2020-2021学年河北省沧州市七校联盟高三上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜4}B．{x|2≤x＜4}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|2＜x＜4} 2．（5分）复数z＝的虚部是（）
A．B．C．D．
3．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数是（）
A．90B．80C．70D．60
4．（5分）若mn＞0，m+n＝3，则的最小值为（）
A．2B．6C．9D．3
5．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）
A．450B．325C．470D．500
6．（5分）在矩形ABCD中，，，点E满足，则＝（）A．21B．C．﹣22D．
7．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D﹣ABC所得的截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（）
A．B．C．D．
8．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为（）
A．（﹣1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
二、选择题（共4小题）.
9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且a3＝5，a7＝3，则（）A．d＝1B．d＝﹣1C．S9＝18D．S9＝36
10．（5分）已知函数，若将函数f（x）的图象平移后能与函数y＝sin2x的图象完全重合，则下列说法正确的有（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称C．当时，函数f（x）的值域为
D．当函数f（x）取得最值时，
11．（5分）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则（）
A．f（x）的图象关于（﹣2，0）对称
B．f（x）的图象关于（2，0）对称
C．f（2021）＝3+log43
D．
12．（5分）椭圆，F1，F2分别为左、右焦点，A1，A2分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且•+•≥0恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝．
14．（5分）若，则＝．
15．（5分）若P为直线x﹣y+4＝0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2﹣4x＝0的两条切线PM，PN（切点为M，N），则|MN|的最小值是．
16．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E，F分别为棱A1B1，B1C1的中点，点P在线段EF上，则三棱锥P﹣D1AC的体积为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①（sin A+sin B）（a﹣b）＝（sin C﹣sin B）c，②，
③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，_____．求△ABC的面积．
18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有40人．
（1）完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．
准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计
男性
女性
合计
（2）该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽
样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.500.250.050.0250.010 k00.455 1.321 3.840 5.024 6.635 20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP＝90°，PD＝AD，二面角P﹣AD﹣B为60°，E为PD的中点．
（1）证明：CE⊥平面PAD．
（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求Ω的标准方程．
（2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l1，l2（均不垂直于x轴），l1交Ω于A，B两点，l2交Ω于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN 过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1．
（1）若m＝1，求f（x）的极值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜4}B．{x|2≤x＜4}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|2＜x＜4}解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜4}．
故选：B．
2．（5分）复数z＝的虚部是（）
A．B．C．D．
解：∵z＝，
所以复数z的虚部是，
故选：C．
3．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数是（）
A．90B．80C．70D．60
解：（x2+）5的展开式的通项公式为，令10﹣3r＝4，得r＝2，则x4的系数为，
故选：A．
4．（5分）若mn＞0，m+n＝3，则的最小值为（）
A．2B．6C．9D．3
解：因为mn＞0，m+n＝3，
所以．
当且仅当时，，解得m＝1，n＝2取等号，
故选：D．
5．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）
A．450B．325C．470D．500
解：因为[30，35），[35，40），[40，45），[50，55]四组通行时间的频率分别是0.1，
0.25，0.4，0.05，
所以通行时间在[45，50）内的频率是1﹣0.1﹣0.25﹣0.4﹣0.05＝0.2，
通过的车辆台数是235×2＝470．
故选：C．
6．（5分）在矩形ABCD中，，，点E满足，则＝（）A．21B．C．﹣22D．
解：分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系如图：
因为，，，
所以，，
故．
故选：C．
7．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D﹣ABC所得的截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（）
A．B．C．D．
解：很明显EFGH是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，AC∥EH，直线EG和AC所成角为直线EG和EH所成角∠GEH．
因为AC⊥BD，所以∠EHG＝90°．
因为，，所以，故．
故选：A．
8．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为（）
A．（﹣1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）解：令，则，
所以g（x）在R上单调递增．
因为，所以不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0，
可变形得，所以x+1＞2，
解得x＞1．
故选：D．
二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且a3＝5，a7＝3，则（）A．d＝1B．d＝﹣1C．S9＝18D．S9＝36
解：因为a1+a9＝a3+a7＝5+3＝8，
所以．
因为a3＝5，a7＝3，所以公差．
故选：BD．
10．（5分）已知函数，若将函数f（x）的图象平移后能与函数y＝sin2x的图象完全重合，则下列说法正确的有（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称C．当时，函数f（x）的值域为
D．当函数f（x）取得最值时，
解：由题意得，＝
＝＝．因为函数f（x）的图象平移后能与函数y＝sin2x的图象完全重合，
所以ω＝1．因为，
所以函数f（x）的最小正周期，故A正确．
将f（x）的图象向左平移个单位长度，
得到曲线，
其图象关于y轴对称，故B正确．
当时，，，即f （x）的值域为，
故C错误．
令，解得，
所以当f（x）取得最值时，，故D正确．
故选：ABD．
11．（5分）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则（）
A．f（x）的图象关于（﹣2，0）对称
B．f（x）的图象关于（2，0）对称
C．f（2021）＝3+log43
D．
解：根据题意，函数y＝f（x+2）为奇函数，即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），则f（x）的图象关于（2，0）对称，B正确，
若f（2+x）＝﹣f（2﹣x），变形可得﹣f（﹣x）＝f（4+x），
又由f（3+x）＝f（3﹣x），变形可得f（x）＝f（6+x），
则有f（6+x）＝﹣f（4+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），
