人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》章节检测卷及答案

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》章
节检测卷及答案
（总分：100分 时间：90分钟）
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有1个选项符合题意）
1．下列判断不正确的是( )
A ．形状相同的图形是全等图形
B ．能够完全重合的两个三角形全等
C ．全等图形的形状和大小都相同
D ．全等三角形的对应角相等
2．（2023陕西宝鸡·期中考题）如图，已知在ABO 和DCO 中AB BO ⊥ CD CO ⊥ AO DO =若用“HL ”判定Rt Rt ABO DCO ≌△△，则需要添加的条件是( )
A ．A
B D
C =
B ．A D ∠=∠
C ．AOB DOC ∠=∠
D ．OB OD =
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E.若AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则BE 的长度为( )
A ．10 cm
B ．6 cm
C ．4 cm
D ．2 cm
4．（2024浙江·中考真题）如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(,,,)ABE BCF CDG DAH △△△△和中间一个小正方形EFGH 组成，连接DE ．若4,3AE BE ==，则DE =( )
A ．5
B ．26
C 17
D ．4
5．点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是( )
A ．PQ ＞5
B ．PQ ≥5
C ．PQ ＜5
D ．PQ ≤5
6．在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的△DEF 中有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是( )
A ．∠A
B ．∠B
C ．∠C
D ．∠B 或∠C
7．（2023西青区·二模考题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点(3,0)A ，(0,1)B -点C 在第四象限，且AB BC =，90ABC ∠=︒则点C 的坐标是( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)-
D ．(4,)1-
8．如图，BP 平分∠ABC ，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE ＝DF ，若∠BED ＝140°，则∠BFD 的度数是( )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
9．（2024四川遂宁·中考真题）如图1，ABC 与111A B C △满足1A A ∠=∠ 11AC AC = 11BC B C = 1C C ∠≠∠
我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在ABC 中，AB=AC ，点,D E 在线段BC 上，且BE CD =，
则图中共有“伪全等三角形”( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
10．（2023江汉区·月考考题）如图，在ABC 中，P 为BC 上一点PR AB ⊥，垂足为R ，PS AC ⊥垂足为S ，CAP APQ ∠=∠ PR PS =下面的结论：
∠AS AR =；∠QP AR ∥；∠BRP CSP ∆≅∆．其中正确的是( )
A ．∠∠
B ．∠∠
C ．∠∠
D ．∠∠∠
二、填空题（本题包括10小题，每空3分，共30分）
11．（2024青海·中考真题）如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使∠AOB∠∠COD ．
12．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠A ＝60°，则∠BOC ＝________.
13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是________.
14．已知等腰△ABC 的周长为18 cm ，BC ＝8 cm ，若△ABC ≌△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的腰长等于________． 15．（2024四川成都·中考真题）如图ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒则DCE ∠的度数为 ．
如图，若AC 平分∠BCD ，∠B +∠D ＝180°，AE ⊥BC 于点E ，BC ＝13cm ，CD ＝7cm
则BE ＝ ．
17．如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，OA ＝OB ，则图中共有________对全等三角形．
18．（2024甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．
19．如图，AE ⊥AB ，且AE ＝AB ，BC ⊥CD ，且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是________．
20．如图，已知点P 到BE ，BD ，AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠DBC 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠DBC ，∠DAC ，∠ECA 的平分线的交点，上述结论中，正确的有________．(填序号)
三、解答题（本题包括7小题，共60分）
21．（6分）如图，已知△EFG ≌△NMH ，∠F 与∠M 是对应角．
(1)写出所有相等的线段与相等的角；
(2)若EF ＝2.1 cm ，FH ＝1.1 cm ，HM ＝3.3 cm ，求MN 和HG 的长度．
22．（8分）（2024四川内江·中考真题）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AD=BE ，AC=DF ，BC=EF
(1)求证：ABC DEF ≌△△；
(2)若55A ∠=︒，45E ∠=︒求F ∠的度数．
23．（7分）（2024云南·中考真题）如图，在ABC 和AED △中，AB=AE BAE CAD ∠=∠ AC AD =． 求证：ABC AED ≌△△．
24．（8分）（2023陕西·中考真题）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，作CD ⊥AC ，且使CD ＝AC ，作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ．求证：CE ＝AB ．
25．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
26．（10分）如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从点B出发在河岸上画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一直线上，则DE的长就是点A，B之间的距离，请你说明道理．
27．（12分）如图(1)，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ，连接CF.
