线性控制系统的能控性与能观测性修改

6
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态 为状态空间原点，即零态。
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0, t f ] 的有 限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到零 态 x(tf ) 0 ，则称系统是状态能控的。
x1 1 2 2 x1 2
Байду номын сангаас
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2
1）构造能控性判别矩阵： B 0,
1
1 2 2 2 4
AB
0
1
1
0
1
1 0 1 1 1
1 2 2 4 0
A2B
0
1
1
1
0
1 0 1 1 5
x4
4 0
0 4
1
x1 1
x2
1
x3 0
0
4
x4
3
0 2 0 6
1
3 u 状态不完全能控
0 9
18
二、秩判据
对于线性连续定常系统：x Ax Bu 状态完全能控的 充分必要条件是其能控性判别矩阵：
M [B AB A2B An1B] 满秩
即： rankM rank[B AB A2B An1B] n
x1 7 0 0 x1 2
1）
x 2
0
5
0
x2
5
u
x3 0 0 1 x3 7
状态完全能控
x1 7 0 0 x1 2
2）
x 2
0
5
0
x2
0
u
x3 0 0 1 x3 9
状态不完全能控 X2 状态不能控
3）
x1 x 2
1 3
0
x
1)
0
2 1
0 2
y
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
x
状态完全能观测
2 1 0
2)
x
0 0
2
3 0
x 1 3
y
0 0
1 1
1 1
0 1
x
状态不完全能观测 x1不 能 观 测
2 1 0
3)x
0 0
2
2 0
x 1 2
状态不完全能观测 1、3列列线性相关
y
2）求能控性判别矩阵的秩：
2 rankM rank 0
4 1
0
0
3
1 1 5
故系统的状态完全可控
23
3.3 能观测性及其判据
指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答 了状态变量能否由输出反映出来。 有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能 能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过 y(t)确定下来的状态称为不能观状态。
x~
B~u
0
J
k
中， B~ 阵中与每个约当小块 Ji (i 1,2,..., k)
最后一行所对应的元素不全为零。
15
推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统， 其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一 行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能 控，否则状态不能控。
x(t f ) (t f
t0 )x(t0 )
tf t0
(
t
f
)Bu( )d
0
由（1）式得：
x(t0 )
tf t0
(
t0
)Bu( )d
n1
由凯利－哈密顿定理 e A(t) aj (t) A j 有：
j0
n1
(t0 ) e A(t0 ) aj (t0 ) A j
j0
（1） （2）
3
一、例子
例1：系统的结构图如下
s1 x2
2
u
s1 x1 y
3
显然，u 只能控制 x1 而不能影响 x2 ，我们称
状态变量 x1 是可控的，而 x2 是不可控的。只
要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系
统是状态不可控的。
4
例2:取 iL和 uc作为状态变量,u—输入,
y= uc --输出.
9
一、约当标准型判据
1、具有约当标准型的系统
（1）系统特征根为单根
状态方程为：.
，则系统状态完全
x Ax Bu
能控的充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零。
10
（2）系统特征根有重根 状态方程为：x. Jx Bu ，则系统状态完全 能控的充要条件为： Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行 元素不全为零。
x
0
0
1
x
0u,
6 11 6 1
[解]：
1）构造能观测性判别矩阵：
C 4 5 1
0 1 0
CA 4
5
1
0
0
1
6
7
1
6 11 6
1 0
1 1
1 0
0 1 x
33
2、秩判据
对于线性连续定常系统：x Ax, y Cx 状态 完全能观测的充分必要条件是其能观测性判 别矩阵：
C
Qo
CA
CT ATCT ( AT )n1CT
T
CAn1
满秩
即： rankQo n
34
0 1 0 0
[例]
判别如下系统的能观测性
11
12
2、具有一般形式的系统
系统的线性变换不改变系统的能控性。
（1）设线性系统 x Ax Bu 具有两两相异的特征
值 1, 2,..., n 则其状态完全能控的充分必
要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线
标准型：
1
0
x
2
x Bu
0
n
中，B 不包含元素全为0的行。 13
[例]：考察以下系统的能控性：
状态能否由输出反映（估计问题）
2
▪3.1 能控性定义
指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t) 的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转 移的问题。
有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能 不受u(t)的控制。
受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制 的状态称不能控状态。
（3）
20
将（3）式代入（2）式得：
x(t0 )
tf t0
n1
aj (t0
j0
) A j Bu( )d
n1 j0
AjB
tf t0
aj (t0
)u( )d
（4）
B
tf t0
a0 (t0
)u( )d
AB
tf t0
a1 ( t0
)u( )d
An1 B
tf t0
an1 ( t0
)u(
)d
令：
Uj
tf t0
aj
(t0
)u(
)d
,
j 0,1,n 1
（5）
将（5）式代入（4）式得：
x(t0 ) (BU0 ABU1 An1BUn1)
B
AB
An1B
UT 0
UT 1
UT T n1
MU
（6）
21
由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：
x(t0 )为n 1维向量 B为n r维, AB为n r维, M为n nr维向量 U j为r 1维, U为nr 1维向量
含义：
1 1
对于：x
0
1
0
1
0
1
x1 b11
x2
b21
x3 b31
0
1
x4
b41
b12
b22
u
b32
b42
如果
b21 b41
