长春市2022届质量监测一理数答案

15. 由题意知，表面积为 6 (20 2)2 + 8 1 3 (20 2)2 4800 1600 3(cm2 ) . 22
16. 设气象台所在地为 O ，台风中心为 A ，约 t 小时后气象台所在地将受到影响， t 小时后中心移动至 B 处， BAO 45 ，在△ OAB 中， AB 40t, OA 300, OB 250，由余弦定理，
（Ⅱ）过 A 在平面 PAD 内做 AD 垂线 l ，知 l 与 AD ， AB 两两垂直， 以 A 为坐标原点， AB ， AD ， l 分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB a ，
有 B(a, 0, 0), P(0, a , 3a),C(a, a, 0) ，
设平面
PAB
22 的法向量为
2. 1 i 1 1 i ，对应点在第三象限，故选 C. 2i 2 2
3.
由
f
(x)
2 sin( x

)
知，
f
(
)
0 ，C
正确，故选
C.
4
4
4. 由 c 5 知 b 2 ，故双曲线的渐近线方程为 y 2x ，故选 A.
a
a
5.
(x2
1 x
)4
展开式的通项为
Tk
1
C4k x82k (1)k xk
所以存在 Q(8, 0) 使得 MQO NQO . （12 分）
22. (本小题满分 10 分)
（Ⅰ） C : x2 y2 1,l : x y 1 0 ；（5 分） 43
（Ⅱ）
l
:
x
2
2 2
t
(t
为参数
)
，将其代入椭圆方程得
7
t2
10
2t 4 0 ，
y
1
2t 2
2
M
,
N
对应的参数分别为 t1, t2
21. (本小题满分 12 分)uuur uuur
（Ⅰ）由 cos F1PF2
|
uPuFur1 PuuFu2r PF1 || PF2
|
1 2
知 F1PF2
60 ，在△
F1PF2
中，
|
PF2
|
2a
4,
c a
1 2
，
4c2
16
(2a
4)2
4(2a
4)
，解得
a
4, c
2, b2
12
，
所以椭圆 C : x2 y2 1 ；（6 分） 16 12
，有
t1
t2
20 7
2
, t1t2
8 7
，
所以| PM
|
|
PN
|| t1 t2
|
20 7
2
.（10
分）
23. (本小题满分 10 分)
（Ⅰ）
f
(x)
5 2x, x 2
1,
2
x
3
2x 5, x 3
，
f
(x)
5 等价于
5
2x x2
5
2x 5
或
x3
5
，
解得 x 0 或 x 5 ，所以不等式解集为{x | x 0 或 x 5} ；（5 分）
长春市普通高中 2022 届高三质量监测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. A
2. C
3. C
4. A
5. B
6. B
7. A
8. B
9. D
10.D
11. B
12. B
1. 集合 A {x | 0 x 4}, B {x | x 3}, AI B {x | 3 x 4}，故选 A.
对于丁，1 只口罩的的过滤率大于 2 的概率 p 0.02275 ， : B(50, p) ， 所以 P( 1) 1 P( 0) 1 (1 p)50 1 (1 0.02)50 ，
1 (1 0.02)50 1 0.9850 1 0.364 0.636 0.6 ，故丁是真命题. 故选 B.
① ②得， Tn 2 22 23 L 2n n 2n1 2 (1 n) 2n1 ，
所以 Tn 2 (n 1) 2n1 .（12 分）
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2页（共 4页）
18. (本题满分 12 分)
（Ⅰ）因为平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， CD AD ， 所以 CD 平面 PAD ，所以 CD AM ，又因为△ PAD 是正三角形， M 是 PD 的中点，所以 AM PD ，所以 AM 平面 PCD .（6 分）
kNQ
y1 x1 m
y2 x2 m
2ty1 y2 (2 m)( y1 y2 ) (ty1 m)(ty2 m)
72t 12(2 m)t 3t2 +4 3t2 +4
(ty1 6)(ty2 6)
0.
因为 MQO NQO ，所以 kMQ kNQ 0 ，即 72t 12(2 m)t 0 ，解得 m 8 .
（Ⅱ）假设存在点 Q(m, 0) 满足条件，设直线 l 方程为 x ty 2 ， M (x1, y1), N (x2 , y2 )
x ty 2
x2 16
y2 12
，消去 1
x
有 (3t 2 +4) y2
12ty
36
0
，
y1
y2
12t 3t 2 +4
,
y1 y2
36 3t 2 +4
，
kMQ
则
P(
A)
1
C32 C42 C82
19 . 28
（4 分）
（Ⅱ）由题意 的所有可能取值为1, 2,3.
当 1时，水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽 1 人，共12 种.
当 2 时，水立方、国家体育馆各 1 人，五棵松体育馆 2 人，共 24 种.
当 3 时，3 人都来自于五棵松体育馆，共 4 种.
所以 f (x 8) f (x 4) ，再将 x 用 x 4 替换，则 f (x 4) f (x) ，
所以 f (x 8) f (x) ，所以①正确；
对于④， f (2 x) f (x), f (2 x) f (x), 无法推出其一定相等. 故选 B.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
(1)k C4k x83k ，令
8 3k 1, k 3 ，故 (1)k C4k 4 ，故选 B.
