人教版2019学年高中数学第一章三角函数1.1.1蝗制学案新人教A版必修4

随意角
学习目标 1. 结合实责问题，认识角的见解的实行及其本质意义.2. 掌握象限角的概念 ( 重点 ).3.掌握终边相同的角的表示( 重、难点 ) ．
知识点 1随意角的见解
1．角的见解
角能够看作平面内一条射线绕着端点从一个地址旋转到另一个地址所成的图形．
2．角的表示
极点：用 O表示；
始边：用 OA表示，用语言可表示为初步地址．
终边：用 OB表示，用语言可表示为停止地址．
3．角的分类
种类定义图示
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
【预习谈论】( 正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过 1 小时，时针转过 30°.()
(2)终边与始边重合的角是零角．()
(3)小于 90°的角是锐角． ()
提示 (1) ×，由于是顺时针旋转，因此时针转过－30°．
(2)×，终边与始边重合的角是 k·360°(k∈Z)．
(3)×，锐角是指大于 0°且小于 90°的角．知
识点 2 象限角
若是角的极点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除
端点外 ) 在第几象限，就说这个角是第几象限角. 若是角的终边在坐标轴上，就认为这个
角不属于任何一个象限．
【预习谈论】
思虑锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
知识点 3终边相同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可组成一个会合S＝{β|β＝α＋
k ·360°，∈ Z} ，即任一与角α终边相同的角，都能够表示成角α 与整数个周角的和．k
【预习谈论】
与－ 457°角的终边相同的角的会合是()
A． { α | α＝ 457°＋k·360°，k∈Z}
B． { α | α＝ 97°＋k·360°，k∈Z}
C． { α | α＝ 263°＋k·360°，k∈Z}
D． { α | α＝－ 263°＋k·360°，k∈ Z}
剖析由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边
相同的角的会合是 { α | α＝－ 457°＋k·360°，k∈ Z} ＝{ α | α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
答案C
题型一与随意角相关的见解辨析
【例 1】(1) 以下说法中，正确的选项是________( 填序号 ) ．
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于 90°的角必然为锐角；
⑤角α与－α的终边对于x 轴对称．
剖析终边落在第一象限的角不用然是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是
锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不用然是钝角，故③的说法也是错误
的；小于 90°的角不用然为锐角，比方负角，故④的说法是错误的．
答案②⑤
(2)如图，射线 OA先绕端点 O逆时针方向旋转60°到 OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．
剖析∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－ (760 °－ 720° ) ＝－ 40°．
答案－40°
规律方法判断角的见解问题的重点与技巧
(1)重点：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等见解．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只需举出反例即
可．【训练 1】写出图 (1) ，(2) 中的角α，β，γ 的度数．
解题干图 (1) 中，α＝ 360°－ 30°＝ 330°；
题干图 (2) 中，β＝－ 360°＋ 60°＋ 150°＝－ 150°，
γ＝ 360°＋ 60°＋ ( －β ) ＝ 360°＋ 60°＋ 150°＝ 570°．
题型二终边相同的角的表示及应用
【例2】写出终边落在直线
y ＝
x
上的角的会合，并把
S
中适合不等式－
S
360°≤ β <720°的元素β写出来．
解直线 y＝ x 与 x 轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝ x 上的角有两个：45°， 225° . 因此，终边在直线y＝ x 上的角的会合：
S＝{β|β＝45°＋ k·360°， k∈Z}∪{β|β＝225°＋ k·360°， k∈Z}
＝ { β | β＝ 45°＋ 2k·180°，k∈ Z} ∪ { β | β＝ 45°＋ (2 k＋1) ·180°，k∈ Z} ＝{ β| β＝ 45°＋n·180°，n∈Z} ．
∴ S 中适合－360°≤ β<720°的元素是：
45°－ 2×180°＝－ 315°； 45°－ 1×180°＝－ 135°；
45°＋ 0×180°＝ 45°； 45°＋ 1×180°＝ 225°；
45°＋ 2×180°＝ 405°； 45°＋ 3×180°＝ 585°．
规律方法解答此题重点是找到0°～ 360°范围内，终边落在直线y＝ x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的会合，若是会合能化简的还
要化成最简．
【训练 2】写出终边落在x 轴上的角的会合S．
解 S＝{α|α＝k·360°， k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°， k∈Z}
＝{ α | α＝ 2k·180°，k∈Z} ∪ { α | α＝ (2 k＋1) ·180°，k∈ Z}
＝{ α | α＝n·180°，n∈Z}.