b22
b42
行线性无关，则状态能控
16
推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系 统状态必不能控。
[例]：考察如下系统的状态能控性：
7
0
0 5
0 x1 0 1
0
x2
4
0u
x3 0 0 1 x3 7 5
状态完全能控
14
（2）：设线性系统 x Ax Bu具有重特征值，且 每个重特征值只对应一个独立的特征向量，
则其状态完全能控的充分必要条件是系统经
线性非奇异变换后的约当标准型：
J1
0
x~
J2
iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可观测
-
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
u只能控制 iL，
0
状态不可观测．
26
2、能观测性定义
如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时
间 t f t0 ，使得根据 [t0, t f ] 期间的输出 y(t) 能唯一地
确定系统在初始时刻的状态 x(t0) ，则称状态 x(t0) 是 能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的， 则称系统是状态能观测的。
例如：
1 1
A
0
1
0
0
1
1
,
0 1
c
c11 c21
c12 c22
c13 c23
c14
c24
c11 c21
c13
c23
列线性无关，则状态能观测
推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统， 系统状态必不能观测。
32
[例]：考察如下系统 的能观测性：
3 1 0
x
0 0
3 0
24
一、能观测性的定义
1、举例
系统结构图如下
u
x1 s1 x1
2
x2 s1
3
x2 y
显然输出 y 中只有 x2 ，而无x1 ，所以从 y 中 不 的能，确x1定是不x1可，观只测能的确。定 x2 。我们称 x2是可观测
25
例2:取 iL和 uc作为状态变量,u—输入,
y= uc --输出.
L
+ u
7
2、系统的状态能达性： 初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状 态空间任意非零有限点。 如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0 , t f ] 的有 限时间内使得系统从零态 x(t0) 0 转移到任意非零 状态 x(tf ) ，则称系统是状态能达的。
8
3.2 能控性判据
约当标准型判据 秩判据
式（6）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道， 其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：
rank(M) rankM x(t0 )
由于x(t0)任意，所以，必须有： rank(M) n
[证毕]
[说明]：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：
rankM rankMMT
22
[例] 判别如下系统的能控性
x1 4 1 0 x1 0
x 2
0
4
0
x2
4u
x3 0 0 2 x3 3
状态完全能控
x1 4 1
x2 x3
x4
0
4 0
0 1
1
x1 1
x2
0
x3 0
0
1
x4
0
0 0 0 1
1 2 u 0 0
状态完全能控
17
x1 4 1 0 x1 4 2
x 2
0
4
0
x2
0
0 u
x3 0 0 2 x3 3 0
状态不完全能控 X2 状态不能控
x1 4 1
x2
x3
0
x4
4 0
0 4
1
x1 1
x2
1
x3 0
0
4
x4
1
0 2 0 3
1
3 0
u
状态完全能控
2
x1 4 1
x2
x3
0
[证明]： 证明目标： 对系统的任意的初始状态 x(t0) ，能否找到输入u(t)， 使之在[t0, t f ] 的有限时间内转移到零 x(tf ) 0 。则系 统状态能控。
19
已知：线性定常非齐次状态方程的解为：
t
x(t) (t t0 )x(t0 )
(t )Bu( )d
t0
将 t t f 代入上式：
27
3.3 能观测性判据
约当标准型判据 秩判据
28
二、能观测性判据：1约当标准型判据 2.秩判据
1、约当标准型判据
前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性
（1）线性系统 x Ax, y Cx 具有两两相异的特征值
1, 2,..., n 则其状态完全能观测的充分必要条件 是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：
主要内容
1. 能控性定义 2. 能控性 3. 能观测性及其判据 4. 离散系统的能控性和能观测性
1
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间 描述相对应。 能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。
输入能够控制状态（控制问题） 能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。
L
+ u
iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可控
-
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
u只能控制 iL，
0
状态不可控．
5
二、能控性定义
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0 ,t f ] 的有 限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到任一 终端状态 x(tf ) ，则称此状态是能控的。如果系统的 所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。
则其状态完全能观测的充分必要条件是系统 经线性非奇异变换后的约当标准型：
J1
0
x~
J2
x~ ,
y C~x
0
J
k
中，C~ 阵中与每个约当小块 Ji (i 1,2,..., k) 首列所对应的列，其元素不全为零。
31
推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一 个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是 列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。
1
0
x
2
x,
0
n
y Cx
中，C 不包含元素全为0的列。
29
[例]：考察如下系统的能观测性：
7
0
x
0
5
x
1
y 0 4 5x
状态不完全能观测 x1不 能观 测
7
0
x
0
5
x
1
y
3 0
2 3
0 1
x
状态完全能观测
30
（2）：设线性系统 x Ax, y Cx 具有重特征值， 且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，