(1)如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图(2)，线段CF ，BD 所在直线的位置关系为______，线段CF ，BD 的数量关系为________；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图(3)，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(2)如果AB ≠AC ，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足什么条件时，CF ⊥BC(点C 、F 不重合)，并说明理由．
参考答案及解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有1个选项符合题意）
1．下列判断不正确的是( )
A ．形状相同的图形是全等图形
B ．能够完全重合的两个三角形全等
C ．全等图形的形状和大小都相同
D ．全等三角形的对应角相等
【答案】A
2．（2023陕西宝鸡·期中考题）如图，已知在ABO 和DCO 中 AB BO ⊥ CD CO ⊥ AO DO = 若用“HL ”判定Rt Rt ABO DCO ≌△△，则需要添加的条件是( )
A ．A
B D
C =
B ．A D ∠=∠
C ．AOB DOC ∠=∠
D ．OB OD =
【答案】A 【知识点】用HL 证全等（HL ）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题考查了对全等三角形判定定理HL 的理解和掌握 熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∠AB BO ⊥ CD CO ⊥
∠90ABO DCO ∠=∠=︒
A .AO DO = A
B D
C = 符合两直角三角形全等的判定定理HL 故该选项符合题意；
B .A D ∠=∠ AO DO = 不是两直角三角形全等的判定定理HL 是证明三角形全等的AAS 故该选项不符合题意；
C .AOB DOC ∠=∠ AO DO = 不符合两直角三角形全等的判定定理 是证明三角形全等的AAS 故该选项不符合题意；
D .OB OD = AO DO = 不能证明这两个直角三角形全等 故该选项不符合题意；
故选：A
3．如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° AD 是∠BAC 的平分线 DE ⊥AB 垂足为E.若AB ＝10 cm AC ＝6 cm 则BE 的长度为( )
A ．10 cm
B ．6 cm
C ．4 cm
D ．2 cm
【答案】C
4．（2024浙江·中考真题）如图 正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(,,,)ABE BCF CDG DAH △△△△和中间一个小正方形EFGH 组成 连接DE ．若4,3AE BE == 则DE =( )
A ．5
B ．26
C 17
D ．4
【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理 正方形的性质 全等三角形的信纸 求得HE 的长度 利用勾股定理即可解答 利用全等三角形的性质得到1HE =是解题的关键．
【详解】解：,,,ABE BCF CDG DAH △△△△是四个全等的直角三角形 4,3AE BE ==
AH EB ∴= 4DH AE ==
1HE AE AH ∴=-=
四边形EFGH 为正方形
90DHE ∴∠=︒
2217DE DH HE ∴+故选：C ．
5．点P 在∠AOB 的平分线上 点P 到OA 边的距离等于5 点Q 是OB 边上的任意一点 则下列选项正确的是( )
A ．PQ ＞5
B ．PQ ≥5
C ．PQ ＜5
D ．PQ ≤5
【答案】B
6．在△ABC 中 ∠B ＝∠C 与△ABC 全等的△DEF 中有一个角是100° 那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是( )
A ．∠A
B ．∠B
C ．∠C
D ．∠B 或∠C
【答案】A
7．（2023西青区·二模考题）如图 在平面直角坐标系中 ABC 的顶点(3,0)A (0,1)B - 点C 在第四象限 且AB BC = 90ABC ∠=︒ 则点C 的坐标是( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)-
D ．(4,)1-
【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA （AAS ）综合（ASA 或者AAS ）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质 根据“角角边”证明AOB BEC ≌是解题的关键．过点C 作y 轴的垂线段 交y 轴于点E 证明AOB BEC ≌ 即可解答．
【详解】
解：如图 过点C 作y 轴的垂线段 交y 轴于点E
90ABC ∠=︒
18090ABO CBE ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒
90AOB ∠=︒
90OAB ABO EBC ∴∠=︒-∠=∠
CE BE ⊥
90BEC AOB ∴∠=∠=︒
在AOB 与BEC 中
