离散数学第10讲

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第三章 集合与关系
练习： 为任意集合， 练习：设A， C， B， D为任意集合，判断以下命题 ， ， ， 为任意集合
是否为真，并说明理由。 是否为真，并说明理由。 (1) (A ∩B)×(C ∩D) = (A×C) ∩(B ×D) × × (2) (A ∪B)×(C ∪D) = (A×C) ∪(B ×D) × × (3) (A - B)×(C - D) = (A×C) - (B ×D) × × 解： (1) 为真。可证明。 为真。可证明。 (2) 不一定为真。反例 不一定为真。反例A= {1},B={2},C={3},D={4}. (3) 不一定为真。反例 不一定为真。反例A= {1,2},B={2},C={3,4},D={4}.
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第三章 集合与关系
两个集合的笛卡尔积仍是一个集合，故对 两个集合的笛卡尔积仍是一个集合， 于有限集合可进行多次笛卡尔积运算。 于有限集合可进行多次笛卡尔积运算。 一般地
A1× A2×…× An=(A1× A2×…× An-1) × An × × ={< x1,x2,…,xn >|(x1∈ A1) ∧ (x2∈ A2) ∧… ∧ (xn∈ An) } 特别地 A ×A=A2 A ×A × A =A3 A ×A ×…… × A =An
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第三章 集合与关系
笛卡尔积的性质： 笛卡尔积的性质： 1、对任意集合 ，根据定义有 、对任意集合A， A × φ = φ × A= φ 2、一般来说，笛卡尔积不满足交换律，即 、一般来说，笛卡尔积不满足交换律， A×B≠B×A（当A ≠ φ∧ B ≠ φ ∧ A ≠ B时） × × （ 时 3、笛卡尔积不满足结合律，即 、笛卡尔积不满足结合律，
Байду номын сангаас16
第三章 集合与关系
定义3 定义3-5.3
为集合， × 的任何子集所定义的二元关系 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系 ， 为集合 叫做从A到 的 特别当A=B时则叫做 时则叫做A 叫做从 到B的二元关系，特别当 时则叫做 上的二元关系。
例：若A={1,2}，B={a,b}，则 ， ， R1={<1,a>},R2={<2,2>},R3= φ,R4={<1,3>}分别 分别 是什么样的二元关系？ 是什么样的二元关系？^_^ 若集合|A|=n,则集合 上的二元关系有多少个？ 则集合A上的二元关系有多少个 若集合 则集合 上的二元关系有多少个？ 答曰： 答曰： |A|=n，则|A × A|=n2, A × A的任一个 ， 的任一个 子集就是A上的二元关系， 子集就是 上的二元关系，即 2n 2 个。 上的二元关系
例：若A={1,2}，则 ，
EA= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA ={<1,1>,<2,2>}
即定义3-5.4
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第三章 集合与关系
除上述三类特殊的关系外，还有一些常用的关系， 除上述三类特殊的关系外，还有一些常用的关系，如： LA= {<x,y>|x,y∈A ∧ x≤y} (A ⊆ R)为实数集上的小于等于关系。 为实数集上的小于等于关系。 ∈ 为实数集上的小于等于关系 DA= {<x,y>|x,y∈A ∧x整除y} (A ⊆ Z*)为非领整数集上的整除关系。 ∈ 为非领整数集上的整除关系。 为非领整数集上的整除关系 R ⊆ = {<x,y>|x,y∈A ∧x⊆y} (A 是集合族 为集合上的包含关系。 是集合族)为集合上的包含关系 为集合上的包含关系。 ∈ 类似地还可以定义大于等于关系、大于关系、小于关系、真包含关系等 类似地还可以定义大于等于关系、大于关系、小于关系、真包含关系等。 大于等于关系
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第三章 集合与关系
定义3 定义3-4.2 为集合， 中元素为第一元素， 中元素为 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为 ， 为集合 中元素为第一元素 第二元素构成序偶。 第二元素构成序偶。所有这样的序偶组成的集合叫 做A和B的笛卡尔积或直积，记作 ×B。 和 的笛卡尔积或直积，记作A× 。 笛卡尔积的符号化表示为： 笛卡尔积的符号化表示为： A × B={<x,y>|x ∈ A ∧ y∈ B} ∈ 练1：设A={1,2}, ： 例如： 例如：若A={1,2}, B={a,b,c},则 则 求A ×P(A). A×B={<1,a>, <1,b>, <1,c>, <2,a>, <2,b>, <2,c>} × 练2：设A={φ}, ： B×A={<a,1>, <a,2>, × P(A). × 求A <b,1>, <b,2>, <c,1>, <c,3>} 易知： 即集合A的元素的个数 易知：若|A|=m,(即集合 的元素的个数 即集合 的元素的个数),|B|=n,则 则 | A×B|= |B×A|=mn × ×
