专题02 几何最值之费马点模型(解析版)

专题02 几何最值之费马点模型
费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
费马点的性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
证明过程：
将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE
例1．（2022·四川·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC 于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
例2．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）如图，在ABC V 中，901CAB AB AC Ð=°==，，P 是ABC V 内一点，求PA PB PC ++的最小值为______．
2
【变式训练1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】4+33
易证△AMD≌△AGF，∴MD
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG
过F作FH⊥BC交BC于H
【变式训练2】（2019·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图，将ABC D 绕点A 逆时针旋转60°得到ADE D ，DE
与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE
+=
问题解决：如图，在MNG D 中，6MN =，75M Ð=°，MG =O 是MNG D 内一点，则点O 到MNG D 三个顶点的距离和的最小值是___________
【变式训练3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH
上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．
课后训练
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD （不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．
3.（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求
+最小值
3PC
4．（2022·福建三明·八年级期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，
提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P 是ABC V 内的一点，将APC △绕点A 逆时针旋转60°到AP C ¢¢V ，则可以构造出等边APP ¢V ，得AP PP ¢=，CP CP ¢=，所以PA PB PC ++的值转化为PP PB P C +¢+¢¢的值，当B ，P ，P ¢，C 四点共线时，线段BC 的长为所求的最小值，即点P 为ABC V 的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P 是等边ABC V 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，将PAC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ¢¢V ．
①若3PA =，则点P 与点P ¢之间的距离是______；
②当3PA =，5PB =，4PC =时，求AP C Т的大小；
(2)如图2，点P 是ABC V 内的一点，且90BAC Ð=°，6AB =，AC =PA PB PC ++的最小值．
②∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC 又∵APP ¢V 是等边三角形，∴∠PAC 在△ABP 与ACP ¢△中，AB AC BAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î
′则,60ACP A CP ACP ACP Ð=ÐÐ+Ð=°′
′′，在Rt ABC V 中，(22262BC AB AC =+=+1,30,602
AC BC ABC ACB =\Ð=°Ð=°Q ，
5．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知ABC V 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC V 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC V 内部，当120APB APC CPB Ð=Ð=Ð=°时，则PA PB PC ++取得最小值．
(1)如图2，等边ABC V 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB Ð的度数，为了解决本题，我们可以将ABP V 绕顶点A 旋转到ACP ¢△处，此时ACP ABP ¢V V ≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB Ð=_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC V 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，ABC V 三个内角均小于120°，在ABC V 外侧作等边三角形ABB ¢V ，连接CB ¢，求证：CB ¢过ABC V 的费马点．
(3)如图4，在RT ABC V 中，90C Ð=°，1AC =，30ABC Ð=°，点P 为ABC V 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．
(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．
(3)解：将△APB 逆时针旋转60°，得到∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△∵PA PB PC PP P B PC
¢¢¢++=++∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，∵90C Ð=°，1AC =，30ABC Ð=
6．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，P 是△ABC 内一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
【答案】22+62
由旋转可得，△AMN≌△ABP
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，（3）当AC=BC=1时，AB=2
当C、P、M、N四点共线时，由
∴AQ=1
2AB=2
2
=CQ，NQ=
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）；②求2
EF的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝22，∠B＝90°
由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，
∴AE ＝EG ，
∵DF≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，
∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．
在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝8.（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点B (0，2)，点D 在x 轴的正半
轴上，30ODB Ð=°，OE 为△BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线2y ax c =+与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
=++，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线（3）点P为△ABO内的一个动点，设m PA PB PO
段AP的长.
3。