2020-2021学年北京市某校高三(下)开学数学试卷

2020-2021学年北京市某校高三（下）开学数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】
∵A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|4x<4}＝{x∈N|x<2}＝{5, 1}，
∴A∩B＝{x∈R|−1≤x≤5}∩{0, 1}＝{4，
∴集合A∩B中元素的个数为2．
2. 若z(1−i)＝2i，则的虚部为（）
A.1
B.−1
C.i
D.−i
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】
由z(1−i)＝2i，
得z＝＝，
∴，
则的虚部为−4．
3. 在的二项展开式中，x2的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
求出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，求出r 的值，即可得解．
【解答】
的二项展开式的通项公式为T r+1＝•(−3)r ⋅2r−6⋅x 2−r ，
令3−r ＝2，求得r ＝42的系数为-
•2−5＝-．
4. 已知平面向量a →＝(√3,−1)，|b →|＝4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →
|=( )
A.2
B.3
C.4
D.5 【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a →⋅b →
，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．
【解答】
由平面向量a →＝(√3,−1)，可得|a →|=√3+1=2，
由(a →−2b →)⊥a →，可得a →⋅(a →−2b →)=0，
即a →2=2a →⋅b →=4，
则a →⋅b →=2，
|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4，
5. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，，则二面角A −BC −P 的大小为（ ）
A.30∘
B.45∘
C.60∘
D.90∘
【答案】
C
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6. 已知，则下列说法错误的是（）
A.若f(x)在(0, π)内单调，则
B.若f(x)在(0, π)内无零点，则
C.若y＝|f(x)|的最小正周期为π，则ω＝2
D.若ω＝2时，直线是函数f(x)图象的一条对称轴
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7. 数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8. 设抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|＝，若以线段PF为直径的圆过点(1, 0)，则C的方程为（）
A.x2＝y或x2＝8y
B.x2＝2y或x2＝8y
C.x2＝y或x2＝16y
D.x2＝2y或x2＝16y
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9. 在△ABC中，a＝2，b cos A＝3a sin B，则△ABC面积的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10. 已知函数f(x)＝sin[cos x]+cos[sin x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：
①f(x)的一个周期是2π；
②f(x)是偶函数；
③f(x)的最大值大于；
④f(x)在(0, π)单调递减．
其中所有正确结论编号是（）
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.
某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为________．
【答案】
36
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4＝16，a6＝32，记b n＝a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为________．
【答案】
189
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
已知F是双曲线C:x2−＝1的右焦点，P是双曲线C上的点，．
①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为________；
②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为________．
【答案】
9,11
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
已知函数，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为________．
【答案】
(−e−3, 0)
【考点】
求函数的值
函数的求值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为
________．
【答案】
95%
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得
，整理后得到当x＝0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．
【解答】
不妨设共有选票100张，投1票的x，投3票的z，
则根据题意得，
整理可得z−x＝5，即z＝x+3，
由题意，若要投票有效率越高，
故当x＝0时，z最小为5，
此时投票的有效率为95÷100＝95%，
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
已知△ABC中，b cos A−c>0．
(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．
(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③a＝2；④．
请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．
【答案】
（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，
在△ABC中，C＝π−A−B，
sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，
所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，
即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，
所以cos B<2，所以B为钝角；
(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，
即＝，所以sin C＝，
又a>c，所以A>C，sin A＝，
所以A＝或A＝π，
所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；
所以b＝＝＝
+1；
(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，
及sin A＝，sin C＝，C＝，
所以B＝π不符合B为钝角；
(iii)若满足②③④，由B为钝角，
所以C＝，而a>c，这时B，
不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；
综上所述：只有满足①③④时b＝+3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sin A cos B<0，再由A，B的范围可得cos B<0，求出B为钝角；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B 为钝角的条件，所以①②不能同时成立；
当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；
当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．
【解答】
（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，
在△ABC中，C＝π−A−B，
sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，
所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，