典例
题型三象限角和地区角的表示
迁移
【例 3】(1) － 2 017 °是第 ________象限角．
2017°为第二剖析－2 017 °＝－ 6×360°＋ 143°， 143°是第二象限角，因此－
象限角．
答案二
(2)已知，以以下列图．
①分别写出终边落在OA，OB地址上的角的会合．
②写出终边落在阴影部分( 包括界线 ) 的角的会合．
解①终边落在OA 地址上的角的会合为{ α | α＝ 90°＋ 45°＋k·360°，k∈ Z} ＝{ α| α＝ 135°＋k·360°，k∈ Z} ，终边落在OB地址上的角的会合为{ α | α＝－ 30°＋k·360°， k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分 ( 包括界线 ) 的角的会合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的会合，故可表示为{ α |－ 30°＋k·360°≤ α ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
( 包括界线) 表示的【迁移1】若将例3(2)题改为以以下列图的图形，那么阴影部
分
终边相同的角的会合怎样表示？
解在 0°～ 360°范围内、阴影部分( 包括界线 ) 表示的范围是：
150°≤ α ≤ 225°，则知足条件的角α 为
{ α | k·360°＋ 150°≤ α≤k·360°＋ 225°，k∈ Z} ．
【迁移 2】若将例3(2)题改为以以下列图的图形，那么终边落在阴影部分( 包括界线 )
的角的会合怎样表示？
解由题干图可知知足题意的角的会合为
{ β | k·360°＋ 60°≤ β≤k·360°＋ 105°，k∈ Z} ∪ { k·360°＋
240°≤ β ≤k·360°＋ 285°，k∈ Z}
＝{ β |2 k·180°＋ 60°≤ β ≤ 2k·180°＋ 105°，k∈ Z} ∪ { β |(2 k＋1) ·180°＋
60°≤ β ≤ (2 k＋1) ·180°＋ 105°，k∈Z}
＝{ β | n·180°＋ 60°≤ β≤n·180°＋ 105°，n∈ Z}
即所求的会合为{ β | n·180°＋ 60°≤ β ≤n·180°＋ 105°，n∈ Z} ．
规律方法表示地区角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到地区的初步和停止界线．
第二步：按由小到大分别标出初步和停止界线对应的－360°～ 360°范围内的角α
和β，写出最简区间{ x| α <x<β} ，其中β －α <360°．
第三步：初步、停止界线对应角α，β 再加上 360°的整数倍，即得地区角会合．
讲堂达标
1．以下说法正确的选项是()
A．三角形的内角必然是第一、二象限角
B．钝角不用然是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
剖析 A 错，如 90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B 错，钝角在 90°到 180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
答案D
2．－ 378°是第 ________象限角 ()
A．一B．二
C．三D．四
剖析－378°＝－ 360°－ 18°，由于－ 18°是第四象限角，因此－ 378°是第四象
限角．
答案D
3．把－ 936°化为α＋k·360°(0 °≤ α <360°，k∈Z) 的形式为 ________．
解析－ 936°＝－ 3×360°＋144°，故－936°化为α ＋k·360°(0°≤ α<360°， k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°．
答案144°＋ ( －3) ×360°
4．终边在直线y＝－x上的角的会合S＝________．
剖析由于直线＝－
x 是第二、四象限的角均分线，在 0°～ 360°间所对应的两个
y
角分别是 135°和 315°，
进而＝ { α | α＝
k ·360°＋ 135°，
k
∈ Z} ∪ { α | α＝·360°＋ 315°，
k
∈Z} ＝
S k
{ α| α＝ 2k·180°＋ 135°，k∈ Z} ∪{ α | α＝(2 k＋1) ·180°＋ 135°，k∈Z} ＝ { α | α＝ n·180°＋135°， n∈Z}．
答案 { α | α＝n·180°＋ 135°，n∈ Z}
5．已知，以以下列图，
(1)写出终边落在射线 OA，OB上的角的会合；
