2021年上海市市西中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021年上海市市西中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是
，则的一个可能取值是（）[
A． B．C． D．
参考答案：
D
2. 已知，，若∥，则的值是( )
A、1
B、－1
C、
4 D、－4
参考答案：
D
略
3. 执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为
（A）
（B）
（C）（D）
参考答案：
B
4. 二项式（﹣）10展开式中的常数项是（）
A．360 B．180 C．90 D．45
参考答案：
B
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（﹣2）r
令5﹣r=0得r=2
所以展开式的常数项为=180
故选B
5. 已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )
A．3 B． C．2 D．
参考答案：
C
略
6. 已知函数的图象如下图，则导函数的图象可能为选项中的（）
参考答案：
D
略
7. 已知随机变量服从二项分布，则等于
A. B. C. D.参考答案：
D
.
8. 有以下命题：
①命题“使”的否定是“”；
②椭圆的离心率为，则越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆；
③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.
其中，错误的命题的个数是（）
A．3 B．2 C．1
D．0
参考答案：
D
略
9. 抛物线的准线方程是（）A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 若则目标函数的取值范围是
A．[2，6] B．[2，5] C．[3，
6] D．[3，5]
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，
，则A
=，．
参考答案：
，2
12. 设{a n}是首项为，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若成等比数列，则的值为__________．
参考答案：
．
试题分析：依题意得，∴，解得．
考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．
13. 若复数是纯虚数，则实数a= _________________ 。

参考答案：
2 【分析】
将复数化简为标准形式,取实部为0得到答案.
【详解】
【点睛】本题考查了复数的计算,属于简单题.
14. 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形的面积为 ．ks5u 参考答案： 2 略
15.
=
．
参考答案：
解析：设，则 ，,，即有
，，。

所以有 . 于是可得 ，且当
时，. 因此
16. 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2
﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围 ．
参考答案：
【考点】51：函数的零点；3T ：函数的值．
【分析】由题意可得h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2
﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有
，由此求得m 的取值范围．
【解答】解：∵f（x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”， 故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即
，解得﹣＜m≤﹣2，
故答案为
．
17. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2+4y ﹣96=0，有下列结论： ①x+y 的最小值为
；
②对任意实数m ，方程（m ﹣2）x ﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解； ③过点M （0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为y=3； ④若x ，y∈N *，则xy 的值为36或32．
以上结论正确的有 （用序号表示）
参考答案：
①③④
【考点】圆的一般方程．
【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10
sin （θ+45°）≥﹣2﹣10
，判
断①正确；方程（m ﹣2）x ﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m ﹣2）x ﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相
交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A ，B 关于y 轴对称，求出点M 到AB 的距离为15，故AB 的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x 2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x ，y∈N *
时xy 的值，判断④正确．
【解答】解：方程x 2+y 2+4y ﹣96=0 即 x 2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．
令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10
sin （θ+45°）≥﹣2﹣10
，故①正确；
方程（m ﹣2）x ﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m （x ﹣2y+16）﹣（2x+y ﹣8）=0， 表示过x ﹣2y+16=0 与2x+y ﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上， 故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；
过点M （0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A ，B ，由圆的对称性、切线的对称性
知，
A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，
点M到AB的距离为MA?cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；
圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 数列记
（1）求b1、b2、b3、b4的值；
（2）求数列的通项公式及数列的前n项和
参考答案：
（1）由
整理得
（2）由
所以略
19. （本题10分）已知函数
（1）求证：；
（2）当时，求证：。

参考答案：
解：（1）
令，则（2分）
由得，
由得，
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减（4分）所以
故，即（5分）
（2）要证
只需证明
只需证明
即证明（8分）
因为，所以
由（1）可得，成立，
所以原不等式成立。

（10分）
20. （本题满分12分）
已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，问是否存在实数使;若存在求出的值；若不存在说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，
则右焦点F（）由题设
解得故所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得
由于直线与椭圆有两个交点，即
从而
又，则
即所以不存在实数使21. (Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）已知：a，b，c均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
参考答案：
略
22. 已知双曲线过点，它的渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；（5分）
（2）设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的余弦值.（7分）
参考答案：
解：（1）设所求双曲线的方程为：，由于在该双曲线上，
代入方程解得，所以所求双曲线方程为：
（2）由双曲线定义：，在中，由余弦定理：
略。