光泽县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

光泽县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（
）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 、b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除
2． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（
）
A ．
﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
3． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
,x y 20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
y x A ． B ．
C ．
D ．9[,6]59(,][6,)5
-∞
+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]
4． 如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
A ．{3}
B ．{0，1}
C ．
{0，1，2}D ．{0，1，2，3}
5． 已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则
m 的取值范围（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，
]
C ．（﹣∞，
]
D ．（﹣∞，
]
6． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（
）
A ．90种
B ．180种
C ．270种
D ．540种
7． 在正方体8个顶点中任选3
个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设为数列的前项的和，且，则（ ）n S {}n a n *3
(1)()2n n S a n =-∈N n a =A ．
B ．
C ．
D ．3(32)n
n
-32n
+3n 1
32
n
-⋅10．函数y=x+cosx 的大致图象是（
）
A
．B ．
C ．
D ．
11．如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
12．函数f （x ）=tan （2x+
），则（
）
A ．函数最小正周期为π，且在（﹣
，
）是增函数
B ．函数最小正周期为，且在（﹣
，）是减函数C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数D ．函数最小正周期为
，且在（
，
）是增函数
二、填空题
13．已知点G 是△ABC 的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是 ．
14．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
15．满足tan （x+
）≥﹣
的x 的集合是 ．
16．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点；③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点；④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
17．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．18．已知,则函数的解析式为_________.
()2
12811f x x x -=-+()f x 三、解答题
19．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原
2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22
127x y +=1x y a b
+=O 点.
（1）求椭圆的方程；
C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=
MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方
MR RN λ=-
R 程；若不是，请说明理由.
20．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；
（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．
21．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．
22．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．　
23．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=（）x ．
（1）求当x ＞0时f （x ）的解析式；（2）画出函数f （x ）在R 上的图象；（3）写出它的单调区间．
24．（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知
ABC ∆C B A ,,c b a ,,.1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
（I ）求角的值；C
（II ）若，且的面积取值范围为，求的取值范围．2b =ABC ∆c 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
光泽县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．　
2． 【答案】B
【解析】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），∴a n+1=3a n ＞0，
∴数列{a n }是等比数列，公比q=3．又a 2+a 4+a 6=9，
∴=a 5+a 7+a 9=33×9=35，
则log
（a 5+a 7+a 9）=
=﹣5．
故选；B ．　
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），
表示点与原点连线的斜率，易得，ABC ∆y x (,)x y 59(,)22
A ，，，所以．故选A ．(1,6)
B 9
9
2552
OA
k ==661OB k ==965y x ≤≤
考点：简单的线性规划的非线性应用．
4．【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，
∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，
∴∁M={x|x≤2}，
∴∁M∩N={0，1，2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．　
5．【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，
所以（x+y）（+）=10+≥10=16，
当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；
故m的取值范围是（﹣]；
故选D．
6．【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C 31C 62C 21C 42=540种．故选D ．　
7． 【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C 83=56，所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．　
8． 【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，∴根据题意，M 的长度为，N 的长度为，当集合M ∩N 的长度的最小值时，M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，故M ∩N 的长度的最小值是=
．
故选：C ．　
9． 【答案】C
【解析】，，
1111223(1)2
3(1)2
a S a a a a ⎧
==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12
39a a =⎧⎨=⎩经代入选项检验，只有C 符合．10．【答案】B
【解析】解：由于f （x ）=x+cosx ，∴f （﹣x ）=﹣x+cosx ，
∴f （﹣x ）≠f （x ），且f （﹣x ）≠﹣f （x ），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cosx=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，
即AD•≥1，
因为2=AD+≥2=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵∠A=120°，•=﹣2，
∴||•||=4，
又∵点G是△ABC的重心，
∴||=|+|==≥=故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出|+|的取值范围是解答本题的关键，另外根据点G 是△ABC 的重心，得到=（+），也是解答本题的关键．　
14．【答案】　﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3　．
【解析】解：根据题意知：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，
∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2=1相交，属中档题．
15．【答案】　[k π， +k π），k ∈Z ．
【解析】解：由tan （x+
）≥﹣得+k π≤x+＜+k π，解得k π≤x ＜+k π，
故不等式的解集为[k π，
+k π），k ∈Z ，故答案为：[k π， +k π），k ∈Z ，
【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．
16．【答案】　①②⑤　
【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=
或x=1，故①正确；对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳
定点，故②正确；
对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2+2x ﹣1）=0
还有另外两解
，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；
若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0
即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，
假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾；
假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾；
故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
17．【答案】　m ≥2　．
【解析】解：集合A={x|x+m ≥0}={x|x ≥﹣m}，全集U=R ，所以C U A={x|x ＜﹣m}，
又B={x|﹣2＜x ＜4}，且（∁U A ）∩B=∅，所以有﹣m ≤﹣2，所以m ≥2．
故答案为m ≥2．
18．【答案】()2245
f x x x =-+【解析】
试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()22
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()f x 的解析式为.()2
245f x x x =-+考点：函数的解析式.
三、解答题
19．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22
143
x y +=R 1x =-【解析】
试
题解析：
（1）由，∴，∴
，12e
=2214e a =2234a b
==解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22
143
x y +=设点的坐标为，则由，得，
R 00(,)x y MR RN λ=-⋅ 0120()x x x x λ-=--解得112122121201
1224424()41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，221212222
6412322424()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，从而，212223224()883434k x x k k
-++=+=++121201224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.
R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
20．【答案】 【解析】解：（1）∵函数y=f （x ）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x ﹣1≤1得：x ∈[﹣，]，
故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’
（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，
∴x∈[﹣1，4]，
∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．
21．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】解：（1）若x＞0，则﹣x＜0…（1分）
∵当x＜0时，f（x）=（）x．
∴f（﹣x）=（）﹣x．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（）﹣x=﹣2x．…（4分）
（2）∵（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0，
∴f（x）=．…（7分）
函数图象如下图所示：
（3）由（2）中图象可得：f （x ）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R 表示扣1分）
无增区间…（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
24．【答案】
【解析】（I ）∵，1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A ∴，0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ∴，
0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ∴，
0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ∴，因为，所以0cos sin 3sin sin =-C B C B sin 0B >3
tan =C 又∵是三角形的内角，∴.
C 3π
=C。