古典概型中的一个易错问题

古典概型中的一个易错问题
例1.对于古典概型概率的求法，只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。

困难在于确定基本事件，使之具
有有限性和等可能性。

判断等可能性是被许多人忽略，又使许多人
感到困惑的问题，要做好这一点，需要严谨的思维，切忌想当然。

本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注
意。

例2.一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。

错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A表示“至少有一女孩”这一事件，则Ω={男，男,男，女,女，女}
A={男，男,男，女}
∴PA=2
3
解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。

古典概型中，PA=A包含基本事件的个数
基本事件的总数
仅当所述的试验结果是等可能时才成立。

两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以Ω={男，男,男，女,（女，男），女，女}
A={男，女，女，男,（女，女}，
∴PA=3
4
例2设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，
（1）求这两只球都是白球的概率；
（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。

错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即Ω={白，白,白，黑,（黑，黑）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A={白，白}，所以PA=1
3
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B={白，黑}，
所以PB=1
3
错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有65215
⨯÷=种可能结果，
（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4326
⨯÷=种可能结果，
所以PA=2
5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B
事件共有4224
⨯÷=种可能结果，所以PB=
2 15
解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。

我们不妨把4个白球标以1，2，3，4号，2个黑球标以5，6号，则Ω={1，2,1，3,…1，6（2，1），（2，3），…（2，6）…（6，1）（6，2）…（6，5）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A={1，2,1，3,1，4
（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）}，
所以PA=2
5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B={（1，5，），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，
4）}，所以PB=8
15
解析2：在上述错解2中，计算基本事件个数时看做是无顺序的，所以第（2）问中事件B应有428
⨯=种结果。

正确解法如下：
从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有6530
⨯=种可能结果，
（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4312
⨯=种可能结果，
所以PA=2
5
（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则
B事件共有42216
⨯⨯=种可能结果，所以PB=
8 15
例3在一个盒子中装有12枝圆珠笔，其中7枝一等品，5枝二等品，从中任取3枝，
求恰有1枝一等品的概率：
错解：从中任取3枝，第一次有12种取法，第二次有11种取法，第三次有10种取法，所以从12枝圆珠笔任取3枝的情况共有121110
⨯⨯
种；
用A 表示“恰有1枝一等品”这一事件，则事件A 共有754⨯⨯种情况，
∴PA=754712111066
⨯⨯=⨯⨯ 解析1：错解中基本事件的总数共有121110⨯⨯种取法，这表明在计算基本事件总数时是看作是有顺序的，所以在计算事件A 包含基本事件的个数时，也应该看作是有顺序的。

一等品的圆珠笔可能是第一次取道的，也可能是第二次、第三次，所以事件A 共有5473⨯⨯⨯种情况。

∴PA=5473712111022
⨯⨯⨯=⨯⨯ 解析2：上述例题在计算基本事件总数时也可以看作是无顺序的，若看作是无顺序的，则基本事件总数为1211106⨯⨯÷，事件A 包含基本事件的个数为5427⨯÷⨯（），
∴PA=54277121110622
⨯÷⨯=⨯⨯÷（）。