微分几何严葵华课件

微分几何严葵华课件
求导，算积分，求determinant，求eigenvalue和eigenvector，以及diagonalization。

这一部分知识你作为理工科学生应该是很熟练的。

你会在do carmo里遇到大量的你在学习微积分和线性代数的
时候一直在做的计算题。

do carmo引用了很多微积分和线性代数里的经典定理，你看到
这部分内容的时候可以直接把微积分和线性代数的书翻出来，直接用结论即可。

不用深入理解那些经典定理也是可以继续看下去的。

主要用到的就是multi-variable version的chain rule和inverse function theorem。

而且do carmo每一章的最后一个section都是
附录，里面包含了这一章所用到的微积分和线性代数知识。

除了微积分和线性代数，一些有意思的推论的证明需要使用到一点点的point set topology，这个可以现学，即使你没学过point set topology也是可以继续看的，不影响对后续内容的理解。

微分几何可以包含不同的范围。

如果是数学系二年级的微分几何，可能是指三维欧氏空间的曲线论和曲面论，学了线性代数和多元微积分就可以了，最好修过空间解析几何。

如果是稍微高级一点的内容，大概相当于黎曼几何初步，需要一些微分流形的基础。

如果是数学分支的介绍，即包括纤维丛上的联络的话，可能需要些代数拓扑和李群的知识，学过微分方程更好。

表面上看起来高斯曲率还依赖于曲面的第二基本形式，但是事实上高斯曲率仅仅依赖于曲面的第一基本形式，也就是高斯曲率是内蕴的。

这就是高斯绝妙定理的内容。

这个定理可
以概括为，曲面的度量蕴含了弯曲的性质。

高斯通过绝妙定理将微分几何从古典微分几何时代带入到了近代微分几何时代。

从高斯之后，数学家研究的是内蕴的微分几何。

例如在二维曲面的情况下，我们不需要知道曲面是如何嵌入到三维欧式空间的，就可以研究曲面的性质。

一个被限制在二维曲面的二维生物只需贴着曲面做测量就可以知道
它所生活的曲面是平直的还是弯曲的，而且还可以知道它所生活的空间的整体拓扑性质。

类似的，我们人类被限制在四维的时空中，通过高斯的内蕴几何，我们不需要，也不可能，跳出四维时空就可以知道我们生活的四维时空是平直还是弯曲的。

关于判断我们生活的时空是平直的还是弯曲的，高斯，黎曼，庞加莱都曾经考虑过，最终是爱因斯坦用黎曼几何解决了这个问题。

根据爱因斯坦，我们生活的四维时空被质量弯曲了，引力正是这种弯曲的表象。

这就是广义相对论的内容。

研究内蕴微分几何需要大量地使用张量记号，所以接下来的内容全是基于张量的。