祥符区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

祥符区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
2． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知函数，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
4． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1+i B ．﹣1﹣i C ．﹣1+i
D ．1﹣i
6． 在二项式
的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
7． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
8． 在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2xsinB+（1﹣x 2）sinC=0有两个不等的实根，则A 为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在
9． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，使得2
π
=
∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3log 4
)(-=
在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)(
10．在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件
11．设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．（2，4） B ．（2，﹣4）
C ．（4，﹣2）
D ．（4，2）
二、填空题
13．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．
14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
15．在△ABC 中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．
17．（
﹣2）7的展开式中，x 2
的系数是 ．
18．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值
是 ．
三、解答题
19．已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
20．设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．
21．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256
log ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
22
．已知椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一
点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，已知M （﹣a ，0），N （a ，0），其中a ∈R ，若直线l 上有且只有一点P ，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
24．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
转速x （转/秒）
16
14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y （件） 11
9
8
5
（1）画出散点图； （2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围
内？
参考公式：线性回归方程系数公式开始=， =﹣x ．
祥符区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高杂质低合计
旧设备37 121 158
新设备22 202 224
合计59 323 382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
2．【答案】D
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f（）﹣2f（x）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
3．【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1
4．【答案】A
【解析】解：考虑当向高为H的水瓶中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系．
如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V＜水瓶的容积的一半．
对照选项知，只有A符合此要求．
故选A．
【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①
又z+=2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选D．
6．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2， 则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2
=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7． 【答案】D 【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1，
故选：D ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
8． 【答案】A
【解析】解：在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2xsinB+（1﹣x 2
）sinC=0有两个不等的实根，
即（sinA ﹣sinC ）x 2+2sinB x+（sinA+sinC ）=0 有两个不等的实根，∴△=4sin 2B ﹣4 （sin 2A ﹣sin 2
C ）＞0，
由正弦定理可得 b 2+c 2﹣a 2
＞0，再由余弦定理可得 cosA=
＞0，
故A 为锐角， 故选A ．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()1132
2
=-++y x 有公共点,所以
121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x
x
x f 3log 4-=
，()0log 144
3<-=f ,()0log 3
4
333>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3log 4
)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
10．【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），
∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=或A=，
故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
11．【答案】A
【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】π.
【解析】∵2
2tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==221tan 0
x k x ππ⎧≠+⎪
⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,
)(,)244442k k k k k k π
π
π
πππ
ππππ
ππ-
+-
+-
++++，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而
可知其最小正周期为π，故填：，π.
14．【答案】63
【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．
因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，
所以a 1=1，a 3=4．
设等比数列{a n }的公比为q ，则，所以q=2． 则
．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
17．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．
由，得r=3．
∴x2的系数是．
故答案为：﹣280．
18．【答案】4．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
三、解答题
19．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n =3，或a n =3•（﹣）n ﹣3
；
（Ⅱ）证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符；
故a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，
故b n =log 2=2n ，
故c n =
=﹣
，
故c 1+c 2+c 3+…+c n =1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
20．【答案】
【解析】解：∵
，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1），
∴当x ∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f ′（x ）＞0；
当x ∈（﹣，1）时，f ′（x ）＜0；
∴f （x ）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f （﹣）=﹣
﹣×+2×+5=5+
，f （2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max （x ）=f （2）=7；
故对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立可化为7＜m ；
故实数m 的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
21．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．
Ⅱ 由8
82222222562log ()log log 28212
n n n n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；
当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
22．【答案】
【解析】解：（1）∵
椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
P 是椭圆C
上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴
=
，解得
，
∴椭圆C
的方程为
．…
（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ）
，
△=0，m 2=1+2k 2，同理n 2=1+2k 2m 2=n 2
，m=﹣n ，
设存在，
又m 2=1+2k 2，则|k 2（2﹣t 2）+1|=1+k 2，k 2（1﹣t 2）=0或k 2（t 2
﹣3）=2（不恒成立，舍去） ∴t 2
﹣1=0，t=±1，点B （±1，0），
②当l 1，l 2
的斜率不存在时，
点B （±1，0）到l 1，l 2的距离之积为1．
综上，存在B （1，0）或（﹣1，0）．…
23．【答案】 ①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN 上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正
确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：
（2）=12.5，=8.25，∴b=≈0.7286，
a=﹣0.8575
∴回归直线方程为：y=0.7286x﹣0.8575；
（3）要使y≤10，则0.728 6x﹣0.8575≤10，x≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．
【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．。