中学数学惠州市2020届高三第一次调研考试文科数学试题(4)

惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学
全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．已知集合{}
220M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M
N =（ ）
A ．∅
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0,1-
2．设()()63235x x i y i ++-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，
则
x yi +等于（ ）
A ．5
B C ．
D ．2
3．平面向量a 与b 的夹角为
3
π
，()2,0a =，1b =，则2a b -= （ ）
A ． B
C ．0
D ． 2
4．不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球。

现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ）
A ． 310
B ． 25
C ． 35
D ． 710
5．若抛物线2
4y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
6．已知函数()cos(2)(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期为π，将其图象向右平移
π
6
个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的值为（ ） A ．
π3 B ．π6 C ． 3π- D ．π6
- 7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A
B ．2 C
D ．3
8．函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ） A ． B ．0 C ．1 D ．2
9．在长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，1=BC ，11=AA ，E ，F 分别为棱11B A ，
11D C 的中点，则异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为（ ）
A ．0
B ．
55 C ．23 D ．5
5
2 10．双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆
3)2(22=+-y x 的公共点的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．0
11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯
实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对(,)x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是=34m ，那么可以估计π的值为（ ） A ．
237
B ．
4715
C ．
1715
D ．
5317
()()e x f x x a =+1x =1x =-a =1-
12
．已知函数()|)|f x x =，设()3log 0.2a f =，()023b f -=．，()11
3c f =-．，
则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知54x >
，则函数1
445
y x x =+-的最小值为________． 14．设函数()
()
203()0(2)
x x x
f x x f x ≥⎧+=⎨
<+⎩，则(3)f -＝_______.
15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4525a a +=，657S =，则{}n a 的公差为 ． 16．已知球的直径4=DC ，A 、B 是该球面上的两点，6
π
=
∠=∠BDC ADC ，
则三棱锥BCD A -的体积最大值是________.
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c b c
a b c
-+=
+-．
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值． 18．（本小题满分12分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又4==AB PA ，CD AD =，点N 是CD 中点.
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求点M 到平面PBC 的距离.
A ABC △ABC △S A
B
C
D
P
M
N
19．（本小题满分12分）
某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．
（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；
（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：
问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．
（参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
）
附表：
20．（本小题满分12分）
已知函数ln ()x
f x x =．
（1）求()f x 的最大值；
（2）设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为()22,0F ，点
(
2,B 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点
,M N ．当k 变化时，在x 轴上是否存在点P ，使得MPN ∠为直角。

若存在，求出点P 的
坐标；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第
一题计分。

答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x t
y t
=⎧⎨
=-⎩（t 为参数）．在以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求OAB △的面积．
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知()11f x x ax a =++-+．
（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

4、一个数学家越超脱越好。

5、数学是各式各样的证明技巧。

6、数学是锻炼思想的体操。

7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。

8、数学是研究抽象结构的理论。

9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。

它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。