即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，
所以cos B<2，所以B为钝角；
(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，
即＝，所以sin C＝，
又a>c，所以A>C，sin A＝，
所以A＝或A＝π，
所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；
所以b＝＝＝
+1；
(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，
及sin A＝，sin C＝，C＝，
所以B＝π不符合B为钝角；
(iii)若满足②③④，由B为钝角，
所以C＝，而a>c，这时B，
不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；
综上所述：只有满足①③④时b＝+3．
如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD＝∠BCD ＝90∘，，AB＝BD＝2．
(Ⅰ)证明：EM // 平面BCD；
(Ⅱ)证明：EF⊥平面BCD；
(Ⅲ)若直线EC与平面ABC所成的角等于30∘，求二面角A−CE−B的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵E，M分别是线段AD，∴EM // CD，
又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴EM // 平面BCD．
（2）证明：∵E，F分别是线段AD，∴EF // AB AB＝8，
∵∠ABD＝90∘，即AB⊥BD，
∵∠BCD＝90∘，F为BD的中点BD＝6，
∵，∴EC2＝EF5+CF2，即EF⊥CF，
又BD∩CF＝F，BD，
∴EF⊥平面BCD．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF⊥平面BCD，
∵EF // AB，∴AB⊥平面BCD，
∵∠BCD＝90∘，即BC⊥CD，AB，
∴CD⊥平面ABC，
∵EM // CD，∴EM⊥平面ABC，
∴∠ACE为直线EC与平面ABC所成的角，即∠ACE＝30∘，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，
∵E为AD的中点，∴CE＝，即△ACE是底角为30∘的等腰三角形，∵，∴AC＝＝＝，
∵BD＝2，∠BCD＝90∘，
∴△BCD是等腰直角三角形，∴CF⊥BD，
以B为原点，BD，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2, 0, 0)，7，2)，1，4)，1，0)，
∴＝(−2，0，＝(1，2，＝(1，1，
设平面ACE的法向量为＝(x，y，则，即，
令z＝1，则x＝5，∴＝(1，1，
同理可得，平面BCE的法向量为，−6，
∴cos<，>＝＝＝，
由图可知，二面角A−CE−B为锐角，
故二面角A−CE−B的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70, 100])，其质量指标等级如表：
品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不
是废品的概率；
(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90, 95)的件数X的分布列及数学期望；
(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表(1<t<4)：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．
【答案】
（1）设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P＝5(8.04+0.02)＝0.5，
则P(A)＝1−(0.3)6＝1−0.027＝8.973，
（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85, 90)的频率为0.08×5＝3.4，
m∈[90, 95)的频率为0.04×5＝0.2，
m∈[95, 100]的频率为8.02×5＝0.5，
∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，
m∈[90, 95)的有2件，100)的有6件，
从这7件产品中，任取3件，95)的件数X的所有可能取值为4，1，2，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为：
014
E(X)＝0×+1×＝．
(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示(1< t<2)，
-e t
0.3
∴每件产品的利润：
y＝−4.5e t+0.4t+0.6t+7.9t+0.5t＝−0.5e t+5.5t，(1<t<5)，则y′＝−0.5e t+7.5，
令y′＝−0.7e t+2.5＝2，解得t＝ln5，
∴当t∈(1, ln4)时，函数y＝−0.5e t+2.5单调递增，
当t∈(ln5, 5)时，函数y＝−0.5e t+7.5t，单调递减，
∴当t＝ln5时，y取最大值ln3+2.5×ln5＝1.5，
∴生产该产品能够实现盈利，当t＝ln2≈1.6时．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
已知函数f(x)=1
2x2−a ln x−1
2
(a∈R, a≠0)．
(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．【答案】
（1）a＝2时，f(x)=1
2x2−21nx−1
2
,f(1)=0
f′(x)=x−2
,f′(1)=−1
曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0
（2）f′(x)=x−a
x =x2−a
x
(x>0)
①当a<0时，f′(x)=x2−a
x
>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a
所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)
(Ⅲ)对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数，
所以只需f(1)≥0
而f(1)=1
2−a ln1−1
2
=0
所以a<0满足题意；
②当0<a≤1时，0<√a≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0
而f(1)=1
2−a ln1−1
2
=0
所以0<a≤1满足题意；
③当a>1时，√a>1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数，
所以只需f(√a)≥0即可
而f(√a)<f(1)=0
从而a>1不满足题意；
综合①②③实数a的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
(Ⅰ)当a＝2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x＝1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；
(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间；
(Ⅲ)由题意可知，对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；
【解答】
（1）a＝2时，f(x)=1
2x2−21nx−1
2
,f(1)=0
f′(x)=x−2
,f′(1)=−1
曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0
（2）f′(x)=x−a
x =x2−a
x
(x>0)
①当a<0时，f′(x)=x2−a
x
>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a
所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)
(Ⅲ)对任意的x ∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1, +∞)，f(x)min ≥0 ①当a <0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=1
2
−a ln 1−1
2
=0
所以a <0满足题意；
②当0<a ≤1时，0<√a ≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=1
2
−a ln 1−1
2
=0
所以0<a ≤1满足题意；
③当a >1时，√a >1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数， 所以只需f(√a)≥0即可 而f(√a)<f(1)=0 从而a >1不满足题意；
