初中数学反比例函数分类汇编附答案

初中数学反比例函数分类汇编附答案
一、选择题
1．下列各点中，在反比例函数3
y x
=图象上的是（ ） A ．(3，1) B ．（-3，1） C ．(3，
13
) D ．（
1
3
，3） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3. 【详解】
解：A 、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A 正确； B 、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B 错误； C 、∵13=1
33
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C 错误； D 、∵13=133垂
, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D 错误；
故选A.
2．如图，点A 在双曲线4y x =
上，点B 在双曲线(0)k
y k x
=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D 【解析】 【分析】
过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值． 【详解】
过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ， ∵AB ∥x 轴，
∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，
∵AB=2AC ， ∴BC=3AC ， ∵点A 在双曲线4
y x
=上， ∴ACOD S 矩形=4， 同理BCOE S k =矩形，
∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12， ∴k=12， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
3．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝x
C ．y ＝x+1
D ．1y x
=
【答案】D 【解析】 【分析】
需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数． 【详解】
解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误；
B 、y ＝x 是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大，错误；
C 、y ＝x+1是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而减小，错误；
D 、1
y x
=
是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，正确； 故选D ． 【点睛】
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
4．如图，点P 是反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ∆的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）
A ．5-
B ．5
C ． 2.5-
D ．2. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
利用反比例函数k 的几何意义得到1
2
|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k 的值． 【详解】
解：∵△POM 的面积等于2.5， ∴
1
2
|k|=2.5， 而k ＜0， ∴k=-5， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=
k
x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
5．对于反比例函数2
y x
=
，下列说法不正确的是（ ） A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
【答案】C 【解析】 【详解】
由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，
故选C.
考点：反比例函数
【点睛】
本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y
b
x
=（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的
图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】
A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b<0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
7．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝3
x
；③y＝﹣
5
x
：④y＝3x，上述函数中符合条
件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）
A．①③B．③④C．②④D．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝3
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝﹣5
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．
8．如图，直线y1＝x+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝﹣5
x
（x＜
0）的图象交于C，D两点，点C的横坐标为﹣1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF ⊥x轴于点F．下列说法正确的是（）
A．b＝5
B．BC＝AD
C．五边形CDFOE的面积为35
D ．当x ＜﹣2时，y 1＞y 2 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数值与相应自变量的关系，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式，可判断A 选项；
根据解方程组，可得C 、D 点的坐标，根据全等三角形的判定与性质，可判断B 选项； 根据图形的分割，可得梯形、矩形，根据面积的和差，可判断C 选项； 根据函数与不等式的关系：函数图象在上方的函数值大，可判断D 选项． 【详解】
解：由反比例函数y 2＝﹣5
x
（x ＜0）经过C ，点C 的横坐标为﹣1，得 y ＝﹣
5
1
-＝5，即C （﹣1，5）． 反比例函数与一次函数交于C 、D 点， 5＝﹣1+b ，
解得b ＝6，故A 错误；
CE ⊥y 轴于E 点，E （0，﹣5），BE ＝6﹣5＝1．
反比例函数与一次函数交于C 、D 点，联立65y x y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，
x 2+6x +5＝0
解得x 1＝﹣5，x 2＝﹣1， 当x ＝﹣5时，y ＝﹣5+6＝1， 即D （﹣5，1），即DF ＝1， 在△ADF 和△CBE 中，
DAF BCE
AFD CEB DF BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △ADF ≌△CBE （AAS ）， AD ＝BC ，故B 正确； 作CG ⊥x 轴，
S △CDFOE ＝S 梯形DFGC +S 矩形CGOE ＝
()(15)4
22
DF CG FG OG CG ++⨯+g +1×5＝17，故C 错误；
由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分， 得﹣5＜x ＜﹣1，
即当﹣5＜x ＜﹣1时，y 1＞y 2，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，点的坐标与函数解析式的关系，全等三角形的判定与性质，图形分割法求图形的面积，函数图象与不等式的关系．
9．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4
y x
=的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=
4
x
中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限， ∵-2＜a ＜0， ∴0＞y 1＞y 2，
∵C （3，y 3）在第一象限， ∴y 3＞0， ∴213y y y <<， 故选D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
10．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1
y x
=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <
4
B ．
011<x <43
C ．01
1<x <
32
D ．
01
<x <12
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1
y x
=
的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】
解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2
y x 2=+与1
y x
=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当x=14时，2
1y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，2
1229y x =+=，1y 3x
==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=
12时，2
1224y x =+=，1y 2x
==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2
y x 23=+=，1
y 1x
=
=，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <3
2
． 故选C ． 【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
11．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．25
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，） ，求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值． 【详解】
设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ）， 在mn
y x =
中，令2y n =，解得：2
m x =， ∵1CDE S =V ， ∴
111,12222
m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn = ∴4k = 故选：B 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．
12．已知1122(,),,)A x y B
x y （均在反比例函数2
y x
=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<
C ．120y y <<
D ．210y y <<
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】
解：∵反比例函数2
y x
=
中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，
∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．
13．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-
和2k
y x
=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（ ）．
A ．8-
B ．8
C ．2-
D ．4-
【答案】A 【解析】 【分析】
设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可． 【详解】
解：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ）， ∵点A 在反比例函数12
y x
=-的图象上， ∴ab ＝−2；
∵B 点在反比例函数2k
y x
=的图象上， ∴k ＝2a•2b ＝4ab ＝−8． 故选：A ．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．
14．反比例函数k y x =的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．312y y y >>
D ．231y y y >> 【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.
