较两式可知入射波中的电磁能量传播速度
由功率流密度的定义可知应为电磁能量密度和能量流动
ve
与
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（6） (6-9) （5）
若电场只有z轴分量，则磁场仅有 轴分量 轴分量。 若电场只有 轴分量，则磁场仅有y轴分量。 轴分量
∂ Hy ∂ Ez = γ Ez +ε （3） ∂x ∂t
∂ Hy ∂ Ez =µ ∂x ∂t
讨论中使 Ez=0 , Hy=0 ,仅考虑 E y H z 构成的一组平面波以此来研究波的传播特性
同理
∂ Ey
2
∂x
2
− µγ
∂ Ey ∂t
− µε
∂ Ey
2
∂t
2
=0
这就是均匀平面波的波动方程。 这就是均匀平面波的波动方程。
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6.2 理想介质中的均匀平面波
平面电磁波的传播
Uniform Plane Wave in Perfect Dielectric 6.2.1 波动方程的解及其传播特性
∂H 2） ∇×∇× E = ∇×(−µ ) ∂t
∇ × ∇ × E = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
∂E ∇× H = γ E +ε ∂t
∂E ∂2E 因为∇(∇⋅ E) −∇2E = −µγ − µε 2 ∂t ∂t
∇⋅ D = 0
∂E ∂2E 2 ∇ E − µγ − µε 2 = 0 ∂t ∂t
(Solutions and Propagation Characteristic )
波动方程 理想介质中
γ =0
及
∂2Hz 1 ∂2 Hz = 2 2 ∂x v ∂ t2
∂2 Ey
∂2 Ey 1 =µε = 2 2 2 ∂x ∂t v ∂ t2
+ y − y
∂2 Ey
令 v = 1 µε
x x 通解 Ey (x, t) = E (x, t) + E (x, t) = f1(t − ) + f2 (t + ) v v
∂ ∂ =0 , =0 ∂y ∂z
得 γ Ex +ε
∂E ∇× H = γ E +ε ∂t ∂ Ex （1）
∂t =0
由 Maxwell 方程推导
H的x分量方程（这里无 分量） 的 分量方程 这里无x分量 分量方程（ 分量） Y分量方程 分量方程 Z分量方程 分量方程
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∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
+ E y ( x, t ) = 2 E y cos(ωt − β x + φE )
初相位 推导220
H z ( x, t ) = 2 H
+ z
cos(ωt − β x + φH )
此为无限大理想介质中的均匀平面波的正弦稳态解。 此为无限大理想介质中的均匀平面波的正弦稳态解。
第 六 章
平面电磁波的传播
∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
∂ Ey ∂ Hz （6） = −µ ∂x ∂t
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第 六 章
平面电磁波的传播
∂ Ey ∂ Hz （2） = −γ Ey −ε ∂x ∂t
∂ Ey
∂ Hz （6） = −µ ∂x ∂t
则波动方程简化为： 则波动方程简化为：
∂2Hz ∂ Hz ∂2Hz − µγ − µε 2 = 0 2 ∂x ∂t ∂t