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第三章 集合与关系
三类特殊的关系
对于任何集合A，空集φ 的子集， 对于任何集合 ，空集φ 是A × A的子集，叫做 上的空 的子集 叫做A上的
关系。
定义E 定义 A={<x,y>|x∈A ∧ y∈A}= A×A为全域关系 ∈ ∈ × 为 定义IA={<x,x>| ∀ x∈A} 为恒等关系 定义 ∈
n个A
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第三章 集合与关系
3-5 关系及其表示 定义3 定义3-5.1
如果一个集合符合以下条件之一： 如果一个集合符合以下条件之一： (1) 集合非空，且它的元素都是序偶 集合非空， (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系 记作R，简称为关系 二元关系， 关系。 则称该集合为一个二元关系，记作 ，简称为关系。
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第三章 集合与关系
(B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) × 对于∀ 对于∀<x,y> <x,y> ∈ (B∩C) × A x∈(B ∩C) ∧y ∈ A ∈ x∈B ∧x ∈ C ∧ y ∈ A ∈ x∈B ∧x ∈C ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A ∈ (x∈B ∧y ∈A) ∧(x ∈ C ∧ y ∈ A) ∈ <x,y>∈ B × A ∧ <x,y>∈ C × A ∈ ∈ <x,y>∈ (B×A) ∩(C ×A) ∈ × ∴ (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) ×
证明见定理3-4.3
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第三章 集合与关系
为任意集合， 例：设A， C， B， D为任意集合，判断以下命题是否为真， ， ， ， 为任意集合 判断以下命题是否为真， 并说明理由。 并说明理由。 (1) A×B= A×C =>B= C × × (2) A-(B×C)=( A-B)×(A-C) × × (3) A=B ∧ C=D =>A×C= B×D × × (4) 存在集合 使得 ⊆ A × A. 存在集合A,使得 使得A 解： (1) 不一定为真。反例 不一定为真。反例A= φ,B、C为任意不相等的非空集合。 为任意不相等的非空集合。 、 为任意不相等的非空集合 (2) 不一定为真。反例 不一定为真。反例A= {1},B={2},C={3}. (3) 为真。由等量代换原理得证。 为真。由等量代换原理得证。 (4) 为真。当 A= φ时成立。 为真。 时成立。 时成立
证明：对于∀ 证明：对于∀<x,y> <x,y> ∈ A×B × x∈A ∧y ∈ B ∈
=>
x∈C ∧y ∈ D (∵ A ⊆ C ∧ B ⊆ D ) ∈ ∵
<x,y> ∈ C×D × ∴ A×B ⊆ C ×D × 注意：此性质的逆命题， 注意：此性质的逆命题， 只有当A=B= φ或A≠ φ且B≠ φ时才成立 只有当 或 且 时才成立
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第三章 集合与关系
说明： 说明： (1) 序偶 序偶<a,b>中的两个元素可以代表不同类型 中的两个元素可以代表不同类型 的事物。 的事物。 (2)序偶的概念可推广到三元组、四元组及 元组 序偶的概念可推广到三元组、 序偶的概念可推广到三元组 四元组及n元组 一般地， 元组简记为 一般地，n元组简记为 <x1,x2,…,xn> 个元素x 元组的第i个坐标 第i个元素 i称作 元组的第 个坐标。 个元素 称作n元组的第 个坐标。
证明： 证明：
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第三章 集合与关系
5、若C≠φ ，则 A ⊆ B 、 A×C ⊆ B×C ≠ × × 证明：假定A 证明：假定 ⊆ B ，则 ∀ <x,y> ∈ C×A × x∈C ∧y ∈ A ∈ => x∈C ∧y ∈ B (∵ A ⊆ B ) ∈ ∵ <x,y> ∈ C×B × ∴ C×A ⊆ C×B × × C×A ⊆ C×B × ×
第十讲
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上节回顾
