推荐-考前三个月(专版)高考知识·方法篇课件专题10 数学方法 第42练

栏目索 引
高考必会题型 高考题型精练
高考必会题型
题型一 配凑法 例1 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1的导函数为f′(x)，g(x)＝f′(x)－ax－3. (1)若x·g′(x)＋6>0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围；
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(2)若对满足0≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围.
即 ln(1＋n)<1＋12＋13＋14＋…＋1n.
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变式训练 2 求证：ln 2<n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n<ln 3.
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高考题型精练
1.当 x＝ 3＋1 时，求 y＝12x3－x2－x＋1 的值. 解 由条件得 x＝ 3＋1，所以 x－1＝ 3， 构造 x－1 的因式，y＝12x3－x2－x＋1 ＝12(x3－2x2－2x＋2)＝12[x(x－1)2－3x＋2] ＝12(3x－3x＋2)＝1.
解析答案
3.求证：－43≤
4－9x2－2x≤2
13 3.
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4.求函数 y＝ x＋ 1－x的最大值. 解 由根号下的式子看出x＋1－x＝1且0≤x≤1， 故可联想到三角函数关系并构造 x＝sin2θ(0≤θ≤π2)， 所以 y＝sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋π4)， 当 θ＝π4，即 x＝12时，ymax＝ 2.
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(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定 点的坐标.
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8.已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性；
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7.椭圆 C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2，1)的距离 为 10.
(1)求椭圆 C 的标准方程； 解 ∵左焦点(－c，0)到点 P(2，1)的距离为 10，
∴ 2＋c2＋1＝ 10，解得 c＝1.
又 e＝ac＝12，解得 a＝2，∴b2＝a2－c2＝3， ∴所求椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
∴x∈∅，综上所述，0Fra bibliotekx<13.
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变式训练 1 设非零复数 a，b 满足 a2＋ab＋b2＝0，求(a＋a b)1 998＋(a＋b b)1 998.
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题型二 构造法
例2 证明
求证：ln(1＋n)<1＋12＋13＋14＋…＋1n. 构造函数 f(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，f′(x)＝1＋1 x－1＝1－＋xx<0，
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(2)当 x≥1 时，f(x)≤xl＋n x1恒成立，求 a 的取值范围.
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本课结束
再见
2019/11/23
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当x>0时，有f(x)<f(0)＝0，
即有ln(1＋x)<x(x>0)， 因而有 ln(1＋11)<1，ln(1＋12)<12，ln(1＋13)<13，…，ln(1＋1n)<1n.
故 ln(1＋11)＋ln(1＋12)＋ln(1＋13)＋…＋ln(1＋1n)<1＋12＋13＋14＋…＋1n，
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解析答案
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(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x) ＞k(x－1).
解析答案
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6.设 a 为实数，证明以 4a2＋3， a2－a＋1， a2＋a＋1为边长可以构成一 个三角形，且三角形的面积为定值.
解析答案
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故 f(x)的单调递增区间是0，1＋2
5 .

解析答案
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1；
证明 令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)， 1－x2
则有 F′(x)＝ x . 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0， 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0， 即当x＞1时，f(x)＜x－1.
解析答案
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x－12 5.(2015·福建)已知函数 f(x)＝ln x－ 2 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间； 解 f′(x)＝1x－x＋1＝－x2＋x x＋1，x∈(0，＋∞). 由 f′(x)＞0 得x－＞x02＋，x＋1＞0，
1＋ 解得 0＜x＜ 2
5 .
专题10 数学方法
第42练 配凑法与构造法
题型分析 高考展望
配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两 端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有) 解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围 已知，另一个范围未知.构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的 道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独 辟蹊径，顺利解决问题.这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良 好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识， 也有利于培养学生的研究能力.
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解析
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2.已知 a，b，c 为正数，求函数 y＝ x2＋a2＋ c－x2＋b2的最小值. 解 构造向量a＝(x，a)，b＝(c－x，b)， 则原函数就可化为 y＝|a|＋|b|≥|a＋b| ＝ x＋c－x2＋a＋b2＝ c2＋a＋b2， ∴ymin＝ c2＋a＋b2.
解 g(x)＝3x2＋3a－ax－3＜0对一切0≤a≤1恒成立，
若x＝3，则g(x)＝3x2＋3a－ax－3＝24＞0不满足，
∴x∈∅，
若
x<3，则
3－3x2 a< 3－x 对一切
0≤a≤1
恒成立⇒33－－3xx2>1⇒0<x<13，
若
x>3，则
3－3x2 a> 3－x 对一切
0≤a≤1
恒成立⇒33－－3xx2<0⇒3－3x2>0⇒－1<x<1，