河南省驻马店市2018-2019学年第一学期期终考试高二数学理试题(解析版)

河南省驻马店市2018-2019学年第一学期期终考试高二数学理试题（解
析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.“，”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“，”的否定是，，故选：D．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2.下列不等式一定成立的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】解：对于A，B令，，显然不成立，
对于C，令，显然不成立，
对于D，根据不等式的基本性质显然成立，
故选：D．
根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．
3.若公差为2的等差数列的前9项和为，则
A. 4033
B. 4035
C. 4037
D. 4039
【答案】C
【解析】解：由题意，公差，前9项和为，
即，
可得；
．
那么．
故选：C．
根据等差数列的公差，前9项和为，可得通项，即可求解的值．
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
4.“双曲线的渐近线方程为”是“双曲线方程为”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：若双曲线的渐近线方程为，
则对应的双曲线方程为，当时，充分性不成立，
即双曲线的渐近线方程为”是“双曲线方程为”的必要不充分条件，
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义，结合双曲线渐近线方程的性质进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的性质是解决本题的关键．
5.如果把的三边a，b，c的长度都增加，则得到的新三角形的形状为
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 由增加的长度决定
【答案】A
【解析】解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且，c为最大边；
新的三角形的三边长为、、，知为最大边，其对应角最大．
而，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦，则为锐角，
那么它为锐角三角形．
故选：A．
先设出原来的三边为a、b、c且，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为、、，知为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．
6.如图，在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，，，则
等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由题意在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，，，可知：，，
，
．
故选：C．
利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．
本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
7.已知实数x，y满足，则目标函数的最小值是
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】解：作平面区域如图，
化简为，是直线的截距，
故当过点时，有最小值，
故目标函数的最小值为；
故选：A．
作平面区域，从而化简为，是直线的截距，从
而解得．
本题考查了线性规划的解法及数形结合的思想应用．
8.已知数列满足，且
，则的值等于
A. 10
B. 100
C.
D.
【答案】B
【解析】解：数列满足，
则：，
整理得：常数，
且，
则：，
解得：，
所以：，
则：，
，
，
．
故选：B．
首先利用已知条件求出数列的首项和公比，进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：对数的关系式的运算，等比数列的定义和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9.已知向量且，若x，y均为正数，则的最小值是
A. 24
B. 8
C.
D.
【答案】B
【解析】解：向量且，
，
．
，
，当且仅当，时取等号，
故的最小值是8，
故选：B．
根据向量的平行的得到，再根据基本不等式即可求出答案．
本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．
10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且
，则这个椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，
为直角三角形，且，
，
，，
，，
由椭圆的定义知，，
即
离心率为．
故选：A．
先根据题意和圆的性质可判断出为直角三角形，根据，推断出，进而可求得和，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．
本题主要考查椭圆的简单性质椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．
11.如图所示点F是抛物线的焦点，点A、B分别在抛物线及圆
的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的
取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：抛物线的准线l：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
故选：B．
由抛物线定义可得，从而的周长，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．
12.对于任意，，当时，恒有成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：对于任意，，当时，恒有成立，
即成立，
令，
，
在上单调递减，
在恒成立，
在恒成立，
当，，
实数a的取值范围为，
故选：C．
对于任意，，当时，恒有成立，可得成立，令，可知函数在上单调递减，求导，即可求出a的取值范围．
本题考查了函数的单调性，导数和函数的单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数极大值为______．
【答案】2
【解析】解：，
函数在是增函数，在上是减函数，在是增函数，
函数在时取得极大值2，
故答案为：2．
先求函数的导函数，再解不等式和得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值点和极值
利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数x的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．
14.若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的正弦值等
于______．
【答案】
【解析】解：直线l的方向向量，平面的一个法向量，
直线l与平面所成的角的正弦值．
故答案为．
利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面所成角的正弦值．
本题考查了线面几角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15.已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围______．
【答案】
【解析】解：由，得
，
令，
要使在上单调递减，
只需在恒成立，
即在恒成立，
而在递减，
，
故答案为：．
求出函数的导数，问题转化为关于a的不等式，根据函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当得最大值时，角A
的值为______．
【答案】
【解析】解：由三角形的面积公式可得，，
即，
由余弦定理可得，，
可得，
即有
，
当，即时，取得最大值．
故答案为：．
运用三角形的面积公式和余弦定理，可得，再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，可得最大值及A的值．
本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，以及两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知命题p：对数式且有意义；命题q：实数t满足不等式
．
若p为真，求实数t的取值范围；
若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：要使对数有意义，则，
即，得，即实数t的取值范围是
是q的充分不必要条件，是不等式解集的真子集，
令，
，
只需要，即可，
则，
即得，
即实数m的取值范围是．
【解析】根据对数成立的条件解一元二次不等式即可．
根据充分条件和必要条件的定义转化为对应集合真子集关系，构造二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合条件转化为集合关系，构造二次函数，利用函数性质是解决本题的关键．
18.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．
【答案】解：当时，，，
，，
曲线在点处的切线方程为；
，
时，，的单调递减区间为：，
时，在递减，在递增．
【解析】求导数，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程；
先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．
本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．
19.如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
Ⅰ若，求面积的最大值；
Ⅱ若，求．
【答案】本题满分为12分
解：Ⅰ由余弦定理得，分
，当且仅当时取等号；
解得，分
故，即面积的最大值为分
Ⅱ因为，由正弦定理得，分
又，故A，
，分
，
分
【解析】Ⅰ由余弦定理，基本不等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
Ⅱ由正弦定理得，利用三角形内角和定理可求，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．
本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
20.已知数列满足，且．
求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式．
令，求数列的前2n项和．
【答案】解：证明：数列满足，且，
可得，
可得数列是首项为，公差为1的等差数列，
即有，
可得；
，
则前2n项和
．
【解析】对条件两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
求得，运用平方差公式和等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形且，
平面ABCD，，．
证明：平面平面PCE；
求二面角的余弦值．
【答案】证明：连结BD，交AC于点O，设PC中点为F，连结OF，EF，
，F分别为AC，PC的中点，，且，
，且，，且，
四边形ABCD是菱形，，
，平面PAC，，平面PAC，
平面PCE，平面平面PCE．
解：，四边形ABCD是菱形，
是边长为2的等边三角形，
设BC的中点为M，连结AM，则，
以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，2，，2，，
，，0，，
设平面PCE的法向量为y，，
则，取，得，
设平面CDE的法向量为y，，
则，取，得，
设二面角的大小为，由图象得为钝角，
．
二面角的余弦值为．
【解析】连结BD，交AC于点O，设PC中点为F，连结OF，EF，推导出，，且，从而四边形ABCD是菱形，进而，平面PAC，平面PAC，由此能证明平面平面PCE．推导出是边长为2的等边三角形，设BC的中点为M，连结AM，则，以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
22.已知椭圆：的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆：上
求椭圆C的方程；
过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求的最小值．
【答案】解：由题意可知，，由题意C的顶点在圆M上，则，
椭圆的标准方程：；
当直线AB的斜率不存在或为零时，
，
当直线AB的斜率存在，且不为零，直线AB的方程，，，
直线CD的方程：，
，整理得：，
则，，
则，同理可得：，
则，
令，则，则，
，
，
综上可知：，
的最小值．
【解析】由题意可知：，由C的顶点在圆M上，则，即可求得椭圆方程；
分类讨论，直线AB的斜率不存在或为零时，则，当直线AB的斜率存在，代入椭圆方程方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得，换元，根据t的取值范围，即可求得的最小值．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．。