昆明市黄冈实验学校 高三数学上学期期中试题 文

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昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期中考试
高三文科数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==则A
B =
(A){}234，
， (B) {}123，， (C) {}134，， (D) {}123,4，， 2.设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）
（A ）32i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）32i - 3.已知a 函数3
()12f x x x =-的极小值点，则a =( )
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
4.设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5.为了得到函数sin()3
y x π
=+
的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )
(A)向右平行移动
3π个单位长度 (B)向左平行移动3π
个单位长度 (C) 向上平行移动
3π个单位长度 (D)向下平行移动3
π
个单位长度 6.已知421
3
3
3
2,3,25a b c ===，则（ ）
(A) b a c << (B)a b c <<
(C) b c a <<
(D) c a b <<
学校 班级： 考场 姓名 考号： 座号
密 封 线 内 禁 止 答 题
7.若tan 1
3θ=
，则cos2θ=（ ） （A ）45-
（B ）15-
（C ）15 （D ）4
5
8.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满
)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）
（A ）)2
1,(-∞
（B ）),23()21,(+∞-∞ （C ）)23,21( （D ）)
,2
3(+∞
9.若函数1()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）
（A ）[]
1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3
⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
10. 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）
（A ）2sin(2)3y x π=- （B ）2sin(2)6y x π
=-
（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3
y x π
=
11.函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
（A ）
（B ）
（C ） （D ）
12.设，，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = .
14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+
π4)=35,则tan(θ–π
4
)= . 15.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
1
sin 3α=
，cos()αβ-=___________.
16.设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，
以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
18．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 已知向量(cos,sin),(3,[0,π].
a b
x x x
==∈
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记()
f x=⋅a b,求()
f x的最大值和最小值以及对应的x的值.
20.已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
21.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =
.
(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1
cos A 3
=
，求sinC 的值.
22.已知函数()f x =ln x +ax 2
+(2a +1)x ．
（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤--．
昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期中考试
高三文科数学试题参考答案与试题解析
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
三．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.【2017课标I I ，文1】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==则A
B =
(A){}234，
， (B) {}123，， (C) {}134，， (D) {}123,4，， 【答案】D 【解析】由题意{1,2,3,4}A
B =，故选D.
【考点】集合运算
【名师点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
考场 姓名 考号 座号：
内 禁 止 答 题
2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）
（A ）32i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）32i - 【答案】A 【解析】
试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选A. 考点： 复数的运算，共轭复数.
【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数是共轭复数，其模相等.
3.【2016高考四川文科】已知a 函数3
()12f x x x =-的极小值点，则a =( )
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D
考点：函数导数与极值.
【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但
0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.
4.【2016高考四川文科】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A
考点：充分必要条件.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论． 5.【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3
y x π
=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上
所有的点( )
(A)向右平行移动
3π个单位长度 (B)向左平行移动3π
个单位长度 (C) 向上平行移动
3π个单位长度 (D)向下平行移动3
π
个单位长度 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，为得到函数sin()3
y x π
=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左
移
3
π
个单位，故选B. 考点：三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得
()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象．左
右平移涉及的是x 的变化，上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位．
6.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知421333
2,3,25a b c ===，则（ ）
(A) b a c << (B)a b c <<
(C) b c a <<
(D) c a b <<
【答案】
A
考点：幂函数的单调性．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． 7. [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 1
3
θ=
，则cos2θ=（ ） （A ）45-
（B ）15-
（C ）15 （D ）4
5
【答案】D 【解析】
试题分析：2222222211()
cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 5
1()3
θθθθθθθ---===
=+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
8.【2016高考天津文数】已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，
若实数a 满)2()2
(|
1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）
（A ）)2
1,(-∞ （B ）),23()21,(+∞-∞ （C ）)23,21( （D ）)
,2
3(+∞
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得1
|1|
|1|
|1|
2
113(2)(2
2
2|1|222
a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<
⇒<<，故选C
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
9.【2016高考新课标1文数】若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）
（A ）[]
1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3
⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
【答案】C 【解析】
考点：三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
10. 【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）
（A ）2sin(2)3y x π=- （B ）2sin(2)6y x π
=-
（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3
y x π
=
【答案】B 【解析】
试题分析：由图知，2A =，周期2[
()]36T π
ππ=--=，所以22π
ωπ
==，所以2sin(2)y x ϕ=+，
因为图象过点(
,2)3
π
，所以22sin(2)3
π
ϕ=⨯
+，所以2sin(
)13
π
ϕ+=，所以22(Z)32
k k ππ
ϕπ+=+∈， 令0k =得，6
π
ϕ=-
，所以2sin(2)6
y x π
=-
，故选B.
考点： 三角函数图像的性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A ，
h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．
11.【2017课标1，文8】函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
（A ） （B ）
（C ） （D ）
【答案】C 【解析】
【考点】函数图象
【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检
验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．
12.【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

详解：.
，，，
,即
，又
，
即
，故选
B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
四．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2
【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=. 【考点】向量数量积
【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++
(2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<> 14.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35
,则tan(θ–
π
4
)= . 【答案】43
-
考点：三角变换
【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.
15.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终
边关于y 轴对称.若
1
sin 3α=
，cos()αβ-=___________.
【答案】79
- 【解析】
【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.
【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α
与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+
，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈.
16.【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范
围是__________. 【答案】1
(,)4
-+∞
【解析】由题意得： 当12x >
时1
2
221x x -+> 恒成立，即12x >；当102
x <≤时12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时11
11124x x x ++-+>⇒>-，即
104x -<≤；综上x 的取值范围是1
(,)4
-+∞ . 【考点】分段函数解不等式
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
15
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.[2016高考新课标Ⅲ文数]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
()sin x y ααα⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲
线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31
(,)22
．
【解析】
考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．
【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．
18．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
（2）因为为锐角，所以．又因为，所以
，因此．因为，所以
，因此，．【考点】三角恒等变换
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
19.【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =
（2）0x =时，错误！未找到引用源。

取得最大值，为3； 5π6
x =时，
错误！未找到引用源。

取得最小值，为-.
【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λ
λλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<> 20.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(]
,2.-∞ 【解析】
（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)
ln 0.1
--
>+a x x x
考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 21.【2016高考天津文数】（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.
(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1
cos A 3
=
，求sinC 的值.
【答案】（Ⅰ）6
π
=
B 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A ,再根据三角
形内角范围化简得23cos =
B ，6
π
=B （Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为π，将所求角化为两已知角的和)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，再根据两角和的正弦公式求解
考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
22.【2017课标3，文21】已知函数()f x =ln x +ax 2
+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a
≤--． 【答案】（1）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -
单调递增，在),21(+∞-a
单调递减；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x ++=
>，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增，当0<a 时，则)(x f 在)21,0(a -单调递增，在),21(+∞-a 单调递减.（2）证明3()24f x a
≤--，即证max 3()24f x a
≤--，而)21()(m a x a f x f -=，所以目标函数为121)21ln()243()21(++-=+---a
a a a f ，即t t y -+=1ln （021>-=a t ），利用导数易得0)1(max ==y y ，即得证.
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。