2020-2021深圳北亭实验学校高中三年级数学下期中第一次模拟试题及答案

2020-2021深圳北亭实验学校高中三年级数学下期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．在ABC ∆中，2AC =
,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A
B
C
D
3．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
4．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，
，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4
B ．10
C ．16
D ．32
6．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
8．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
9．在ABC V 中，4
ABC π
∠=
，AB =
3BC =，则sin BAC ∠=（ ）
A
．
10
B
．
5
C
D
10．已知数列{}n a 的通项公式为()*21
log N 2
n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
若sin cos 0b A B -=,且
2
b a
c =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B
C
．
2
D ．4
12．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则
c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b a
a b
+取最大值时，cos C =__________；
14．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.
15．已知0a >，0b >，当()2
1
4a b ab
++
取得最小值时，b =__________． 16．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．
17．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的最大值是____．
18．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 19．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.
20．若已知数列的前四项是
2112+、2124+、2136+、2
1
48
+，则数列前n 项和为______. 三、解答题
21．若0,0a b >>,且
11
ab a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

23．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；
（2）若3c =，3
cos 4
C =，求ABC ∆的周长．
24．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()
533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船
到达D 点需要多长时间？
25．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
3m a b =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行．
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若7a =
2b =求C ∆AB 的面积．
26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()
()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v
．
（1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求
ABC ∆的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】
根据余弦定理得到22222
AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到
AB=
再由等面积法得到1122225
CD CD ⨯=⨯⨯⇒=
故答案为A. 【点睛】
这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，作出可行域，分析y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102
x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以
y
x
的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
，解得5,2A
（）.
由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
由64S S -=6546a a a +=得，()
22
460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而
3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.
6．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0
时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨+=⎩
得()10
B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
U 故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝
，＝4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
9．C
解析：C 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
2923cos
5,4
b b π
=+-⋅==.由正弦定理得
3
sin sin 4
BAC π=
∠，解得sin 10
BAC ∠=. 考点：解三角形.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*2
1
log N 2
n n a n n +=∈+， ∴1232
2223log log log 31
42
n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++2223
12log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪
++⎝⎭
， 又因为2
121
5log 6232232
n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，
因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
二、填空题
13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公
【解析】 【分析】
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子
b a
a b
+通分化简
得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出
b a
a b +()13sin C ϕ=+，当2
C πϕ+=时，b a
a b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】
在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，
所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab
++++====+
()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=
，313
cos ϕ=， 当
b a a b +132C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
．
故答案为：213
13
. 【点睛】
本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
14．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根
解析：11
(,)23
--
【解析】 【分析】
根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式
250bx x a -+>的解集，得到答案.
【详解】
由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，
可得53(2)(3)(2)a b a ⎧
-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=
⎪⎩
，解得1,6a b =-=-，
所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2
651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得11
23
x -
<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23
--. 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得
,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中 解析：
14
【解析】 【分析】
根据均值不等式知，4a b +≥=()2
416a b ab +≥
，再由
41684ab a b +
≥=⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】
4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），
()2
416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2
444a b a b ∴++≥
⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()2
24
281a a a
∴+
=⇒=. 故答案为14
b =. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.
16．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题 解析：2
【解析】 【分析】
由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可. 【详解】
0,0a b ∴>>,20a b +=,
20
2a b ab ∴=+≥,当且仅当10a b ==时，等号成立，
即100ab ≤，
而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立， 故lg lg a b +的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.
17．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
解析：7 【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：
根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
画出可行域如图，
得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．
点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
18．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即
1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21
a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n
S S <8
7，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题
解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】
根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】
因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以
(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <
【点睛】
本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.
20．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用
解析：
()()
3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】
观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2
111112222n a n n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪+++⎝⎭
. 故数列的前n 项和11111
113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()
323
4212n n n +=
-++. 故答案为：()()
3234212n n n +-++. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
三、解答题
21．（1）；（2）不存在. 【解析】 【分析】
（1）由已知
11
a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可
求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】
（111
a b =
+≥，得2ab ≥，且当a b ==
故33+a b ≥≥a b ==
所以33+a b 的最小值为
（2）由（1）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式．
22．（1）3π；（2【解析】 【分析】
(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ;
(2)根据条件由余弦定理,可得2222
12cos 3
a b c bc π
==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的
范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值. 【详解】
解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,
又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+, ∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=, ∵sin 0C ≠,∴1cos 2
A =, 又()0,A π∈,∴3
A π
=
(2)由(1)知,3
A π
=
,
∵1a =,∴由余弦定理,有2
2
2
2
12cos 3
a b c bc π
==+-,∴221bc b c +=+.
∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥, ∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,
∴()
max
11sin 1sin 23234
ABC S bc ππ∆==⨯⨯=
,
∴三角形ABC 的面积的最大值为4
. 【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
23．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得
()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．
（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．
【详解】
（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，
∴
sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A C
b B a A C C
-=-，
sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，
又A B C π++=Q ，
cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，
又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =， 又3c =
Q ，3cos 4
C =
， ∴2222
23(3)2342a a a a
+--==， 226a b ∴==，可得6a b ==，
ABC ∆∴的周长263a b c ++=+．
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围． 24．救援船到达D 点需要1小时． 【解析】 【分析】 【详解】
5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin sin105sin 45?cos 60sin 60?cos 45AB DBA DAB ADB DB AB DAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒
∆=
∠∠∠+︒+︒
∴=
==
∠︒︒︒+︒︒
解：由题意知海里，在中，由正弦定理得
海里
又
海里
中，由余弦定理得
,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D 点需要1小时 25．（Ⅰ）3π；（Ⅱ33 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据平面向量//m n r r
，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可
求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1）因为向量()
,3m a b =r
与()cos ,sin n =A B r
平行， 所以30asinB bcosA －＝，
由正弦定理得sinAsinB －30sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA ＝3，由于0<A<π，所以A ＝
3
π
. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ＝7，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为
12bcsinA ＝332
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 26．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）736
.
【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为
()sin A x B ωϕ++的形式，将x ωϕ+代入ππ2π,2π22k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦中，解出x 的范围，由此
求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积. 【详解】 （1）=
，
令πππ
2π22π,262
k x k -
≤+≤+解得，k ∈Z ， 函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．
（2）∵f （A ）=2，∴，即
，
又∵0＜A ＜π，∴，
∵
，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①
b=2c ，②， 由①②得
，
∴．
【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.。