(2)写出终边落在阴影部分 ( 包括界线 ) 的角的会合．
解(1) 终边落在射线OA上的角的会合是{ α | α＝k·360°＋ 210°，k∈Z} ．
终边落在射线OB上的角的会合是{ α| α＝k·360°＋ 300°，k∈Z} ．
(2)终边落在阴影部分 ( 含界线 ) 角的会合是 { α| k·360°＋ 210°≤ α≤k·360°＋300°，k∈ Z} ．
讲堂小结
1．象限角的见解是以“角的极点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合”为前提的，否则不能够从终边地址来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～ 90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概
念注意区分：锐角是0°<α <90°； 0°～ 90°的角是0°≤ α <90°；小于90°的角为
α<90°；第一象限的角是 { α | k· 360°<α <90°＋k· 360°，k∈
Z} ．3．对于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α 在内，可组成一个会合S＝{β|β＝α＋ k·360°， k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都能够表示成角α 与整数个周角的和．
注意： (1) α为随意角 ;(2) k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α);
(3)相等的角，终边必然相同；终边相同的角不用然相等，终边相同的角有无数多个，
它们相差 360°的整数倍 ;(4) k∈Z 这一条件不能够少．
基础过关
()
1．以下说法中，正确的选
项是
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α 与β 的终边不能能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α －β＝k·180°(k∈ Z)
剖析 A 错， 495°＝ 135°＋ 360°是第二象限的角，但不是钝角；
B 错，α＝ 135°是第二象限角，β ＝360°＋45°是第一象限的角，但α <β ；
C错，α＝ 360°，β＝ 720°，则α≠ β，但二者终边重合；
D 正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α －β＝k·180°(k∈Z)．
答案D
2．在①160°；②480°；③－960°；④1 530 °这四个角中，属于第二象限角的是()
A．①B．①②
C ．①②③
D ．①②③④
剖析
②480°＝ 120°＋ 360°是第二象限的角；
③－ 960°＝－ 3×360°＋ 120°是第二象限的角；
④ 1 530 °＝ 4×360°＋ 90°不是第二象限的角，应选
C ．
答案 C
3．若 α 是第四象限角，则 180°－ α 是 ( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
剖析
能够给 α 赋一特别值－ 60°，则 180°－ α＝ 240°，故 180°－ α 是第三象
限角．
答案
C
4．角 α， β 的终边对于 y 轴对称，若 α ＝ 30°，则 β＝ ________． 剖析
∵30°与 150°的终边对于 y 轴对称，
∴ β 的终边与 150°角的终边相同． ∴ β ＝ 150°＋ k ·360°， k ∈ Z ．
答案 150°＋ k ·360°， k ∈ Z
5． 12 ________．
1
剖析
时钟上每个大刻度为
30°，12 点过
小时，分针转过－ 90°，时针转过－ °，
4
故时针与分针的夹角为
82.5 °．
答案
82.5 °
6．以以下列图， 写出终边落在直线
y ＝
3x 上的角的会合 (用 0°到
360°间的角表示
) ．
解
终边落在 y ＝ 3x ( x ≥0) 上的角的会合是 S 1＝ { α | α ＝ 60°＋ k ·360°， k ∈ Z} ，
终边落在
y ＝ 3 ( ≤ 0) 上的角的会合是 ＝ { α | α ＝ 240°＋ k ·360°， ∈ Z} ，
x x
S k
于是终边在 y ＝ 3x 上角的会合是
S ＝ { α | α＝ 60°＋ k ·360°， k ∈ Z} ∪{ α | α ＝
240°＋ k ·360°， k ∈Z}
＝ { α | α＝ 60°＋ 2k ·180°， k ∈Z} ∪ { α | α＝ 60°＋ (2 k ＋1) ·180°， k ∈ Z}