BOA CEB OAB EBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AAS AOB BEC ∴△≌△
,BE OA EC OB ∴==
(3,0)A (0,1)B -
1,134EC OE OB BE OB AO ∴==+=+=+=
()1,4E ∴-．
故选：B ．
8．如图 BP 平分∠ABC D 为BP 上一点 E F 分别在BA BC 上 且满足DE ＝DF 若∠BED ＝140° 则∠BFD 的度数是( )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、用HL 证全等（HL ）
【分析】此题考查角平分线的性质 全等三角形的判定与性质 邻补角的性质 解题关键在于作辅助线作DG∠AB 于G DH∠BC 于H 根据角平分线的性质得到DH=DG 证明Rt∠DEG∠Rt∠DFH 得到∠DEG=∠DFH 根据互为邻补角的性质得到答案．
【详解】作DG∠AB 于G DH∠BC 于H
∠D 是∠ABC 平分线上一点 DG∠AB DH∠BC
∠DH=DG
在Rt∠DEG 和Rt∠DFH 中
DG DH DE DF ⎧⎨⎩＝＝
∠Rt∠DEG∠Rt∠DFH （HL ）
∠∠DEG=∠DFH 又∠DEG+∠BED=180°
∠∠BFD+∠BED=180°
∠∠BFD 的度数=180°-140°=40°
故选A ．
9．（2024四川遂宁·中考真题）如图1 ABC 与111A B C △满足1A A ∠=∠ 11AC AC = 11BC B C = 1C C ∠≠∠ 我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2 在ABC 中 AB AC = 点,D E 在线段BC 上 且BE CD = 则图中共有“伪全等三角形”( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角
【分析】本题考查了新定义 等边对等角 根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等 一个角相等 且这个角不是夹角 据此分析判断 即可求解．
【详解】解：∠AB AC =
∠B C ∠=∠
在ABD △和ABE 中 ,,B B AB AB AD AE ∠=∠==
在,ACE ACD △△中 ,,C C AC AC AE AD ∠=∠==
在,ABD ACD △△中 ,,B C AB AC AD AD ∠=∠==
在,ACE ABE 中 ,,B C AE AE AC AB ∠=∠==
综上所述 共有4对“伪全等三角形”
故选：D ．
10．（2023江汉区·月考考题）如图 在ABC 中 P 为BC 上一点 PR AB ⊥ 垂足为R PS AC ⊥ 垂足为S CAP APQ ∠=∠ PR PS = 下面的结论：
∠AS AR =；∠QP AR ∥；∠BRP CSP ∆≅∆．其中正确的是( )
A ．∠∠
B ．∠∠
C ．∠∠
D ．∠∠∠
【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA （AAS ）综合（ASA 或者AAS ）、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质 角平分线定理的逆定理 平行线的判定等知识点 难度不大 能够综合运用上述知识点是解题的关键．利用角平分线定理的逆定理可证AP 平分BAC ∠ 通过等量代换得出BAP APQ =∠∠ 即可证明QP AR ∥ 推出∠正确；利用AAS 证明RAP SAP ∆≅∆ 可得AS AR = 推出∠正确；仅一组对边相等 一组对角相等不足以证明BRP CSP ∆≅∆ 推出∠错误．
【详解】解：∠PR AB ⊥ PS AC ⊥ PR PS =
∠AP 平分BAC ∠
∠BAP CAP ∠=∠
∠CAP APQ ∠=∠
∠BAP APQ =∠∠
∠QP AR ∥ 故∠正确；
在RAP ∆和SAP ∆中
90RAP SAP ARP ASP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∠()AAS RAP SAP ∆≅∆
∠AS AR = 故∠正确；
∠BRP ∆和CSP ∆中 仅一组对边相等 一组对角相等
∠现有条件不能够证明BRP CSP ∆≅∆ 故∠错误；
综上 正确的是∠∠．
故选A ．
二、填空题（本题包括10小题每空3分共30分）
11．（2024青海·中考真题）如图线段AC、BD交于点O 请你添加一个条件：使∠AOB∠∠COD．
∠=∠．(答案不唯一)
【答案】C A
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等判定两个三角形全等时必须有边的参与若
∠=∠即得结有两边一角对应相等时角必须是两边的夹角．有一对对顶角∠AOB与∠COD 添加C A
论．
∠=∠
【详解】解：∠∠AOB=∠COD（对顶角相等）C A
∠∠ABO∠∠CDO．
∠=∠．(答案不唯一)
故答案为：C A
12．如图点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝60°则∠BOC＝________.
【答案】120
【知识点】角平分线性质、三角形内角和.
【分析】根据角平分线性质点O为△ABC的3条角平分线的交点由三角形内角和可求出∠OBC+∠OCB=180°-∠A=120°再根据三角形内角和可求得∠BOC＝120°.
