高考数学一轮复习 2.6二次函数、幂函数配套训练 理 新人教A版

第6讲二次函数、幂函数
基础巩固
1.“a=0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”可知,对称轴x=-≤0,即a≥0,所以“a=0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件.
2.函数f(x)=x3与函数y=的图象( )
A.关于原点对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.关于直线y=x对称
【答案】D
【解析】∵函数f(x)=x3与y=互为反函数,
∴它们的图象关于直线y=x对称.
3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )
A.f(-2)<f(0)<f(2)
B.f(0)<f(-2)<f(2)
C.f(2)<f(0)<f(-2)
D.f(0)<f(2)<f(-2)
【答案】D
【解析】由f(1+x)=f(-x)知函数f(x)的图象关于直线x=对称,又抛物线开口向上,结合图象可知f(0)<f(2)<f(-2).
4.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( )
【答案】D
【解析】∵a>b>c,且a+b+c=0,
∴a>0,c<0.结合题中图象可知应选D.
5.若函数f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值( )
A.是正数
B.是负数
C.是非负数
D.与m有关
【答案】B
【解析】方法一:∵函数f(x)=x2-x+a的对称轴为x=,
而-m,m+1关于对称,∴f(m+1)=f(-m)<0.
方法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0.
故f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0.
6.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值是( )
A.-1≤m≤2
B.m=1或m=2
C.m=2
D.m=1
【答案】B
【解析】∵幂函数y=(m2-3m+3)中的系数m2-3m+3=1,
∴m=2或1.
又y=(m2-3m+3)的图象不过原点,
∴m2-m-2≤0,即-1≤m≤2.
故m=2或1.
7.(2013届·山东泰安阶段检测)已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2或a≥3
B.2≤a≤3
C.a≤-3或a≥-2
D.-3≤a≤-2
【答案】A
【解析】由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数,则需所给区间在对称轴的同一侧,即a≤2或a≥3.
8.(2012·浙江温州测试)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】函数f(x)=的图象如图.
由图可知函数f(x)在R上为增函数.
∵f(2-a2)>f(a),
∴2-a2>a,解得-2<a<1.
9.已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是. 【答案】 1≤m≤2
【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴其对称轴方程为x=1.∵f(1)=2,∴m≥1.又由f(x)max=x2-
2x+3=3得x=2或x=0(舍),故m的取值范围为1≤m≤2.
10.对于函数y=x2,y=有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图象关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0),(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物线型.
其中正确说法的序号是.
【答案】①②⑤⑥
【解析】从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.
11.已知幂函数f(x)=为奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(m∈N*,m≥2).
(1)求f(x);
(2)比较f(-2 013)与f(-2)的大小.
【解】(1)∵函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴m2-m-3<0.
解得<m<.
又∵m∈N*,且m≥2,∴m=2.
故f(x)=x-1,符合题意.
(2)∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-2 013)=-f(2 013)=-,
f(-2)=-f(2)=-.
∵->-,
∴f(-2013)>f(-2).
12.已知二次函数f(x)的图象过A(-1,0),B(3,0),C(1,-8)三点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值;
(3)求不等式f(x)≥0的解集.
【解】(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3),
将C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),解得a=2.
故f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
(2)f(x)=2(x-1)2-8,
当x∈[0,3]时,由二次函数图象(图略)知
f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.
(3)由图象(图略)知,f(x)≥0的解集为{x|x≤-1或x≥3}.
13.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使函数y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;
(3)当a=1时,求函数f(|x|)的单调区间.
【解】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∵x∈[-4,6],
∴函数f(x)在区间[-4,2]上单调递减,在区间[2,6]上单调递增.
故函数f(x)的最小值是f(2)=-1.
又f(-4)=35,f(6)=15,故函数f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,
因此,要使f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(3)∵当a=1时,f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时函数f(|x|)的定义域为x∈[-6,6],
且f(|x|)=
故函数f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].
拓展延伸
14.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值.
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
【解】(1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.
于是知f(x)=(x+1)2.
因此F(x)=
故F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在x∈(0,1]上恒成立,
即b≤-x且b≥--x在x∈(0,1]上恒成立,
根据单调性可得y=-x的最小值为0,
y=--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.。