故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
若f（x）的图象关于（2，0）对称，则（﹣2，0）也是函数f（x）的对称中心，A正确，函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1）＝2+log42﹣1＝，D正确，C错误，
故选：ABD．
12．（5分）椭圆，F1，F2分别为左、右焦点，A1，A2分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且•+•≥0恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）
A．B．C．D．
解：设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
则，，，
．
因为＝＝
恒成立，
所以离心率．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝0．解：∵函数f（x）＝，
∴f（1）＝1﹣2＝﹣1，
f（f（1））＝f（﹣1）＝ln1＝0．
故答案为：0．
14．（5分）若，则＝﹣．
【解答】解∵，∴．
∵，
∴，
故答案为：﹣．
15．（5分）若P为直线x﹣y+4＝0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2﹣4x＝0的两条切线PM，PN（切点为M，N），则|MN|的最小值是．
解：如图，由x2+y2﹣4x＝0，得（x﹣2）2+y2＝4，可知圆C的圆心为C（2，0），半径r＝2．
如图：
要使|MN|的长度最小，即要∠MCN最小，则∠MCP最小．
∵，
∴当|PM|最小时，|MN|最小，
∵|PM|＝，∴当|PC|最小时，|MN|最小．
∵，
∴，，
则．
故答案为：．
16．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E，F分别为棱A1B1，B1C1的中点，点P在线段EF上，则三棱锥P﹣D1AC的体积为2．
解：因为EF∥AC，AC⊂平面D1AC，
所以EF∥EF∥平面D1AC，
所以无论点P在线段EF上什么位置，它到平面D1AC的距离不变．
当点P是EF与D1B1的交点时，，
则P到平面D1AC的距离是B1到平面D1AC距离的．
因为B1到平面D1AC的距离为，
所以P到平面D1AC的距离是，
因为△D1AC的面积，
所以三棱锥P﹣D1AC的体积．
故答案为：2．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①（sin A+sin B）（a﹣b）＝（sin C﹣sin B）c，②，
③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，_____．求△ABC的面积．
解：若选①，由正弦定理，得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即b2+c2﹣a2＝bc，
所以，
因为A∈（0，π），
所以．
因为a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，，，
所以bc＝2，
所以．
若选②，由正弦定理，得．
因为0＜B＜π，
所以sin B≠0，
所以，
化简得，
所以．
因为0＜A＜π，
所以．
因为，，，
所以bc＝2，
所以．
若选③，由正弦定理，得．
因为0＜B＜π，
所以sin B≠0，
所以．
因为，
所以．
因为0＜A＜π，，可得，
可得，可得．
因为a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，，，可得bc＝2，所以．
18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）当n＝1时，，解得a1＝1．
因为S n＝2a n﹣1，①
所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，②
①﹣②得，S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，所以a n＝2a n﹣1．
故数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为．
（2）由题知，，
所以，③，
，④
③﹣④得，，
＝．
所以．
19．（12分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有40人．
（1）完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．
准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性
女性
合计
（2）该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.500.250.050.0250.010 k00.455 1.321 3.840 5.024 6.635解：（1）由题意得2×2列联表如下：
准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性8040120
女性404080
合计12080200因为，
所以有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．（2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的6人中，
男性有人，女性有人．
设“获得500元优惠券者与获得200元优惠券者都有女性”为事件A，
则，
即获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率为．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP＝90°，PD＝AD，二面角P﹣AD﹣B为60°，E为PD的中点．
（1）证明：CE⊥平面PAD．
（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD．
∵∠ADP＝90°，CD∩DP＝D，∴AD⊥平面PCD．
∵CE⊂平面PCD，∴AD⊥CE．
∵二面角P﹣AD﹣B为60°，∴∠PDC＝60°．
∵PD＝AD，CD＝AD，∴△PCD为等边三角形．
∵E为PD的中点，∴CE⊥DP．
∵AD∩DP＝D，
∴CE⊥平面PAD．
（2）解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD的中点．
∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PDC，
∴PO⊥平面ABCD．
设AB的中点为Q，连接OQ，
则OQ∥AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
∵正方形ABCD的边长为2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），，，
∴，，，
∵CE⊥平面PAD，
∴为平面ADE的一个法向量．
设是平面ABE的法向量，
则，
令z＝4，得．
∵．
∴平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求Ω的标准方程．
（2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l1，l2（均不垂直于x轴），l1交Ω于A，B两点，l2交Ω于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN
过定点．
【解答】（1）解：因为离心率，2c＝2，且a2＝b2+c2，
所以c＝1，，b＝2，
故Ω的标准方程为．
（2）证明：由（1）知F（1，0）．
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，消去y得（5k2+4）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，
则，，
所以M的坐标为．
因为CD⊥AB，所以CD的斜率为．
将M坐标中的k换为，可得N的坐标为．
当k≠±1时，设直线MN的斜率为k MN，
则，
所以直线MN的方程为，
即，则直线MN过定点．
当k＝±1时，直线MN的方程为，也过点．
综上所述，直线MN过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1．
（1）若m＝1，求f（x）的极值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
解：（1）当m＝1时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x+1，．
当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调递增；
当时，f'（x）＜0，
，则f（x）在上单调递减．
所以f（x）在时取得极大值且极大值为，无极小值．（2）因为对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，
所以lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
设，则．
设φ（x）＝﹣（x+2lnx），
显然φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为φ（1）＝﹣1＜0，，
所以，使得φ（x0）＝0，即x0+2lnx0＝0．
当x∈（0，x0）时，φ（x）＞0；
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0．
所以F（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以．
因为，所以，
故整数m的最小值为1．。