高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业 理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正
切公式课时作业 理（含解析）新人教A 版
一、选择题
1．若sin α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋54π＝( )
A ．－
210 B.210 C ．－7210 D.72
10
解析：由sin α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0得cos α＝45，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cos 5π4cos α－sin 5π4sin α＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝－7210. 答案：C
2．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )
A.35
B.45
C.74
D.3
4
解析：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π.又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin
θ＝
1－cos 2θ2＝3
4
. 答案：D
3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝2
5
，则tan(α＋β)的值为( )
A.
2941 B.129 C.1
41
D ．1 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6＋β
＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π
6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋β＝37＋2
5
1－37×25＝1，故选D.
答案：D
4．(2013·辽宁五校第二次模拟)
1－2sin π＋θ
sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2－θ＝( )其中
θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
，π( )
A ．sin θ－cos θ
B ．cos θ－sin θ
C ．±(sin θ－cos θ)
D ．sin θ＋cos θ
解析：
1－2sin π＋θ
sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝
|sin θ－cos θ|，又因为θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2，π，所以sin θ>cos θ，故选A. 答案：A
5．(2013·云南昆明高三调研)已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝3
5，则sin 2x 的值为( )
A ．－725 B.725 C.925 D.16
25
解析：依题意得22(sin x －cos x )＝35，12(sin x －cos x )2
＝925，1－sin 2x ＝1825
，sin 2x ＝7
25
，选B.
答案：B
6．(2013·潍坊市模拟)已知α，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α
的最大值是( )
A.14
B.34
C.34 2
D.3
2
解析：tan α＝tan(α＋β－β)＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝3tan β1＋4tan 2
β＝3
1
tan β
＋4tan β
β∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan β>0，
1tan β＋4tan β≥24＝4，当且仅当tan β＝1
2
时分母取最小值，tan α取最大值3
4
.
答案：B 二、填空题
7．(2013·浙江五校第二次联考)已知α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，sin α＝33，则sin 2α＝
________.
解析：α∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2，π，
sin α＝33，cos α＝－63，sin 2α＝2sin α·cos α＝－223. 答案：－22
3
8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 解析：由tan(15°＋30°)＝tan 15°＋tan 30°
1－tan 15°tan 30°可得结果．
答案：1
9．(2013·湖北七市联考)若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14π，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋14π＝________. 解析：由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4及tan θ＝12可求得sin θ＝55，cos θ＝255.sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝
22(sin 2θ＋cos 2θ)＝72
10
. 答案：72
10
三、解答题
10．(2013·江西南昌调研)已知α∈(0，π)且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35.求cos α. 解：因为α∈(0，π)，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6
，5π6，
又0<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝45，
cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6
＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
α－π6cos π
6－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
α－π6sin π
6
＝35×32－45×12＝33－4
10
. 11．已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第三象限的角，tan β＝43.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为α为第二象限的角， sin α＝3
5
，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－45，
tan α＝sin αcos α＝－34.又tan β＝4
3，
所以tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7
24
.
(2)因为β为第三象限的角，tan β＝4
3，
所以sin β＝－45，cos β＝－3
5
.
又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2
α＝725，
所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝3
5.
12．已知sin α＋cos α＝
355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2.
(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2
＝95，即1＋sin 2α＝95，
∴sin 2α＝4
5
.
又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 2
2α＝35，
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝4
3
.
(2)∵β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos(β－π4)＝45，
于是sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫
β－π4
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.
又cos 2
α＝1＋cos 2α2＝45，
∴cos α＝
2
5，sin α＝15⎣
⎢⎡⎦⎥⎤α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝
255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725
＝－115
25. [热点预测]
13.
如图，圆O 的内接“五角星”与原O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于( )
A ．－12
B ．－3
2
C ．1
D ．0
(2)(2013·成都市高中毕业班第一次诊断性检测)已知角α，β，γ构成公差为π
3
的等
差数列．若cos β＝－2
3
，则cos α＋cos γ＝________.
解析：(1)如图可知五边形A 1A 2A 3A 4A 5是一个正五边形，所以可知α1＝α2＝…＝α5＝72°，故cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4＝cos(5×72°)＝cos 360°＝1
(2)α＝β－π3，γ＝β＋π
3，∴cos α＋cos γ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
β－π3＋cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫
β＋π3＝2cos
βcos π3
＝－2
3
.
答案：(1)C (2)－2
3。