安徽省六安市舒城中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理

舒城中学2018-2019学年度第二学期期末考试
高二理数
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意。

请
把正确答案填在答题卷的答题栏内。

）
1. 集合1
{|()1},{|lg(2)}2
x
M x N x y x =≥==+，则M N ⋂等于
（ ） A. [)0,+∞
B. (]2,0-
C. ()2,-+∞
D. ()[),20,-∞-+∞U
2. 已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =
（ ） A ．i
B ．i -
C ．
455i - D ．455
i
+ 3. “α≠β”是cos α≠cos β”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4. 函数(
)
3
2ln 1y x x x =++-的图象大致为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 为了得到函数y ＝)6
2sin(π-x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象
( )
A ．向右平移π6个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π
3个单位长度
6. 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值为 ( )
A ．13
B ．4
C ．6
D ．18
7. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作圆222
x y a +=的切线FM （切点为M ），
交y 轴于点P 。

若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是
（ ）
A ．2
B C D
8. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，AB=2，AC BC ==
，则AO BC ⋅u u u r u u u r
等于
（ ）
A ．94
-
B ．
94 C ．12
-
D ．
12
9. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的离心率e>2
3
的概率
是
( ) A ．118 B ．536 C ．16 D ．13
10. 设(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，若S ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则S 的值为 ( )
A ．2n
B ．2n ＋1
C ．3n －12
D ．3n ＋1
2
11. 已知函数3()21f x x x =++，若(1)1x
f ax e -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值
范围为
（ ）
A ．(1,)e
B ． (0,1)
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞ 12. 两个半径都是r （r ＞1）的球O 1和球O 2相切，且均与直二面角α﹣l ﹣β的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O 1和球
开始
a =2, i =1 i ≥2019
a a 11-
=
i=i+1
结束
输出a 是
否
O 2都外切，则r 的值为
（ ） A ．
B ．
C ．
21
+ D ．
73
+ 二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分。

请把正确答案
写在答卷上。

）
13. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°， 则|a －b |＝_____
14.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 15. 如果不等式24x x ->(a －1)x 的解集为A ，且A ⊆{x |0<x <2}， 那么实数a 的取值范围是
16. 已知12,F F 是椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，
过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且11||3||AF BF =,
2||||AB BF =,则椭圆C 的离心率为________
三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，把解题过
程和步骤写在答题卷上。

第17-21题为必考题，第22、23题为选考题。

） （一）第17—21题为必做题 17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，21a -，31a -成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18. （本小题满分12分）
在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=DC=
1
2
BC=1，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD ．
（1）证明：ED ∥面PAB ；
（2）若PC =2，PA =3，求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．
19. （本小题满分12分）
某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，1
2，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，1
4，两人租车时间都不会超过三小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．
20. （本小题满分12分）
已知函数2
()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，
求实数a 的取值集合；（ 2）当38
a =时，函数()y f x =在[,)()n
e n Z +∞∈有零点，求n 的最大值
21．（本小题满分12分）
已知抛物线2
4x y =的焦点为F, A 、B 抛物线上的两动点，且λ=（λ＞0）,过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. (1)证明：•为定值；
(2)设△AMB 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．
（二）第21、22题为选做题 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 过点(,1)P a ,其参数方程为
()
1
x a
t a R
y
为参数，
⎧=
⎪
∈
⎨
=
⎪⎩
，以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2
cos4cos0
ρθθρ
+-=．
(1)求曲线
1
C的普通方程和曲线
2
C的直角坐标方程；
(2)已知曲线
1
C和曲线
2
C交于,A B两点，且2
PA PB
=，求实数a的值．
23．（本小题满分10分）
已知函数()11
f x x mx
=++-，m R
∈。

（1）当2
m=-时，求不等式()2
f x≤的解集；
（2）若()3
f x x
≤+的解集包含[]
1,2，求实数m的取值范围。

高二下期末参考答案：
BABC BABC CDDD
-1 [2，＋∞)
17. （1）设公差为，则，，
由题意，则，故
（2），
18. （1）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=
又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB
（2）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．
过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D平面角．在△ADC中，，连接AE，．
在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值
法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB ，则A 在以BC 为直径的圆上，∴AB ⊥AC ．
∵面PAC ⊥平面ABCD ，且平面PAC ∩平面ABCD=AC ，∴AB ⊥面PAC ． 如图以A 为原点，方向分别为x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系．
可得
，
．
设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有
，
，
解得．则
，，
．
设面PDC 的一个法向量为，
由，取x 0=1，得．
为面PAC 的一个法向量，且，设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ，
则有，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．
19. 解 (1)甲、乙两人所付租车费用相同即为2,4,6元．都付2元的概率为P 1＝41×21＝81
； 都付4元的概率为P 2＝21×41＝81；都付6元的概率为P 3＝41×41＝161， 故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝81＋81＋161＝165
. (2)依题意知，X 的可能取值为4,6,8,10,12.
P (X ＝4)＝41×21＝81；P (X ＝6)＝41×41＋21×21＝165；P (X ＝8)＝41×41＋21×41＋21×41＝165
；
P (X ＝10)＝41×41＋21×41＝163；P (X ＝12)＝41×41＝161
，
故X 的分布列为
X 4 6 8 10 12 P
81
165
165
163
161
E (X )＝4×81＋6×165＋8×165＋10×163＋12×161＝215
.
20.
21. (1)证明：由已知条件，得F (0,1)，λ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由→AF ＝λ→FB
，即得(－x 1,1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，
1－y1＝λ(y2－1， ②－x1＝λx2， ①
将①式两边平方并把y 1＝41x 12，y 2＝41x 22代入得y 1＝λ2
y 2.③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝λ1，且有x 1x 2＝－λx 22
＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝41x 2，求导得y ′＝21
x .
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝21x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝21
x 2(x －x 2)＋y 2，
即y ＝21x 1x －41x 12，y ＝21x 2x －41x 22. 解出两条切线的交点M 的坐标为，－1x1＋x2. 所以→FM ·→AB ＝，－2x1＋x2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝ 21(x 22－x 12)－212
＝0， 所以→FM ·→AB
为定值，其值为0.
(2)解：由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝21
|AB ||FM |. |FM |＝ 2＋(－22x1＋x2＝ x1x2＋41＝ ×(－4＋41
＝ ＋21＝＋λ1.
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋λ1＋2＝λ12
. 于是S ＝21|AB ||FM |＝21λ1
3，
由＋λ1
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.
22. (1)C 1的参数方程为消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0，C 2的极坐标方程为
ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y 2＝4x ． 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x ．
(2)曲线C 1的参数方程可转化为(t 为参数，a ∈R)，代入曲线C 2：y 2＝4x ，
得＋1－4a ＝0，由Δ＝，得a>0，
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，
由|PA|＝2|PB|得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，
当t 1＝2t 2时，解得a ＝ ；当t 1＝－2t 2时，
解得a ＝，综上，a ＝或．
23.（1）当时，.
①当时，可化为，得，解得，∴
；
②当时，可化为，得，解得，∴；
③当时，可化为，得，解得，∴；综上所述，不等式的解集是；
（2）由题意知，对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
∵当时，，∴对任意的，恒成立，
∵，，∴，∴，即实数的取值范围为.。