6. a 1 ， b 1 ， c 1 1 ，故 a c b ，故选 B.
log2 5
log2 3
2 log2 4
7. 由 函 数 f (x) ln x x2 a 1 在 其 定 义 域 内 单 调 递 增 ， 有 f (1) f (e) 0 ， 解 得
x
x
f (3) 4 2a 0, a 6 ，经检验符合条件， f (x) 2(x 3)(x 1) ，
3
x
令 f (x) 0 ，有 0 x 1或 x 3 ，令 f (x) 0 ，有1 x 3 ，
所以 f (x) 的单调递增区间是 (0,1), (3, ) ，单调递减区间是 (1, 3) .（6 分）
（Ⅰ） SnSn1
Sn1
Sn , S1
1
0 ，则
Sn
0 ，所以 1
Sn1 Sn Sn Sn1
，
有 1 1 Sn1 Sn
1
，所以数列
{
1 Sn
}
是以
1
为首项，1
为公差的等差数列.
（6 分）
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
Sn
n ，故 bn
n 2n ,Tn
1 2 2 22
L n 2n ①
① 2 ， 2Tn 1 22 2 23 L n 2n1 ②
（Ⅱ） x [1, 2] ， f (x) | x 4 | 等价于 2 x | x a | 4 x ， 等价于 x [1, 2] ，| x a | 2 ，即 x [1, 2] ， a x 2 或 a x 2 ，
从而 a 1 或 a 4 .（10 分）
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，
令 z2 2 ，则 m ( 3, 0, 2) ；
设二面角 A PB C 的平面角为 ，| cos | |n m| 1 ，所以 sin
| n || m | 7
42
.
7
所以二面角 A PB C 的正弦值为 42 . （12 分）
7 19. (本小题满分 12 分)
（Ⅰ）设 A “从中一次抽调 2 名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调 2 人来自不同场馆”，
所以 f (x) 的图象关于 x 1 对称，则有 f (1 x) f (1 x) ，
令 x 2 ，则 f (3) f (1) 0 ，所以③正确.
在 f (1 x) f (1 x) 中，将 x 用 x 7 替换，则 f (x 8) f (6 x) ，
在 f (1 x) f (1 x) 中，将 x 用 x 5 替换，则 f (6 x) f (x 4) ，
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12. 由 f (x 1) 是奇函数可知， f (x) 的图象关于点 (1, 0) 对称，
所以 f (1 x) f (1 x) 0 ，所以②正确；令 x 0 ，则 f (1) 0 ，
因为 f (2x 1) 是偶函数，所以 f (2x) 的图象关于 x 1 对称， 2
2502 (40t)2 3002 2 300 40t 2 ， 2
整理得16t 2 120
2t 275 0 ，解得 t1 15
2 5 4
7 ,t2 15
2 5 4
7，
依题意，保留 t1 15
2 5 4
7 2 ，故约 2 小时后影响气象台所在地.
三、解答题
17. (本题满分 12 分)
10. 过 M 作 MN 垂直准线， N 为垂足，连接 NF ，设 M (x0 , y0 ), (x0 0, y0 0) ，由
抛物线定义，△ MNF 为等边三角形，| MF | x0 1 ，有 y0
3 2
(x0
1),
y02
4x0
，
解得 x0 3，所以| MF | 4 ，故选 D.
11. 由 x ~ N (0.9372, 0.01392 ) 知， 0.9372, 0.0139 ，
P(x 0.9) P(x 0.9372) 0.5 ，故甲为真命题；
0.9439 0.93 0.0139, 0.9511 0.9372 0.0139 ，两个区间长度均为 1 个 ，
但 0.93 ，由正态分布性质知，落在 (0.93, 0.9439) 内的概率大于落在
(0.9372, 0.9511) 内的概率，故乙是假命题；由 0.9 0.9744 0.9372 知，丙正确； 2
n
( x1 ,
y1,
z1 )
，有
n n
uuur uAuBur AP
0 0
，有
y1 2
x1
0
3z1 2
0
，
令 z1 1，则 n (0, 3,1) ； 设平面 PCB 的法向量为 m (x2 ,
y2 ,
z2 )
uur
，有
m
CuuBr
m CP
0
，有
0
x2
y2
0
3z2 2
0
13. 19
14. 2
15. 4800 1600 3 16. 2
13. | a 2b | a 2 4a b 4b2 19 .
14. a2a4 a1a5 144, a2 a4 30 ，解得 a2 6, a4 24 或 a2 24, a4 6 ，由无穷等
比数列{an}的各项均大于 1 可知 q ≥1，所以 a2 6, a4 24 ，则 q 2 .
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（Ⅱ）当 a 0 时，令 f (x) 0 ，有 x 1 ，令 f (x) 0 ，有 0 x 1，
所以 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，所以 f (x) f (1) a 1 1, a 2 当 a 0 时， f (1) a 1 0 不成立，综上， a 2 .（12 分）
e2 a 0 ，故选 A. 8. 由公理 3，①正确；易知②错误；③正确；若 a, b, c 是过长方体一顶点的三条棱，则
④错误，故选 B.
9. 由 sin( ) 3 cos sin( ) 1 ，
3
33
sin(2 ) sin(2( ) ) 7 ，故选 D.
6
32 9
累计 40 种情况. 从而 P( 1) 12 , P( 2) 24 , P( 3) 4 ，分布列为
40
40
40
123
P
3 10
3 5
1 10
E( ) 9 . （12 分） 5
20. (本小题满分 12 分)
（Ⅰ） f (x) 2x (a 2) a (2x a)(x 1) (x 0) ，