【详解】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等．
∴点O为△ABC的3条角平分线的交点
∴∠OBC+∠OCB=½（∠ABC+∠ACB）=½（180°-∠A）=½（180°-60°）=60°
又在△OBC中∠BOC＝180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°.
故答案为：120°.
13．在△ABC中 AB＝4 AC＝3 AD是△ABC的角平分线则△ABD与△ACD的面积之比是________. 【答案】 4∶3
14．已知等腰△ABC 的周长为18 cm BC ＝8 cm 若△ABC ≌△A ′B ′C ′ 则△A ′B ′C ′的腰长等于________．
【答案】 8 cm 或5 cm
15．（2024四川成都·中考真题）如图 ABC CDE △≌△ 若35D ∠=︒ 45ACB ∠=︒ 则DCE ∠的度数为 ．
【答案】100︒或00度
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质 先利用全等三角形的性质 求出45CED ACB ∠=∠=︒ 再利用三角形内角和求出DCE ∠的度数即可．
【详解】解：由ABC CDE △≌△ 35D ∠=︒
∠45CED ACB ∠=∠=︒
∠35D ∠=︒
∠1801803545100DCE D CED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
故答案为：100︒
如图 若AC 平分∠BCD ∠B +∠D ＝180° AE ⊥BC 于点E BC ＝13cm CD ＝7cm
则BE ＝ 3cm ．
【答案】3cm ．
【详解】解：过A 点作AF ⊥CD 于F 如图
∵AC 平分∠BCD AE ⊥BC 于点E
∴AE ＝AF EC ＝CF
∵∠B +∠ADC ＝180° ∠ADC +∠ADF ＝180°
∴∠B ＝∠ADF
在△ABE 与△ADF 中
∴△ABE ≌△ADF （AAS ）
∴BE ＝DF
∵BC ＝13cm CD ＝7cm
∴BC ＝BE +EC ＝BE +CF ＝BE +CD +DF ＝2BE +CD
即13＝7+2BE
解得：BE ＝3cm
故答案为：3cm ．
17．如图 OP 平分∠MON PE ⊥OM 于点E PF ⊥ON 于点F OA ＝OB 则图中共有________对全等三角形．
【答案】3
18．（2024甘肃临夏·中考真题）如图 在ABC 中 点A 的坐标为(0,1) 点B 的坐标为()4,1 点C 的坐标为()3,4 点D 在第一象限（不与点C 重合） 且ABD △与ABC 全等 点D 的坐标是 ．
【答案】(1,4)
【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查坐标与图形 三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合） 且ABD △与ABC 全等 画出图形 结合图形的对称性可直接得出D (1,4)．
【详解】解：∠点D 在第一象限（不与点C 重合） 且ABD △与ABC 全等
∠AD BC = AC BD =
∠可画图形如下
由图可知点C、D关于线段AB的垂直平分线x=2对称则D(1,4)．
故答案为：(1,4)．
19．如图 AE⊥AB 且AE＝AB BC⊥CD 且BC＝CD 请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是________．
【答案】50
20．如图已知点P到BE BD AC的距离恰好相等则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC ∠DAC ∠ECA的平分线的交点上述结论中正确的有________．(填序号)
【答案】①②③④
三、解答题（本题包括7小题共60分）
21．（6分）如图已知△EFG≌△NMH ∠F与∠M是对应角．
(1)写出所有相等的线段与相等的角；
(2)若EF＝2.1 cm FH＝1.1 cm HM＝3.3 cm 求MN和HG的长度．
【详解】解：(1)EF＝MN EG＝HN FG＝MH FH＝GM ∠F＝∠M ∠E＝∠N ∠EGF＝∠MHN
∠FHN＝∠EGM.