1
点过 4小时的时候，时钟分针与时针的夹角是
＝ { α | α＝ 60°＋n·180°，n∈ Z} ．
7．已知角α ＝2 010°．
(1) 把α改写成k·360°＋β ( k∈Z, 0°≤ β <360° ) 的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－ 360°≤ θ <720°．
解 (1) 由 2 010 °除以 360°，得商为 5，余数为 210°．∴取 k
＝5，β＝210°，
α＝ 5× 360°＋ 210°．
又β＝210°是第三象限角，
∴ α 为第三象限角．
(2)与 2 010 °终边相同的角为
k·360°＋2 010°( k∈Z)．
令－ 360°≤k·360°＋ 2 010 °<720°(k∈Z) ，
77
解得－ 612≤k<－ 312( k∈ Z) ．
因此 k＝－6，－5，－4．
将 k 的值代入 k·360°＋2 010°中，得角θ 的值为－150°，210°，570°．
能力提升
8．若A＝{α|α＝ k·360°， k∈Z}， B＝{α|α＝ k·180°， k∈Z}， C＝{α|α＝k·90°， k∈Z}，则以下关系中正确的选
项是
()
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
剖析由题意知会合 A 是终边在x 轴的非负半轴上的角的会合，会合
轴上的角的会合，会合C是终边在坐标轴上的角的会合，故A? B? C．答案D
9．角α与角β的终边对于y 轴对称，则α 与β 的关系为( A．α＋β＝k·360°，k∈Z )
B 是终边在x
B．α＋β＝k·360°＋ 180°，k∈Z
C．α －β＝k·360°＋ 180°，k∈Z
D．α －β＝k·360°，k∈Z
剖析方法一( 特值法 ) ：令α＝ 30°，β＝150°，则α＋β＝ 180°．
方法二( 直接法 ) ：由于角α与角β的终边对于y 轴对称，因此β＝180°－α＋
k·360°， k∈Z，即α＋β＝ k·360°＋180°， k∈Z．
答案B
10．会合A＝ { α | α＝k·90°－ 36°，k∈ Z} ，B＝{ β | －180°<β <180° } ，则A∩B ＝________________ ．
剖析当 k＝－1时，α＝－126°；
当 k＝0时，α＝－36°；
当＝1时，α ＝54°；
当 k＝2时，α＝144°．
∴ A∩ B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案{ － 126°，－36°， 54°， 144°}
θ11．若角θ 的终边与60°角的终边相同，则在0°～ 360°内终边与 3 角的终边相
同的角为________．
剖析由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈ Z)，
θ
则3＝ 20°＋k·120°(k∈Z) ，
θ
则当 k＝0,1,2时，3＝20°，140°，260°．
答案20°， 140°， 260°
12．写出以以下列图阴影部分的角α 的范围．
解 (1) 由于与 45°角终边相同的角可写成 45°＋k·360°，k∈ Z 的形式，与－ 180°＋30°＝－ 150°角终边相同
的角可写成－ 150°＋k·360°，k∈ Z 的形式．因此图 (1) 阴影部分的角α 的范围可表示为 { α | －150°＋k·360°<α ≤ 45°＋k·360°，k∈ Z} ．
(2)同理可表示图 (2) 中角α的范围为 { α |45 °＋k·360°≤ α ≤300°＋k·360°，k∈Z}．
13．( 选做题) 以以下列图，半径
为1 的圆的圆心位于坐标原点，点P从
点
A(1,0)出发，
以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在 1 s 内转过的角度为θ (0 °<θ<180° ) ，
人教版2019学年高中数学第一章三角函数1.1.1蝗制教案新人教A版必修4 经过 2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A处，求θ ．
解∵0°<θ <180°，且k·360°＋ 180°<2 θ <k·360°＋ 270°，k∈Z，则
必然有 k＝0，于是90°<θ<135°．又∵ 14θ＝n·360°(n∈ Z) ，
n·180°n·180°
<135°，
∴ θ ＝，进而 90°<
77
721
∴<n< ，∴n＝ 4 或 5．
2 4
720°900°
当 n＝4时，θ＝；当 n＝5时，θ＝．
77。