3.1 集合的概念和表示法 具有相同性质一些事物汇集到一起组成的一个整体称 为集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。 集合 而这些事物就是这个集合的元素或成员。 而这些事物就是这个集合的元素 集合通常用大写字母来标记， 集合通常用大写字母来标记，如N、Z、Q、R、C。 、 、 、 、 集合表示方法： 集合表示方法： 列举法 A={1,2,3,4,5}
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第三章 集合与关系
练1：设A={1,2},求A ×P(A). ： 求 练2：设A={φ}, 求A × P(A). ： 解： （1） P(A)={φ,{1},{2},{1,2}} ） A×P(A)={<1,φ>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{1,2}>, × <2,φ>, <2,{1}>,<2,{2}>,<2,{1,2}>} （2） P(A)={φ,{φ}} ） A×P(A)={<φ, φ>, <φ,{φ}>} ×
假定C× 假定 ×A ⊆ C×B ，取x∈C，则 × ∈ ， ∀y∈A => x∈C ∧y ∈A ∈ ∈ <x,y>∈C×A => <x,y>∈C×B (∵C×A⊆C×B) ∈ × ∈ × ∵ × ⊆ × x∈C ∧y ∈B ∈ ∴A⊆B 其余可类似证明
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第三章 集合与关系
6、A ⊆ C ∧ B ⊆ D => A×B ⊆ C ×D 、 ×
叙述法/谓词法 ∧1≤x≤5 叙述法 谓词法 B={x | x∈N ∧1≤x≤5 }
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上节回顾
3-2 集合的运算 (1) 集合的交 (2) 集合的并 (3) 集合的相对差 (4) 集合的绝对差 (5) 集合的对称差
E A B
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第三章 集合与关系
3-4 序偶与笛卡尔积 定义3 定义3-4 由两个元素x,y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元 由两个元素 （允许 ） 组叫做一个序偶或有序对，记作<x,y>,其中 是它 组叫做一个序偶或有序对，记作 其中x是它 序偶 其中 的第一元素， 是它的第二元素 是它的第二元素。 的第一元素，y是它的第二元素。 序偶<x,y>具有以下性质： 具有以下性质： 序偶 具有以下性质 (1) 当x≠y时， <x,y> ≠ <y,x> 时 (2) <x,y>=<w,v> x=w ∧ y=v 已知<x+3,y-2>=<y+7,3y-x>，求x和y。 例：已知 ， 和 。 解：由序偶相等的充要条件得 x+3=y+7 y-2=3y-x 解得x=6,y=2 解得
对于二元关系R， 可记作xRy;如果 对于二元关系 ，若<x,y> ∈R,可记作 可记作 如果 <x,y> ∉R,则记作 则记作xRy。 则记作 。 例：R1={<1,2>,<a,b>},R2={5,6,7} aR1b, 1R12, 5R16
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第三章 集合与关系
定义3 定义3-5.2
设R是二元关系 是二元关系 (1) R中所有的序偶的第一元素构成的集合称为 中所有的序偶的第一元素构成的集合称为 R的定义域，记作 记作domR,形式化表示为： 形式化表示为： 的 形式化表示为 domR= {x| ∃ y(<x,y> ∈R)} (2) R中所有的序偶的第二元素构成的集合称为 中所有的序偶的第二元素构成的集合称为 设R={<a,b>,<1,2>},则 R的值域，记作 记作ranR,形式化表示为： 形式化表示为： 的 形式化表示为 domR,ranR,fldR分别 ranR= {y| ∃ x(<x,y> ∈R)} 为？？？ (3) R的定义域和值域的并集称为 的域，记作 的定义域和值域的并集称为R的 的定义域和值域的并集称为 fldR,形式化表示为： 形式化表示为： 形式化表示为 fldR= domR∪ ranR ∪
(A×B) ×C≠A×(B ×C)（当A≠φ∧B≠φ∧C≠φ时） × × （ ∧ 时
4、笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即 、笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，
A×(B∪C)= (A×B)∪(A × C) × ∪ × ∪ (B∪C) × A = (B×A)∪(C ×A) ∪ × ∪ A×(B∩C)= (A×B) ∩(A × C) × × (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) ×