(2)∵△EFG≌△NMH ∴MN＝EF＝2.1 cm GF＝HM＝3.3 cm
∵FH＝1.1 cm ∴HG＝GF－FH＝3.3－1.1＝2.2 (cm)．
22．（8分）（2024四川内江·中考真题）如图 点A 、D 、B 、E 在同一条直线上 AD BE = AC DF = BC EF =
(1)求证：ABC DEF ≌△△；
(2)若55A ∠=︒ 45E ∠=︒ 求F ∠的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80︒
【知识点】全等三角形的性质、用SSS 判定三角形全等
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质 熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明AB DE = 再结合已知条件可得结论；
（2）证明55A FDE ∠=∠=︒ 再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∠AD BE =
∠AD DB BE DB +=+ 即AB DE =
∠AC DF = BC EF =
∠()SSS ABC DEF ≌
（2）∠ABC DEF ≌△△ 55A ∠=︒
∠55A FDE ∠=∠=︒
∠45E ∠=︒
∠18080F FDE E ∠=-∠-∠=︒
23．（7分）（2024云南·中考真题）如图 在ABC 和AED △中 AB AE = BAE CAD ∠=∠ AC AD =． 求证：ABC AED ≌△△．
【答案】见解析
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS ）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质 熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明ABC AED ≌△△ 即可解决问题． 【详解】证明：BAE CAD ∠=∠
∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠ 即BAC EAD ∠=∠
在ABC 和AED △中
AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()SAS ABC AED ≌．
24．（8分）（2023陕西·中考真题）如图 在△ABC 中 ∠B ＝90° 作CD ⊥AC 且使CD ＝AC 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ．求证：CE ＝AB ．
【答案】证明过程见解答．
【详解】证明：∵DC ⊥AC 于点C
∴∠ACB +∠DCB ＝90°
∵∠ABC ＝90°
∴∠ACB +∠A ＝90°
∴∠A ＝∠DCE
∵DE ⊥BC 于点E
∴∠E ＝90°
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∴AB＝CE．
25．（9分）如图在△ABC中∠C＝90° AD是∠BAC的平分线 DE⊥AB交AB于点E 点F在AC 上 BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
【分析】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB 得CF＝EB.(2)利用角平分线的性质证明Rt△ADC ≌Rt△ADE ∴AC＝AE 再将线段AB进行转化．
【详解】证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线 DE⊥AB DC⊥AC
∴DE＝DC.
又∵BD＝DF
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF＝EB.
(2)由(1)可知DE＝DC 又∵AD＝AD
∴Rt△ADC≌Rt△ADE.
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
26．（10分）如图 A B两建筑物位于河的两岸要测得它们之间的距离可以从点B出发在河岸上画一条射线BF 在BF上截取BC＝CD 过D作DE∥AB 使E C A在同一直线上则DE的长就是点A B之间的距离请你说明道理．
【详解】解：∵DE∥AB ∴∠A＝∠E.
∵E C A在同一直线上 B C D在同一直线上
∴∠ACB ＝∠ECD.
在△ABC 与△EDC 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠E ，∠ACB ＝∠ECD ，BC ＝CD ，
∴△ABC ≌△EDC(AAS)．
∴AB ＝DE.
27．（12分）如图(1) 在△ABC 中 ∠ACB 为锐角 点D 为射线BC 上一点 连接AD 以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF 连接CF.
(1)如果AB ＝AC ∠BAC ＝90°
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合) 如图(2) 线段CF BD 所在直线的位置关系为______ 线段CF BD 的数量关系为________；
②当点D 在线段BC 的延长线上时 如图(3) ①中的结论是否仍然成立 并说明理由；
(2)如果AB ≠AC ∠BAC 是锐角 点D 在线段BC 上 当∠ACB 满足什么条件时 CF ⊥BC(点C 、F 不重合) 并说明理由．
【详解】解：(1)①CF ⊥BD ；CF ＝BD
②当点D 在线段BC 的延长线上时 ①中的结论仍然成立．理由：由正方形ADEF 得AD ＝AF ∠DAF ＝90°. ∵∠BAC ＝90° ∴∠DAF ＝∠BAC.
∴∠DAB ＝∠FAC.
又∵AB ＝AC ∴△DAB ≌△FAC.
∴CF ＝BD ∠ACF ＝∠ABD.
∵∠BAC ＝90° AB ＝AC
∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°.
∴∠ACF ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°.即CF ⊥BD.
(2)当∠ACB ＝45°时 CF ⊥BC(如图)．
理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G 则∠GAC ＝90°.
∵∠ACB ＝45° ∠AGC ＝90°－∠ACB ∴∠AGC ＝90°－45°＝45°
∴∠ACB ＝∠AGC ＝45° ∴△AGC 是等腰直角三角形
∴AC＝AG.
又∵∠DAG＝∠FAC(同角的余角相等) AD＝AF ∴△GAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠AGC＝45°
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°
即CF⊥BC.。