【详解】
解：∵反比例函数k y x
=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，
∵-2<4<5，
∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限，
∴23y y <<0，10y > ，
∴132y y y ＞＞.
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.
15．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x
=-<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．1.5
【答案】C
【解析】
先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解.
【详解】
解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2
0y x x =-
<交于点(),1A m ∴21m
=-则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得
()122n =-⨯-+
∴n=-3
∴23y x =--
则点B （0，-3）
∴AOB V 的面积为
132=32
⨯⨯ 故应选：C
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想．
16．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x
（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）
A ．y=﹣6x
B ．y=﹣4x
C ．y=﹣2x
D ．y=2x
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出13
BCO AOD S S =V V ，进而得出S △AOD =3，即可得出答案． 【详解】
过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，
∵∠BOA =90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，
∵
BO
AO
=tan30°
=
3
3
，
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，
∵
1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，
∴S△BCO=
1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣
2
x
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
17．如图，平行于x轴的直线与函数1
1
k
y(k0x0)
x
=>>
，，2
2
k
y(k0x0)
x
=>>
，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若ABC
V的面积为4，则12
k k
-的值为()
A．8 B．8-C．4 D．4-
【答案】A
【解析】
【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到
()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222
=⋅=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，
A ∴，
B 两点纵坐标相同，
设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，
()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222
=⋅=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，
故选A ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.
18．在函数()0k y k x
=
<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ） A ．123y y y <<
B ．132y y y <<
C ．321y y y <<
D ．231y y y <<
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可．
【详解】 解：(0)k y k x
=<Q 的图象上有1(1,)A y 、2(1,)B y -、3(2,)C y -三个点， 11y k ∴⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=， 1y k ∴=，2y k =-，312
y k =-， 而k 0<，
132y y y ∴<<．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x
=（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．
19．如图，点A在反比例函数
3
(0)
y x
x
=-<的图象上，点B在反比例函数
3
(0)
y x
x
=>的
图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形ABCO的面积是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
因为四边形ABCO是平行四边形，所以点A、B纵坐标相等，即可求得A、B横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形
∴点A、B纵坐标相等
设纵坐标为b，将y=b带入
3
(0)
y x
x
=-<和
3
(0)
y x
x
=>中，
则A点横坐标为
3
b
-，B点横坐标为
3
b
∴AB=336
()
b b b --=
∴
6
6 ABCO
S b
b
=⨯= Y
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．
20．如图，,A B是双曲线
k
y
x
=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO
-∆的
面积为12，则k的值为（）
A ．3-
B ．4-
C ．5-
D ．6-
【答案】C
【解析】
【分析】 分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，根据S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE =12，故可得出k 的值．
【详解】
分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，
∵双曲线k y x
=
的图象的一支在第二象限 ∴k<0， ∵A ，B 两点在双曲线k y x
=
的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5k -） ∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE =
1||11||(||)(51)1||525225k k k k ⨯+⨯-+⨯⨯-⨯⨯=12||5
k =12， 解得，k=-5
故选：C ．
【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．。