综合①②③实数a 的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．
已知椭圆C:x 2
a 2+y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为√3
2，且经过点(1,√3
2
)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA →
⋅AB →
＝0，且|AB|
|OA|＝3
2，求△OAB 的面积． 【答案】
（1）由题意可得{ c
a
＝√3
21a
2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，
∴ 椭圆方程为
x 24
+y 2=1．
（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，
联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，
∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=
−8km 4k 2+1
，x 1x 2=
4m 2−44k 2+1
，
因为OA →
⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1
k x ，
联立直线AB 的方程得y 1=m
k 2+1，x 1=−ky 1=−km
k 2+1，
代入x 12+4y 12
=4，
所以(−km k 2+1)2+4(m
k 2+1)=4，化简得m 2=
4(k 2+1)2k 2+4
，
所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−
4(k+1)2k 2+4
=
(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2
k 2+4
=9k 2
k 2+4，
所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km
4k 2+1)2−4⋅
4m 2−44k 2+1
=
4√1+k 2√4k 2+1−m 2
4k 2+1
，
所以|AB|2
=
16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)
(4k 2+1)2
=144(1+k 2)k 2
(4k 2+1)2(k 2+4)，
所以|OA|2
=(−ky 1)2
+
y 1
2=(k 2
+1)(m
k 2+1)2
=m 2
k 2+1=
4(k 2+1)k 2+4
，
所以|AB|2
|OA|2=36k 2
(4k 2+1)2=9
4，
得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=1
4， 此时m 2=4(k 2+1)2k +4=2517
<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2
=
4(k 2+1)k 2+4
=
4(14+1)
14
+4=20
17，
所以△OAB 的面积S =1
2|OA||AB|=1
2|OA|×3
2|OA|=3
4|OA|2=15
17． 【考点】
直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的离心率 【解析】
(Ⅰ)由椭圆离心率为√3
2，且经过点(1,
√3
2
)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，
得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA →
⋅AB →
＝0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1
k
x ，联立直线AB 的方程
得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2
=
4(k 2+1)2k 2+4
，再计算|AB|2
=
144(1+k 2)k 2
(4k 2+1)2(k 2+4)
，|OA|2=
4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2
|OA|2=36k 2
(4k 2+1)2=9
4，解得k 2=1
4，进而可得△OAB 的面积S =
1
2|OA||AB|=3
4
|OA|2
，即可得出答案． 【解答】
（1）由题意可得{ c
a
＝√3
2
1a
2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，
∴ 椭圆方程为x 2
4+y 2=1．
（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，
∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=
−8km 4k 2+1
，x 1x 2=
4m 2−44k 2+1
，
因为OA →
⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1
k x ，
联立直线AB 的方程得y 1=
m
k 2+1
，x 1=−ky 1=
−km
k 2+1
，
代入x 12+4y 12
=4，
所以(−km k 2+1)2+4(m
k 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4
，
所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−
4(k+1)2k 2+4
=
(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2
k 2+4
=
9k 2
k 2+4
，
所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km
4k 2+1)2−4⋅
4m 2−44k 2+1
=
4√1+k 2√4k 2+1−m 2
4k 2+1
，
所以|AB|2=
16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)
(4k 2+1)2
=144(1+k 2)k 2
(4k 2+1)2(k 2+4)，
所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(
m k 2+1
)2=
m 2k 2+1
=
4(k 2+1)k 2+4
，
所以|AB|2|OA|2=36k 2
(4k 2+1)2=9
4，
得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=1
4，
此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=25
17<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2
=
4(k 2+1)k 2+4
=
4(1
4+1)
14
+4=20
17，
所以△OAB 的面积S =1
2
|OA||AB|=12
|OA|×32
|OA|=34
|OA|2=
1517
．
已知项数为m(m ∈N ∗, m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n ＝
∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．
(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．
(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由．
(Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2021，求m 的最大值． 【答案】
(I)1，4，6，10是项数为4的递增等差数列数列，
其中a 1＝8，d ＝3，a n ＝1+(n −7)×3＝3n −3，所以a 1+a 2+a 7+a 4＝22，
则
，
故b n＝8−n，3≤n≤4，
所以b1＝2，b2＝6，b2＝5，b4＝8，
所以数列1，4，2，10存在“关联数列”为7，6，3，4；
（2）因为{a n}为递增数列，所以a n+1−a n>2，
则-
＝，
所以b n+7<b n，故数列{b n}具有单调递减性；
(Ⅲ)由于b n∈Z，则b n−b n+1≥1，
故，所以a n+7−a n≥m−1，
又a m−1＝(a m−a m−5)+(a m−1−a m−2)+...+(a2−a1)≥(m−1)+(m−7)+...+(m−1)＝(m−1)4，
所以(m−1)2≤2020，解得m≤45n}存在“关联数列”{b n}，
所以-
＝，
因为m−1为2020的正约数，且m≤45，
故m−7的最大值为20，
所以m的最大值为21．
【考点】
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答。